特征向量計算.ppt

1、,第8章 矩陣特征值及特征向量的計算,數(shù)值計算方法矩陣特征值及特征向量的計算 電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院 賴生建,主要內(nèi)容,問題的提出 按模最大最小特征值計算 計算實對稱矩陣的雅克比法 QR 法,1.問題的提出,在數(shù)學(xué)和物理中，需要處理線性方程組，方程組的特性就是其系數(shù)矩陣的特征，即求矩陣計算矩陣的特征值及其特征向量。如波導(dǎo)模式問題 其特征值就是代數(shù)方程,a11x1+ a12x2+ a1nxn = b1 a21x1+ a22x2+ a2nxn = b2 an1x1+ an2x2+ annxn = bn,()是關(guān)于的n次多項式 也稱為矩陣A特征方程。它的n個根，稱為A的特征值。 是A的特征值時，相

2、應(yīng)的方程 的非零解x，稱為對應(yīng)特征值的特征向量。,1.問題提出,問題： 當(dāng)A的階數(shù)比較高時，化簡特征方程很復(fù)雜，求解特征方程也困難。 有些問題只要求最大特征值及特征向量。 有些問題只要求最小特征值及特征向量。 需要計算所有特征值及特征向量。,1.問題提出,2.按模最大最小特征值求法,迭代計算方法。冪法是求解最大特征值及特征向量的方法。 設(shè)n階矩陣有n個線性無關(guān)的特征向量x1, x2, xn，對應(yīng)的特征向量1,2,n，并按模的大小排列 有2種情況討論。,（1） 任取初始向量v0，由矩陣A的n個線性無關(guān)的特征向量線性表示 設(shè)a1不等于0，從v0出發(fā)做一系列迭代,2.最大最小模,(1)冪法,2.最大

3、最小模,(1)冪法,具體計算1 主要求矩陣A的冪Ak與已知向量v0的乘積，故稱冪法。是一種迭代法，其迭代的收斂速度取決于下面的比值 因反復(fù)計算A與向量Ak-1v0的乘積，會出現(xiàn)各分量值過大或過小，計算機(jī)會溢出。如何解決？,2.最大最小模,(1)冪法,方法：采用迭代向量“歸一化”，即把迭代向量的最大分量歸一化為1。計算步驟： 任取一個初始向量 構(gòu)造迭代序列 取,2.最大最小模,(1)冪法,例1：用冪法計算矩陣 模最大的特征值及其對應(yīng)的特征向量 解：,2.最大最小模,(1)冪法,（2） 迭代序列,2.最大最小模,(1)冪法,2.最大最小模,(1)冪法,說明三個向量大體上線性相關(guān),2.最大最小模,(

4、1)冪法,上式方程的左邊可以作為1,2的特征向量。 說明： 不止兩種情況，根據(jù)計算來判定 初始向量的選取對迭代次數(shù)有影響。 冪法的收斂速度是 決定的，當(dāng)接近1時，收斂很慢，需要加速。 思路：通過矩陣A的特征值對應(yīng)的特征向量組進(jìn)行規(guī)范化正交組。,2.最大最小模,(1)冪法,即 稱為Rayleigh商，并有 用冪法計算特征根1，已經(jīng)迭代到第k次,2.最大最小模,(1)冪法,對uk做一次Rayleigh商,2.最大最小模,(2)反冪法,設(shè)矩陣A是非奇異陣，則0不是A的特征值。 則A-1存在 A-1的特征值有 A-1主特征值為1/ 1及特征向量xn，就是A求模的最小特征值，用A-1代替A做冪法，叫反冪

