橋梁工程動(dòng)力學(xué)2

1、二、單自由度體系自由振動(dòng)微分方程的解來(lái)自,其中是沿質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向的結(jié)構(gòu)柔度系數(shù)，它表示在質(zhì) 點(diǎn)上沿振動(dòng)方向加單位荷載使質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向所產(chǎn)生的位移。 k使質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向發(fā)生單位位移時(shí)，須在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向施加的力。 st=W在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向施加數(shù)值為W的荷載時(shí)質(zhì) 點(diǎn)沿振動(dòng)方向所產(chǎn)生的位移。 計(jì)算時(shí)可根據(jù)體系的具體情況，視、 k、 st 三參數(shù)中哪一個(gè)最便于計(jì)算來(lái)選用。,自振周期計(jì)算公式：,圓頻率計(jì)算公式：,一些重要性質(zhì)： （1）自振周期與且只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)，與外界的干擾因素?zé)o關(guān)。干擾力只影響振幅a。 （2）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，質(zhì)量越大，周期越大（頻率越小）；自振周期與剛度

2、的平方根成反比，剛度越大，周期越?。l率越大）；要改變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度著手。 （3）兩個(gè)外形相似的結(jié)構(gòu)，如果周期相差懸殊，則動(dòng)力性能相差很大。反之，兩個(gè)外形看來(lái)并不相同的結(jié)構(gòu)，如果其自振周期相近，則在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力性能基本一致。,例4、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點(diǎn)有集中質(zhì)量m， 不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。,解：1）求,3l/16,5l/32,l/2,據(jù)此可得：1 2 3= 1 1.512 2,結(jié)構(gòu)約束越強(qiáng),其剛度越大,剛度越大,其自振動(dòng)頻率也越大。,例5、求圖示結(jié)構(gòu)的自振圓頻率。,解法1：求 k,=1/h,MBA=kh = MBC,解法2：求

3、,例6、求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率。,解：求 k,對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)一般計(jì)算柔度系數(shù)方便。 如果讓振動(dòng)體系沿振動(dòng)方向發(fā)生單位位移時(shí)，所有剛節(jié)點(diǎn) 都不能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)（如橫梁剛度為剛架)計(jì)算剛度系數(shù)方便。,一端鉸結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：,兩端剛結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：,五、阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響,忽略阻尼影響時(shí)所得結(jié)果 能不能 反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律。,大體上,忽略阻尼的振動(dòng)規(guī)律,考慮阻尼的振動(dòng)規(guī)律,結(jié)構(gòu)的自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，與外因無(wú)關(guān)。,簡(jiǎn)諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。,自由振動(dòng)的振幅永不衰減。,自由振動(dòng)的振幅逐漸衰減。,共振時(shí)的振幅趨于無(wú)窮大。,共振時(shí)的振幅較大但為有限值。,產(chǎn)生阻尼的原因：結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦；

4、材料之間的內(nèi)摩擦；周?chē)橘|(zhì)的阻力。 阻尼力的確定：總與質(zhì)點(diǎn)速度反向;大小與質(zhì)點(diǎn)速度有如下關(guān)系： 與質(zhì)點(diǎn)速度成反比（比較常用，稱(chēng)為粘滯阻尼）。 與質(zhì)點(diǎn)速度平方成反比（如質(zhì)點(diǎn)在流體中運(yùn)動(dòng)受到的阻力）。 與質(zhì)點(diǎn)速度無(wú)關(guān)（如摩擦力）。 粘滯阻尼力的分析比較簡(jiǎn)單，(因?yàn)镽(t)=Cy ).,其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來(lái)分析。,振動(dòng)模型,k,m,有阻尼的自由振動(dòng)，動(dòng)平衡方程：,( 阻尼比）,設(shè)解為：,特征方程為：,1)1（低阻尼）情況,令,ae-t,低阻尼y- t曲線,無(wú)阻尼y- t曲線,阻尼對(duì)自振頻率的影響.,當(dāng)0.2，則存在0.96r/1。在工程結(jié)構(gòu)問(wèn)題中，若0.010.1，可近似取:,稱(chēng)為振幅

