北師大版高中數(shù)學選修22第一章《推理與證明》全部教案

1、教案 北師大版高中數(shù)學選修北師大版高中數(shù)學選修 2-22-2 第一章第一章 推理與證明全部教案推理與證明全部教案 張 云 剛 北師大版高中數(shù)學選修北師大版高中數(shù)學選修 2-22-2 第一章推理與證明全部教案第一章推理與證明全部教案 宜君縣高級中學張云剛 第一課時第一課時歸納推理歸納推理 教學目標教學目標： 1、通過對已學知識的回顧，進一步體會合情推理這種基本的分析問題法，認識歸納 推理的基本方法與步驟，并把它們用于對問題的發(fā)現(xiàn)與解決中去。 2.歸納推理是從特殊到一般的推理方法，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性， 那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 教學重點教

2、學重點：了解合情推理的含義，能利用歸納進行簡單的推理。 教學難點教學難點：用歸納進行推理，做出猜想。 教學過程教學過程： 一、課堂引入： 從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理。見書上的三個推理 案例，回答幾個推理各有什么特點？都是由“前提”和“結論”兩部分組成，但是推理 的結構形式上表現(xiàn)出不同的特點，據(jù)此可分為合情推理與演繹推理 二、新課講解： 1、蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇，鱷魚，海龜，蜥蜴都是爬行動物，所有的爬行動物都是用肺呼吸的。 2、三角形的內(nèi)角和是180，凸四邊形的內(nèi)角和是360，凸五邊形的內(nèi)角和是540 由此我們猜想

3、：凸邊形的內(nèi)角和是(n2)180 221 222 221aam 3、（a,b,m均為正實數(shù)）, ,L ，由此我們猜想： 331 332 333bbm 這種由某類事物的部分對象具有某些特征 ,推出該類事物的全部對象都具有這些特 征的推理,或者由個別事實概栝出一般結論的推理,稱為歸納推理.(簡稱：歸納) 歸納推理的一般步驟： 對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理； 提出帶有規(guī)律性的結論，即猜想； 檢驗猜想。 實驗，觀察概括，推廣猜測一般性結論 三、例題講解： 例 1 已知數(shù)列a n的通項公式 a n 1 (nN )，f (n) (1a 1)(1a2 ) (1a n )， 2(n1) 試通過計算f

4、(1),f (2), f (3)的值，推測出f (n)的值。 【學生討論： 】 （學生討論結果預測如下） 13 （1）f (1)1a 1 1 44 13 824 f (2) (1a 1)(1a2 ) f (1)(1 ) ) 94 936 12 155 f (3) (1a 1)(1a2 )(1a 3 ) f (2)(1) 163 168 由此猜想，f (n) n2 2(n1) 學生討論：1）哥德巴赫猜想：任何大于 2 的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的之和。 2）三根針上有若干個金屬片的問題。 四、鞏固練習： 111 1、已知，經(jīng)計f (n) 1 (nN ) 23n 357 算 :f (2) , f (

5、4) 2, f (8),f (16) 3,f (32) ， 推 測 當n 2時 ， 有 222 _. 2、已知：sin230osin290osin2150o 33 ，sin25osin265osin2125o。 22 觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并證明之。 3、觀察（1）tan10otan20o tan20otan60otan60otan10o1 （2）tan5otan10otan10otan75otan75otan5o1。 由以上兩式成立，推廣到一般結論，寫出你的推論。 注：歸納推理的幾個特點： 1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結論超越了前提所包容的 范

6、圍. 2.歸納是依據(jù)若干已知的、 沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結論具有猜測 性. 3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗和實驗的基礎之上. 歸納是立足于觀察、 經(jīng)驗、 實驗和對有限資料分析的基礎上.提出帶有規(guī)律性的結論. 五、教學小結： 1.歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數(shù)目越多，越 具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 2.歸納推理的一般步驟：1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)。 2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題（猜想） 。 第二課時第二課時類比推理類比推理 教學目標：教學目標

7、： （一）知識與能力：（一）知識與能力： 通過對已學知識的回顧，認識類比推理這一種合情推理的基本方法，并把它用于對問 題的發(fā)現(xiàn)中去。 （二）過程與方法：（二）過程與方法： 類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類比的性質(zhì)相 似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可 靠。 （三）情感態(tài)度與價值觀：（三）情感態(tài)度與價值觀： 1正確認識合情推理在數(shù)學中的重要作用，養(yǎng)成從小開始認真觀察事物、分析問題、發(fā) 現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問題，探求新知識。 2認識數(shù)學在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學生學數(shù)學，用數(shù)學，完善數(shù)學的正確

