高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 5.3 定積分的概念課件 新人教B版選修2-2.ppt

1、1.5.3 定積分的概念,定積分的概念,內(nèi)容：,應(yīng)用,求定積分,利用定積分求不規(guī)則圖形的面積,定積分的幾何意義,本課主要學(xué)習(xí)定積分的概念、幾何意義及定積分的性質(zhì).通過求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程,了解定積分的背景，從求曲邊梯形的面積和變速運動行駛的路程出發(fā),讓學(xué)生自己感受這兩類問題都是共同的特點:特定形式和的極限,從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)定積分的概念,再結(jié)合圖像理解定積分的幾何意義和掌握定積分的運算性質(zhì)就容易理解和掌握了.設(shè)置了3個例題，通過解決具體問題鞏固定積分的概念。 例題設(shè)置難易適度,每個例題后有針對性的練習(xí),便于學(xué)生鞏固和掌握.另外題型涉及到用定積分的概念、運算性質(zhì)和幾何意義去求解問題

2、,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。,微積分在幾何上有兩個基本問題,1.如何確定曲線上一點處切線的斜率；,2.如何求曲線下方“曲線梯形”的面積。,直線,幾條線段連成的折線,曲線？,知識回顧：,用 “以直代曲”解決問題的思想和具體操作過程：,分割,以曲代直,作和,逼近,求由連續(xù)曲線y=f(x)對應(yīng)的曲邊梯形面積的方法:,(2)以直代曲:任取xixi-1, xi，第i個小曲邊梯形的面積用高為f(xi), 寬為Dx的小矩形面積f(xi)Dx近似地去代替.,(4)逼近:所求曲邊梯形的面積S為,(3) 作和:取n個小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值：,xi-1,xi,xi,(1)分割:在區(qū)間a,b

3、上等間隔地插入n-1個點,將它等分成n個小 區(qū)間: 每個小區(qū)間寬度x,如果當(dāng)n+時，Sn 就無限接近于某個常數(shù)，,這個常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作：,從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出,通過“四個步驟”: 分割-以直代曲-求和-逼近.,1.曲邊梯形面積問題; 2.變力作功問題; 3.變速運動的距離問題.,我們把這些問題從具體的問題中抽象出來，作為一個數(shù)學(xué)概念提出來就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分的定義,它們都?xì)w結(jié)為:分割、近似求和、取逼近值,問題情境:,定積分的定義,一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上有定義,將區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間,每個小區(qū)的長度為 ,在每

4、個小區(qū)間上取一點,依次為x1,x2,.xi,.xn,作和 如果 無限趨近于0時,Sn無限趨近于常數(shù)S,那么稱常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分, 記作: .,定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號， f(x)dx 叫做被積表達式， f(x) 叫做被積函數(shù), x 叫做積分變量， a 叫做積分下限， b 叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。,積分下限,積分上限,按定積分的定義，有： (1)由連續(xù)曲線y=f(x) (f(x)0) ，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為,(2)設(shè)物體運動的速度v=v(t)，則此物體在時間區(qū)間a, b內(nèi)運動的距離s為,(3)設(shè)物體在變力F=F(r)的方向

5、上有位移，則F在位移區(qū)間a, b內(nèi)所做的功W為,注 ：定積分?jǐn)?shù)值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間 a, b 有關(guān), 與積分變量記號無關(guān),1.由曲線y=x2+1與直線x=1,x=3及x軸所圍成的曲邊梯形的面積,用定積分表示為 .,中,積分上限是 ,積分下限是 , 積分區(qū)間是 .,2,-2,-2,2,3.定積分 = .,8,函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分能否為負(fù)的?,定積分,定積分 = .,定積分的幾何意義,當(dāng) f (x) 0，定積分 的幾何意義就是,曲線 y = f (x)，直線 x = a、 x = b、 y = 0 所圍成的曲邊梯形的面積,當(dāng)函數(shù) f (x) 0 ， xa, b 時 定積分 幾何意義,就是

6、位于 x 軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù).,用定積分表示下列陰影部分面積：,S=_;,S=_;,S=_;,當(dāng)函數(shù) f (x)在 xa, b 有正有負(fù)時, 定積分 幾何意義,就是圖中幾個曲邊圖形面積的代數(shù)和,(x軸上方面積取正號,x軸下方面積取負(fù)號),定積分的幾何意義：,在區(qū)間a,b上曲線與x軸所圍成圖形面積的代數(shù)和(即x軸上方的面積減去x軸下方的面積).,例1：計算下列定積分.,求定積分，只要理解被積函數(shù)和定積分的意義，并作出圖形，即可解決.,定積分的基本性質(zhì),性質(zhì)1.,性質(zhì)2.,定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性,性質(zhì)3.,例2.用定積分表示圖中四個陰影部分面積,解：,0,0,0,0,a,y,x,y

7、,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x)=x2,f(x)=x2,f(x)=1,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x)=x2,f(x)=x2,f(x)=1,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x)=x2,f(x)=x2,f(x)=1,f(x)=(x-1)2-1,例3.,解：,x,y,f(x)=sinx,1,-1,定積分的實質(zhì)：特殊和式的逼近值,2定積分的思想和方法：,求近似以直（不變）代曲（變）,取逼近,3.定積分的幾何意義及簡單應(yīng)用,1.利用定積分的幾何意義，判斷