5、的對(duì)數(shù)遞減率.,設(shè)yk和yk+n是相隔n個(gè)周期的兩個(gè)振幅則:,經(jīng)過(guò)一個(gè)周期后，相鄰兩振幅yk和yk+1的比值的對(duì)數(shù)為:,工程中常用此方法測(cè)定阻尼,阻尼對(duì)振幅的影響. 振幅ae- t 隨時(shí)間衰減，相鄰兩個(gè)振幅的比,振幅按等比級(jí)數(shù)遞減.,例、圖示一單層建筑物的計(jì)算簡(jiǎn)圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質(zhì)量均集中在橫梁處共計(jì)為m,，加一水平力P=9.8kN，測(cè)得側(cè)移A0=0.5cm， 然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動(dòng)。在測(cè)得周期T=1.5s 及一 個(gè)周期后的側(cè)移A1=0.4cm。求結(jié)構(gòu)的阻尼比和阻尼系數(shù)c。,解：,臨界阻尼常數(shù)cr為=1時(shí)的阻尼常數(shù)。（振與不振的分界點(diǎn)）,阻尼比。反映阻尼情況的基本參數(shù)。,3)1

6、強(qiáng)阻尼：不出現(xiàn)振動(dòng)，實(shí)際問(wèn)題不常見(jiàn)。,2)=1（臨界阻尼）情況,這條曲線仍具有衰減性， 但不具有波動(dòng)性。,15-3 單自由度體系的受迫振動(dòng),受迫振動(dòng)（強(qiáng)迫振動(dòng)）：結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的振動(dòng)。,k,彈性力ky、慣性力,和荷載P(t)之間的平衡方程為:,一、簡(jiǎn)諧荷載：,單自由度體系強(qiáng)迫 振動(dòng)的微分方程,特解：,最大靜位移yst（是把荷載幅值當(dāng)作靜荷載作用時(shí)結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生 的位移）。,特解可寫(xiě)為：,通解可寫(xiě)為：,設(shè)t=0時(shí)的初始位移和初始速度均為零，則：,過(guò)渡階段：振動(dòng)開(kāi)始兩種振動(dòng)同時(shí)存在的階段； 平穩(wěn)階段：后來(lái)只按荷載頻率振動(dòng)的階段。（由于阻尼的存在）,按自振頻率振動(dòng),按荷載頻率振動(dòng),平穩(wěn)階段：,最大

7、動(dòng)位移（振幅）為：,動(dòng)力系數(shù)為：,重要的特性： 當(dāng)/0時(shí),1，荷載變化得很慢，可當(dāng)作靜荷載處理。 當(dāng)01，并且隨/的增大而增大。 當(dāng)/ 1時(shí),。即當(dāng)荷載頻率接近于自振頻率時(shí)，振幅會(huì)無(wú)限增大。稱(chēng)為“共振”。通常把0.75 / 1.25稱(chēng)為共振區(qū)。,當(dāng)/ 1時(shí),的絕對(duì)值隨/ 的增大而減小。當(dāng)很大時(shí)，荷載變化很快，結(jié)構(gòu)來(lái)不及反應(yīng)。,當(dāng)動(dòng)荷載作用在單自由度體系的質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，由于體系上各 截面的內(nèi)力、位移都與質(zhì)點(diǎn)處的位移成正比，故各截面的最大動(dòng)內(nèi)力和最大動(dòng)位移可采用統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)，只需將干擾力幅值乘以動(dòng)力系數(shù)按靜力方法來(lái)計(jì)算即可。,例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,

8、P=20kN,=80s-1 求梁中點(diǎn)的位移幅值及最大動(dòng)力彎矩。,解：1)求,2)求,3)求ymax， Mmax,例、一簡(jiǎn)支梁（I28b），慣性矩I=7480cm4，截面系數(shù)W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中點(diǎn)有電動(dòng)機(jī)重量Q=35kN，轉(zhuǎn)速n=500r/min。由于具有偏心，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生離心力P=10kN，P的豎向分量為Psint。忽略梁的質(zhì)量，試求強(qiáng)迫振動(dòng)的動(dòng)力系數(shù)和最大撓度和最大正應(yīng)力。（梁長(zhǎng)l=4m） 解：1）求自振頻率和荷載頻率,2）求動(dòng)力系數(shù),175.6MPa,必須特別注意，這種處理方法只適用于單自由度體系在質(zhì) 點(diǎn)上受干擾力作用的情況。對(duì)于干擾力不作用于質(zhì)點(diǎn)的單自由

9、 度體系，以及多自由度體系，均不能采用這一方法。,I22b,3570cm4,3570,39.7,39.7,1.35,對(duì)于本例，采用較小的截面的梁既可避免共振，又能獲得較好的經(jīng)濟(jì)效益。,325,149.2,設(shè)體系在t=0時(shí)靜止，然后有瞬時(shí)沖量S作用。,二、一般荷載,一般荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)可利用瞬時(shí)沖量的 動(dòng)力反應(yīng)來(lái)推導(dǎo),1、瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng),瞬時(shí)沖量S引起的振動(dòng)可視為由初始條件引起的自由振動(dòng)。 由動(dòng)量定理：,2、任意荷載P(t)的動(dòng)力反應(yīng),時(shí)刻的微分沖量對(duì)t瞬時(shí)(t )引起的動(dòng)力反應(yīng):,初始靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意荷載作用下的位移公式:,(Duhamel 積分)（15.29）,初始位移y