8、 數(shù)學意識。 教學重點：教學重點：了解合情推理的含義，能利用類比進行簡單的推理。 教學難點：教學難點：用類比進行推理，做出猜想。 教具準備：教具準備：與教材內(nèi)容相關的資料。 教學過程：教學過程： 一問題情境一問題情境 從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認為是木匠業(yè)的祖師）一次 去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子. 他的思路是這樣的： 茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的. 這個推理過程是歸納推理嗎？ 二數(shù)學活動二數(shù)學活動 我們再看幾個類似的推理實例。 例例 1 1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。、試根據(jù)等式

9、的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。 等式的性質(zhì)：猜想不等式的性質(zhì)： (1) a=ba+c=b+c;(1) aba+cb+c; (2) a=b ac=bc;(2) ab acbc; (3) a=ba2=b2;等等。(3) aba2b2;等等。 問：這樣猜想出的結論是否一定正確？問：這樣猜想出的結論是否一定正確？ 例例 2 2、試將平面上的圓與空間的球進行類比、試將平面上的圓與空間的球進行類比. . 圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合. 球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合. 圓球 弦截面圓 直徑大圓 周長表面積 面積體積 圓的性質(zhì)球的性質(zhì) 圓心與弦(不是直徑)的中點的連線垂直球心與

10、截面圓 (不是大圓)的圓點的連線 于弦垂直于截面圓 與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離與球心距離相等的兩截面圓相等；與球 不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長心距離不等的兩截面圓不等，距球心較 近的截面圓較大 圓的切線垂直于過切點的半徑；經(jīng)過圓心球的切面垂直于過切點的半徑；經(jīng)過球 且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點心且垂直于切面的直線必經(jīng)過切點 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓經(jīng)過切點且垂直于切面的直線必經(jīng)過球 心心 上述兩個例子均是這種由兩個（兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出他這種由兩個（兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出他 們在其他方面也相似或相同；或其中一類對象的某些已

11、知特征，推出另一類對象也具有們在其他方面也相似或相同；或其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有 這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比） 簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理 類比推理的一般步驟：類比推理的一般步驟： 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想； 檢驗猜想。即 觀察、比較觀察、比較聯(lián)想、類推聯(lián)想、類推猜想新結論猜想新結論 例例 3.3.在平面上在平面上, ,設設 h h a a,h ,h b b,h ,h c c 是三角形是三角形 ABCABC 三條邊上的高三條邊上的高.P

12、.P 為三角形內(nèi)任一點為三角形內(nèi)任一點,P,P 到相應三到相應三 p a : :pp邊的距離分別為邊的距離分別為 p p a a,p ,p b b,p ,p c c, ,我們可以得到結論 我們可以得到結論 bc1 h a h b h c 試通過類比試通過類比, ,寫出在空間中的類似結論寫出在空間中的類似結論. . 鞏固提高 1 1(20XX(20XX 年上海年上海) )已知兩個圓已知兩個圓x2+y2=1:x2+y2=1:與與x2+(y-3)2=1,x2+(y-3)2=1,則由式減去式可得上述則由式減去式可得上述 兩圓的對稱軸方程兩圓的對稱軸方程. .將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣將上

13、述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣, ,即要求得到一個更一即要求得到一個更一 般般 的的 命命 題題 , , 而而 已已 知知 命命 題題 應應 成成 為為 所所 推推 廣廣 命命 題題 的的 一一 個個 特特 例例 , , 推推 廣廣 的的 命命 題題 為為 - - - 2 2類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理, ,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想 直角三角形直角三角形 C C9090 3 3 個邊的長度個邊的長度a a，b b，c c 2 2 條直角邊條直角邊a a，b b和和 1 1 條斜邊條斜邊c c 3 3 個面兩兩垂直的四面體個面