5、法,2.最大最小模,(2)反冪法,任給初始向量v0 迭代計算A-1是不容易的事，可寫成 采用歸一化處理，步驟 每進(jìn)行1次迭代，需要計算方程組 計算量很大，事先A進(jìn)行LU分解。,2.最大最小模,(2)反冪法,例2：用反冪法計算矩陣 模最小的特征值及其對應(yīng)的特征向量 解：矩陣A的LU分解 取初始向量,3.實對稱矩陣特征值的雅克比法,雅克比法是計算實對稱矩陣的特征值及特征向量的主要迭代方法，其理論依據(jù)：對n階實對稱矩陣A，一定存在正交矩陣R，使 如何找合適的正交陣R？,最簡單的實例分析。一條二次曲線 坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn) 上面方程矩陣形式,3.雅克比法,其中 如果令 得到的值,3.雅克比法,得到 比較兩矩陣

6、 其中,3.雅克比法,推廣到一般情況，例舉一個實例說明 例3 橢球 與坐標(biāo)平面OX1X2的交線是 如果OX1 ,OX2軸旋轉(zhuǎn)/4，得到二次橢圓曲線,3.雅克比法,橢球經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后，得到新方程 變換前后方程寫成矩陣形式,3.雅克比法,經(jīng)過變換后，矩陣A的變化情況： 對角線元素的平方和由19增加到27. 非對角線元素的平方和由10.5減少到2.5，矩陣所有元素的平方和未變。 但轉(zhuǎn)換后的方程仍然保留y1y2和y2y3的乘積項，用類似的方法再次變換，如與O y2y3平面相截,3.雅克比法,橢圓方程轉(zhuǎn)換為： 二次型矩陣 對角線元素的平方和不斷增加（27.25） 非對角線元素的平方和不斷減少（2.25）

7、,3.雅克比法,雅克比法的基本思想,設(shè)A=(aij)為n階實對稱矩陣 R(i,j)為平面旋轉(zhuǎn)陣，記為R1. 記,3.雅克比法,平面旋轉(zhuǎn)陣R(i,j)有如下性質(zhì) R1TR1=I，即R1是正交陣 如果A是對稱陣，則(R1TAR1)T=R1ATR1=R1AR1, A1=R1AR1是對稱矩陣，說明對稱矩陣經(jīng)過正交變換后仍然是對稱陣。 矩陣A經(jīng)過變換后的A1第i,j行列元素的變化如下,3.雅克比法,如果取使得 即 同樣可以驗證：,3.雅克比法,如果取 大于或等于A非對角線元素的絕對值 通過一次變換，非對角線元素的平方和 說明每次迭代非對角線元素的平方和不會超過 當(dāng)經(jīng)過k次迭代后對角線元素的平方和 A變成

8、對角陣,3.雅克比法,雅克比法的計算步驟： 找出A矩陣非對角元素絕對值最大的元素aij，確定i，j 用公式計算tan2，計算sin及cos 計算 以A1代入A，重復(fù)上面步驟，直到,3.雅克比法,Ak對角元素就是特征值，逐次變換矩陣Rk的乘機(jī) 其列向量即所求的特征向量。具體計算：,3.雅克比法,例4 用雅克比法求對稱矩陣 的特征值及特征向量。 解：,3.雅克比法,3.雅克比法,4.QR方法,對任意非奇異矩陣A，可以分解成一個正交陣Q和一個上三角陣R的乘積，稱為A的QR分解。 如R的對角元是正實數(shù)，分解是唯一的。 若A是奇異的，則A有零特征值，取一個不等于A特征值的，則A- I是非奇異的。 QR方法的基本過程： A=A1，對A1進(jìn)行QR分解 交換次序R1Q1為A2 是正交相似變換，有相同的特征值。,非奇異矩陣A，借助施密特正交化過程，實行A的QR分解。記A的n個列為,4.QR方法,(1)矩陣A的QR分解,正交性且范數(shù)為1 正交規(guī)范向量，從上式依次計算,4.QR方法,(1)矩陣A的QR分解,記,4.QR方法,(1)矩陣A的QR分解,例5 對A作QR分解 解：,4.QR方法,(1)矩陣A的QR分解,4.QR方法,(1)矩陣A的QR分解,記,4.QR方法,(1)矩陣A的QR分解,A為n