10、0和初始速度v0不為零在任意荷載作用下的位移公式:,3、幾種典型荷載的動(dòng)力反應(yīng),1）突加荷載,yst=P0=P0 /m2,質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng),2）短時(shí)荷載,階段(0tu)：與突加荷載相同。,階段(tu)：無(wú)荷載，體系以t=u時(shí)刻的位移,和速度,為初始條件作自由振動(dòng)。,或者直接由Duhamel積分作,另解：短時(shí)荷載可認(rèn)為由兩個(gè)突加荷載疊加而成。,當(dāng)0t u,當(dāng)t u,最大動(dòng)反應(yīng),1）當(dāng) u T/2 最大動(dòng)位移發(fā)生在階段,2）當(dāng)u T/2 最大動(dòng)位移發(fā)生在階段, =2,動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜 (與T和u之間的關(guān)系曲線),3）線性漸增荷載,這種荷載引起的動(dòng)力反應(yīng)同樣可由Duhamel積分來(lái)求解:

11、,對(duì)于這種線性漸增荷載,其動(dòng)力反應(yīng)與升載時(shí)間的長(zhǎng)短有很大關(guān)系。其動(dòng)力系數(shù)的反應(yīng)譜如下：,動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜,動(dòng)力系數(shù)介于1與2之間。 如果升載很短，tr4T,則接近于1,即相當(dāng)于靜荷載情況。 常取外包虛線作為設(shè)計(jì)的依據(jù)。,三、有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng),單獨(dú)由v0引起的自由振動(dòng)：,瞬時(shí)沖量ds=Pdt=mv0所引起的振動(dòng)，可視為以v0=Pdt/m，y0=0為初始條件的自由振動(dòng)：,將荷載P(t)的加載過(guò)程 看作一系列瞬時(shí)沖量：,總反應(yīng),例、圖示一單層建筑物的計(jì)算簡(jiǎn)圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質(zhì)量均集中在橫梁處共計(jì)為m,，加一水平力P=9.8kN，測(cè)得側(cè)移A0=0.5cm， 然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動(dòng)。在測(cè)得周

12、期T=1.5s 及一 個(gè)周期后的側(cè)移A1=0.4cm。求結(jié)構(gòu)的阻尼比和阻尼系數(shù)c。,解：,（1）突加荷載P0,低阻尼y- t曲線,無(wú)阻尼y- t曲線,靜力平衡位置,具有阻尼的體系在 突加荷載作用下， 最初所引起的最大 位移接近于靜位移 yst=P0/m2的兩倍， 然后逐漸衰減，最 后停留在靜力平衡 位置。,（2）簡(jiǎn)諧荷載P(t)=Fsint,設(shè)特解為：y=Asin t +Bcos t代入（15-34）得：,+Asin t +Bcos t ,齊次解加特解得到通解：,自由振動(dòng)，因阻尼作用， 逐漸衰減、消失。,純強(qiáng)迫振動(dòng)，平穩(wěn)振動(dòng)， 振幅和周期不隨時(shí)間而變化。,結(jié)論：在簡(jiǎn)諧荷載作用下，無(wú)論是否計(jì)入阻

13、尼的作用，純 強(qiáng)迫振動(dòng)部分總是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為平穩(wěn)振動(dòng)。,y=Asin t +Bcos t =yPsin(t ) (15-35a),振幅：yp， 最大靜力位移：yst=F/k=F/m2,動(dòng)力系數(shù)與頻率比/和阻尼比有關(guān),幾點(diǎn)注意： 隨增大曲線漸趨平緩， 特別是在/=1附近的 峰值下降的最為顯著。,當(dāng)接近 時(shí)， 增加很快， 對(duì)的數(shù)值影響也很大。在0.75 / 1.25(共振區(qū))內(nèi)，阻尼大大減小了受迫振動(dòng)的位移，因此, 為了研究共振時(shí)的動(dòng)力反映, 阻尼的影響是不容忽略。在共振區(qū)之外阻尼對(duì)的影響較小，可按無(wú)阻尼計(jì)算。,max并不發(fā)生在共振/=1時(shí)，而發(fā)生在，,由y=yPsin(t ) 可見(jiàn)，阻尼體系的位移比荷載P=Fsin t 滯后一個(gè)相位角 ，,但因很小，可近似地認(rèn)為：,當(dāng)時(shí),0體系振動(dòng)得很慢，F(xiàn)I、R較小，動(dòng)荷主要由S平衡，S與y反向，y與P基本上同步；荷