14、兩兩垂直的四面體 PDFPDFPDEPDEEDFEDF9090 4 4 個面的面積個面的面積S S1 1，S S2 2，S S3 3 和和S S 3 3 個“直角面”個“直角面”S S1 1，S S2 2，S S3 3 和和 1 1 個“斜個“斜 面”面”S S 1類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相 似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可 靠。 2類比推理的一般步驟： 第三課時第三課時綜合法綜合法 【教學目標】【教學目標】 1理解綜合法的思維過程及其特點； 2掌握運用綜合法證明數(shù)學問題的一般步驟，能運用綜合法證明簡單

15、的數(shù)學問題。 【教學重點難】【教學重點難】理解綜合法的思維過程和特點； 運用綜合法證（解）題時，找出有效的推理“路線” ； 綜合法：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過的不等式及不等式 的性質(zhì)經(jīng)過一系列的推理、論證等而推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法。 （也叫順推證法或由因?qū)Чǎ?例 1、已知 a, b, c 是不全相等的正數(shù)， 求證：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc 分析：不等式左邊含有“ a +b ”的形式，我們可以運用基本不等式： a +b 2ab; 還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,

16、c2a,ab2,bc2,ca2的“和” ， 右邊有三正數(shù) a,b,c 的“積” ，我們可以運用重要不等式：a3+b3+c33abc. 證：b2 + c2 2bc , a 0 ,a(b2 + c2) 2abc 同理：b(c2 + a2) 2abc , c(a2 + b2) 2abca(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc 當且僅當 b=c,c=a,a=b 時取等號，而 a, b, c 是不全相等的正數(shù) 三式不同時取等號，三式相加得 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc 本例證法可稱為三合一法，當要證的不等式關

17、于字母具有對稱形式時，我們?？砂哑淇?成是由若干個結構相同但所含字母較少的不等式相加或相乘而得，我們只要先把減了元 的較簡單的不等式證出，即可完成原不等式的證明。 111 例 2、a , b, cR,求證：1(a b c)() 9 abc 1119 2(a b c)() a bb cc a2 abc3 3 b cc aa b2 2222 證：1、法一：a b c 33abc, 法二：左邊 1111 33,兩式相乘即得。 abcabc abcabcabcbacacb 3( )( )( ) abcabacbc 3 + 2 + 2 + 2 = 9 2、 a bb cc a3 3(a b)(b c)(

18、c a) 2222 1111 兩式相乘即得 33 a bbcc a(a b)(b c)(c a) 3、由上題：(a b c)( 1119 ) a bb cc a2 cab9abc3 111，即： a bb cc a2b cc aa b2 例 3、已知 a，b，c 都是正數(shù)，且 a，b，c 成等比數(shù)列，求證：a2b2 c2 (a b c)2 證明：左右=2（ab+bcac） ，a，b，c 成等比數(shù)列，b2 ac 又a，b，c 都是正數(shù)，所以0 b ac a c a c，a c b 2 2(ab bc ac) 2(ab bc b2) 2b(a c b) 0a2b2 c2 (a b c)2 說明：此

19、題在證明過程中運用了比較法、基本不等式、等比中項性質(zhì)，體現(xiàn)了綜合法證 明不等式的特點 例 4、制造一個容積為 V（定值）的圓柱形容器，試分別就容器有蓋及無蓋兩種情況，求： 怎樣選取底半徑與高的比，使用料最??？ 分析：根據(jù) 1 題中不等式左右的結構特征，考慮運用“基本不等式”來證明.對于 2 題， 抓住容積為定值，建立面積目標函數(shù)，求解最值，是本題的思路. 解：設容器底半徑為 r,高為 h,則 V=r2h,h= (1)當容器有蓋時，所需用料的面積： S=2r2+2rh=2r2+ VV2VVV =2r2+332r2 332V2 rrrrr V . 2r 當且僅當 2r2= VVr1V ,即 r=3

20、,h= 2 =2r,取“=”號.故時用料最省. 2rh2r （2）當容器無蓋時，所需用料面積：S=r2+2rh=r2+ 當且僅當r2= VVV ,r=3,h= 2 =r.即 r=h 時用料最省. rr 2VVV =r2+33 V 2 rrr 作業(yè)補充題： 1、設 a0,b0,c0 且 a+b+c=1,求證：8abc(1-a)(1-b)(1-c). 2、設 a,b,c 為一個不等邊三角形的三邊，求證：abc(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b). a b 3 a3b3 ) 3、已知 a, bR ，求證：( 22 + 第四課時第四課時分析法分析法 【教學目標】【教學目標】 結合已學過的實例，了

21、解直接證明的方法分析法，了解分析法的思考過程與特點。 【教學重點難】【教學重點難】理解分析法的思維過程和特點； 運用分析法證（解）題時，規(guī)范書寫證明過程. 分析法：當用綜合法不易發(fā)現(xiàn)解題途徑時，我們可以從求證的不等式出發(fā)，逐步分析 尋求使這個不等式成立的充分條件， 直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實， 從而得出要證的不等式成立，這種執(zhí)果所因的思考和證明方法叫做分析法。使用分析 法證明時，要注意表述的規(guī)范性，當問題比較復雜時，通常把分析法和綜合法結合使 用，以分析法尋求證明的思路，而用綜合法進行表述，完成證明過程。 例 1、求證：3 7 2 5 證：分析法：綜合表述： 3 7 0,2 5

22、 021 25 只需證明：( 3 7)2 (2 5)221 5 展開得：10 2 21 202 21 10 即：2 21 1010 2 21 20 21 5( 3 7)2 (2 5)2 即： 21 0，y 0，證明不等式：(x y ) (x y ) 證一： （分析法）所證不等式即：(x2 y2)3 (x3 y3)2 即：x6 y63x2y2(x2 y2) x6 y6 2x3y3 22 1 2 3 1 3 3 即：3x2y2(x2 y2) 2x3y3 只需證：x2 y2 22 2 xy 3 11 2 x y 2xy xy成立(x2 y2)2 (x3 y3)3 3 證二： （綜合法）(x2 y2)

23、3 x6 y63x2y2(x2 y2) x6 y6 6x3y3 x6 y6 2x3y3 (x3 y3)2 x 0，y 0， (x y ) (x y ) 例 3、已知：a + b + c = 0，求證：ab + bc + ca 0 證一： （綜合法）a + b + c = 0(a + b + c)2 = 0 a2b2 c2 展開得：ab bc ca 2 22 1 2 3 1 3 3 ab + bc + ca 0 證二： （分析法）要證 ab + bc + ca 0a + b + c = 0 故只需證 ab + bc + ca(a + b + c)2 即證：a2b2 c2 ab bc ca 0 1

24、 即：(a b)2 (b c)2 (c a)2 0（顯然）原式成立 2 證三：a + b + c = 0 c = a + b ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab (a + b)2= a2b2ab = b 2 3b2 (a ) 0 24 a2b2 2 2，并求等號成立的條件。例 4、已知a b 0,ab 1，求證： ab 分析：不等式右邊是常數(shù)，能否用平均值定理？應當可以。 （找條件一正、二定、三相等） 如何把左邊變形為和的形式？多項式的除法或配湊！ 2aba2b2(ab)22ab (ab)左=（看到了希望！ ） ababab =ab 2 （已知ab 1） ab

25、2 2 1a ( 6 2) (ab) 2 2 2 當ab 時，由解出當時等號成立。 ab ab 1b 1 ( 6 2) 2 2 例 5、a0,b0,且 a+b=1,求證:a 11 b 2. 22 證明:a 111111 b 2 (a+)+(b+)+2a b 4 222222 a 31a b111 1ab+1abb 1ab+ 442422 11a b 2 1 ) =成立，故a b 2. 2224 a0,b0,且 a+b=1,ab( 作業(yè)補充題 1.求證:6 7 2 2 5. 2、若 a,b0,2ca+b,求證: (1)c2ab； （2）c -c2aba c +c2ab 3、求證:a,b,cR+,

26、求證:2( a ba b c 3ab) 3(abc) 23 4、設 a, b, c 是的ABC 三邊，S 是三角形的面積，求證：c2 a2b2 4ab 4 3S 5、已知 0 0，且 x + y 2，則 1 y1 x 和中至少有一個小于 2。 yx 反設 立 1 x1 y 2，2x, y 0，可得 x + y 2與 x + y 2 矛盾，原式成 yx 例 2、已知 a + b + c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求證：a, b, c 0 證： （1）設 a 0,bc 0,則 b + c = a 0ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 矛盾，必有 a 0

27、 同理可證：b 0, c 0 例 3、設 0 a, b, c 1 4 111 , (1 b)c , (1 c)a , 444 1 則三式相乘： (1 a)b(1 b)c(1 c)a 64 11(1a) a (1b)b 又0 a, b, c B， 我們可以適當?shù)恼乙粋€中間 量 C 作為媒介， 證明 AC 且 CB,從而得到 AB.我們把這種把 B 放大到 C(或把 A 縮小到 C)的方法稱為放縮法.放縮是一種重要的變形手段,但是放縮的對象以及放縮的尺度不 易掌握,技巧性較強,這關系到證明的成敗,往往需要根據(jù)具體的題目經(jīng)過多次的探索 和試驗才能成功,因此必須多練. 比較常用的方法時把分母或分子適當

28、放大或縮小 （減 去或加上一個正數(shù)）使不等式簡化易證。 例 4、若 a, b, c, dR+，求證：1 abcd 2 a b db c ac d bd a c abcd 證：記 m = a b db c ac d bd a c m a,b,c,dR+ abcd 1 a b c da b c ac d a bd a b c abcd m 2 a ba bc dd c 1 m 2 時，求證：log n (n 1)log n (n 1) 1 證：n 2log n (n 1) 0,log n (n 1) 0 log n (n21)log n n2 log n (n 1) log n (n 1) log

29、 n (n 1)log n (n 1) n 1， 22 2 2 22 2 時,log n (n 1)log n (n 1) 1 例 6、求證： 證： 1111 2 2222123n 1111 2n(n 1)n 1nn 11111111 L 1K 122232n2122334(n-1)n 111111 1 （1） （ ） L （） 2 2 223n1nn 思考：若把不等式的右邊改成 例 7、 求證： 761 或，你可以證明嗎？ 436 b|ab|a| 1|ab|1|a|1 b 證：|a+b|a|+|b|a|+|b|-|a+b|0, abab (a b ab) (課本P22 “溶液”例結論） 1

30、ab1 ab (a b ab) a babab （把分母減小，使分式放大）. 1 a b1 a b1 a b1 a1 b abab . 1 ab1 a1 b 即: 作業(yè)補充題 1、設 0 a, b, c 0, y 0,a 5、證明： x yxy ,b ，求證：a b 1 x y1 x1 y 1 2 1111 2 1(nR,n 2) nn 1n 2n 114 0 a bb cc a 6、證明：lg9lg11 b c,則 第五課時第五課時數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法 【教學目標】【教學目標】 1 使學生了解歸納法, 理解數(shù)學歸納的原理與實質(zhì) 2 掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟；會用“數(shù)學歸納法”證明簡單的與

31、自然數(shù)有關的命 題 3 培養(yǎng)學生觀察, 分析, 論證的能力, 進一步發(fā)展學生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力， 讓 學生經(jīng)歷知識的構建過程, 體會類比的數(shù)學思想 4 努力創(chuàng)設課堂愉悅情境，使學生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學生學習的興趣 和課堂效率 5 通過對例題的探究， 體會研究數(shù)學問題的一種方法(先猜想后證明), 激發(fā)學生的學習 熱情，使學生初步形成做數(shù)學的意識和科學精神 【教學重點】【教學重點】歸納法意義的認識和數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的分析 【教學難點】【教學難點】數(shù)學歸納法中遞推思想的理解 【教學方法】【教學方法】類比啟發(fā)探究式教學方法 【教學手段】【教學手段】多媒體輔助課堂教學 【教學程序】

32、第一階段：輸入階段創(chuàng)造學習情境，提供學習內(nèi)容 1 創(chuàng)設問題情境，啟動學生思維 (1) 不完全歸納法引例： 明朝劉元卿編的應諧錄中有一個笑話：財主的兒子學寫字這則笑話中財主的 兒子得出“四就是四橫、五就是五橫”的結論，用的就是“歸納法” ，不過，這個歸 納推出的結論顯然是錯誤的 (2) 完全歸納法對比引例： 有一位師傅想考考他的兩個徒弟，看誰更聰明一些他給每人一筐花生去剝皮，看 看每一粒花生仁是不是都有粉衣包著，看誰先給出答案大徒弟費了很大勁將花生全部 剝完了；二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁 的，幾個一仁、兩仁的，總共不過一把花生顯然，二徒弟先給出答案，他比

33、大徒弟聰 明 在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法也有廣泛應用例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積 累的歷史資料作氣象預測，水文預報，用的就是歸納法這些歸納法卻不能用完全歸納 法 2 回顧數(shù)學舊知，追溯歸納意識 （從生活走向數(shù)學，與學生一起回顧以前學過的數(shù)學知識，進一步體會歸納意識， 同時讓學生感受到我們以前的學習中其實早已接觸過歸納 ） (1) 不完全歸納法實例： 給出等差數(shù)列前四項, 寫出該數(shù)列的通項公式 (2) 完全歸納法實例： 證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情 況 3 借助數(shù)學史料, 促使學生思辨 （在生活引例與學過的數(shù)學知識的基礎上，再引導學生看數(shù)學史料，能夠讓學生多 方位多角

34、度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性同時引導學生進行思辨：在數(shù)學中 運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結論，不管是我們還是數(shù)學大家都可能如此那么， 有沒有更好的歸納法呢？） 問題 1 已知a n (n25n 5)2（nN） ， (1)分別求a 1 ；a 2 ；a 3 ；a 4 (2)由此你能得到一個什么結論？這個結論正確嗎？ （培養(yǎng)學生大膽猜想的意識和數(shù)學概括能力概括能力是思維能力的核心魯賓斯 坦指出：思維都是在概括中完成的心理學認為“遷移就是概括” ，這里知識、技能、思 維方法、數(shù)學原理的遷移，我找的突破口就是學生的概括過程 ） 問題 2 費馬（Fermat）是 17 世紀法國著名的數(shù)學家，他

35、曾認為，當nN時，221 一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n0，1，2，3，4 作了驗證后得到的后來，18 世紀偉大的瑞 士科學家歐拉（Euler）卻證明了2214 294 967 2976 700 417641，從而否定 了費馬的推測沒想到當n5 這一結論便不成立 問題 3f (n) n2 n 41, 當nN時，f (n)是否都為質(zhì)數(shù)？ 驗證：f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4）61，f（5） 71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151，f（39） 1 601但是f（40）1 681412，是合數(shù) 第二階段：新舊知識相互作用階段新舊知

36、識作用，搭建新知結構 4 搜索生活實例，激發(fā)學習興趣 （在第一階段的基礎上，由生活實例出發(fā)，與學生一起解析歸納原理 , 揭示遞推過 程孔子說： “知之者不如好之者，好之者不如樂之者 ”興趣這種個性心理傾向一般總 是伴隨著良好的情感體驗 ） 實例：播放多米諾骨牌錄像 關鍵：(1) 第一張牌被推倒； (2) 假如某一張牌倒下 , 則它的后一張牌必定倒 下 于是, 我們可以下結論： 多米諾骨牌會全部倒下 搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車, 早操排隊對齊等 5 n 5 類比數(shù)學問題, 激起思維浪花 類比多米諾骨牌過程, 證明等差數(shù)列通項公式a n a 1 (n 1)d： (1) 當n1 時等式成立；

37、 (2) 假設當nk時等式成立, 即a k a 1 (k 1)d, 則 a k1 a k d=a1(k 1) 1d, 即nk1 時等式也成立于是, 我們可以下結論：等 差數(shù)列的通項公式a n a 1 (n 1)d對任何nN*都成立 （布魯納的發(fā)現(xiàn)學習理論認為， “有指導的發(fā)現(xiàn)學習”強調(diào)知識發(fā)生發(fā)展過程這里 通過類比多米諾骨牌過程， 讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學歸納法的雛形， 是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學習 ） 6 引導學生概括, 形成科學方法 證明一個與正整數(shù)有關的命題關鍵步驟如下： (1) 證明當n取第一個值n 0 時結論正確； (2) 假設當nk(kN*，kn 0 )時結論正確, 證明當nk1 時結論也正確 完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從n 0 開始的所有正整數(shù)n都正確 這種證明方法叫做數(shù)學歸納法 第三階段：操作階段鞏固認知結構，充實認知過程 7 蘊含猜想證明, 培養(yǎng)研究意識 （本例要求學生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數(shù)學歸納法，也能教給學生做數(shù) 學的方法，培養(yǎng)學生獨立研究數(shù)學問題的意識和能力 ） a n例題 在數(shù)列a n 中,a 1 1,a n1 (nN*), 先計算a 2 ，a 3 ，a 4 的值，再 1 a n 推測通項a n 的公式, 最后證明你的結論 8 基礎反饋練習, 鞏固方法應用 （課本例題與等差數(shù)列通項公式的證明