人教版初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題含

1、二次函數(shù)二次函數(shù) 一、二次函數(shù)概念：一、二次函數(shù)概念： 1二次函數(shù)的概念：一般地，形如y ax2 bx c（a， b， c是常數(shù)，a 0）的 函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類 似，二次項(xiàng)系數(shù) a 0，而b， c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí) 數(shù) 2. 二次函數(shù) y ax2bx c的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量 x的二次式，x 的最高次數(shù)是 2 a， b， c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c 是常數(shù)項(xiàng) 二、二次函數(shù)的基本形式二、二次函數(shù)的基本形式 1. 二次函數(shù)基本形式： y ax2 的性質(zhì)： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。 a的符 開口 方

2、向 頂點(diǎn) 坐標(biāo) 對稱 性質(zhì) 軸 x 0 時(shí)，y隨 x的增大而增大；x0 號(hào) a 0 向上0， 0 y 軸時(shí)，y隨 x的增大而減??；x 0 時(shí)， y 有最小值 0 x 0 時(shí)，y隨 x的增大而減??；x0 a 0 向下0， 0 y 軸時(shí)，y隨 x的增大而增大；x 0 時(shí)， 2. y 有最大值 0y ax2c / 16 的性質(zhì)： 上加下減。 a的符 開口 方向 頂點(diǎn) 坐標(biāo) 對稱 性質(zhì) 軸 x 0 時(shí)，y隨 x的增大而增大；x0 號(hào) a 0 向上0， c y 軸時(shí)，y隨 x的增大而減?。粁 0 時(shí)， y 有最小值 c x 0 時(shí)，y隨 x的增大而減小；x0 a 0 向下0， c y 軸時(shí)，y隨 x的增

3、大而增大；x 0 時(shí)， y 有最大值 c 3. y ax h2 的性質(zhì)： 左加右減。 a的符 開口 方向 頂點(diǎn) 坐標(biāo) 對稱 性質(zhì) 軸 x h 時(shí)，y隨 x的增大而增大；xh 號(hào) a 0 向上h， 0時(shí)，y隨 x的增大而減??；x h 時(shí)， y 有最小值 0 x h 時(shí)，y隨 x的增大而減??；xh a 0 向下h， 0時(shí)，y隨 x的增大而增大；x h 時(shí)， y 有最大值0 / 16 4. y axh2k 的性質(zhì)： a 的符開口 方向 頂點(diǎn) 坐標(biāo) 對稱 性質(zhì) 軸 x h 時(shí)，y隨 x的增大而增大；xh 號(hào) a 0 向上h， k時(shí)，y隨 x的增大而減?。粁 h 時(shí)， y 有最小值 k x h 時(shí)，y隨

4、 x的增大而減??；xh a 0 向下h， k時(shí)，y隨 x的增大而增大；x h 時(shí)， y 有最大值 k 三、二次函數(shù)圖象的平移三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式 y axh2k ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) h， k； 保持拋物線 y ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h， k處，具體平 移方法如下： y=ax2 向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h0)】 平移|k|個(gè)單位 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ h值正右移， 負(fù)左移；k 值正上移， 負(fù)下移” / 16 概括成

5、八個(gè)字“左加右減，上加下減” 四、二次函數(shù)四、二次函數(shù) y axh2k 與與 y ax2bx c的比較 的比較 從解析式上看， y axh2k 與 y ax2bxc是兩種不同的表達(dá)形式，后 b 4ac b2 者通過配方可以得到前者，即 y ax 2a4a 2 b4acb2 ，其中 h ， k 2a4a 六、二次函數(shù)六、二次函數(shù) y ax2bx c的性質(zhì) 的性質(zhì) 1. 當(dāng) a 0 時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為 x b ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2a b4acb2 ， 4a 2a 當(dāng) x b 時(shí)， y 隨 x的增大而減小； 2a 當(dāng) x b 時(shí)， y 隨 x的增大而增大； 2a 4acb2b 當(dāng) x 時(shí)， y

6、 有最小值 4a2a 2a 2. 當(dāng) a 0 時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為 x b ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 b4acb2bb x， 當(dāng)時(shí)， 隨 的增大而增大；當(dāng)時(shí)， y 隨 x的增yx x 2a4a2a2a 4acb2b 大而減??；當(dāng) x 時(shí)， y 有最大值 4a2a 七、二次函數(shù)解析式的表示方法七、二次函數(shù)解析式的表示方法 1. 一般式： y ax2bx c （ a，b，c 為常數(shù)， a 0） ； 2. 頂點(diǎn)式： y a(x h)2 k （ a，h，k 為常數(shù)， a 0） ； 3. 兩根式（交點(diǎn)式） ： y a(x x 1)(x x2 ) （ a 0，x ， x 2 是拋物線與 x 軸兩 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

7、）. 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有 的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與 x 軸有交點(diǎn)，即 b24ac 0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解 析式的這三種形式可以互化. 八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 1 / 16 1. 二次項(xiàng)系數(shù) a 當(dāng) a 0 時(shí)，拋物線開口向上， a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值 越小，開口越大； 當(dāng) a 0 時(shí)，拋物線開口向下， a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值 越大，開口越大 2. 一次項(xiàng)系數(shù)b 在二次項(xiàng)系數(shù) a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸 （同左異右 b 為 0

8、 對稱軸為 y 軸） 3. 常數(shù)項(xiàng) c 當(dāng) c 0時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在 x軸上方，即拋物線與y 軸交 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng) c 0時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與 y 軸交 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0； 當(dāng) c0時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在 x軸下方，即拋物線與y 軸交 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來， c 決定了拋物線與 y 軸交點(diǎn)的位置 十、二次函數(shù)與一元二次方程：十、二次函數(shù)與一元二次方程： 1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與 x軸交點(diǎn)情況）： 一元二次方程 ax2bx c 0 是二次函數(shù) y ax2bx c 當(dāng)函數(shù)值 y 0 時(shí)的特 殊情況. 圖象與 x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)

9、 b24ac 0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax 1 ， 0，Bx 2 ， 0(x 1 x 2 )，其中 的 x 1 ，x 2 是一元二次方程 ax2bx c 0a 0的兩根. 當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)； / 16 當(dāng) 0時(shí)，圖象與x 軸沒有交點(diǎn). 圖象落在 x軸的上方， 無論x為任何實(shí)數(shù)， 都有y 0 ； 1 當(dāng) a 0時(shí)， 2 當(dāng) a 0時(shí)， 圖象落在x軸的下方， 無論x為任何實(shí)數(shù)， 都有y 0 2. 拋物線 y ax2bx c 的圖象與 y 軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0 ， c)； 二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題 一、選擇題一、選擇題 1. 二次函數(shù) y x24x7的頂點(diǎn)坐標(biāo)

10、是( ) A.(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3） 2. 把拋物線 y 2x2向上平移 1 個(gè)單位，得到的拋物線是（ ） A. y 2(x1)2 B.y 2(x1)2 C.y 2x21 D.y 2x21 3.函數(shù) y kx2k 和 y k (k 0)在 x 同一直角坐 標(biāo)系中圖象可能是圖中的( ) / 16 4.已知二次函數(shù) y ax2bxc(a 0)的圖象如圖所示,則下列結(jié) 論: 同號(hào);當(dāng)x 1和x 3時(shí),函數(shù)值相等;4ab 0當(dāng) y 2時(shí),x的值只能取 0.其中正確的個(gè)數(shù)是( ) A.1 個(gè) B.2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè) 5.已知二次函數(shù) y ax2b

11、xc(a 0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，-3.2） 及部分圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程 ax2bxc 0的兩個(gè)根分別是x 1 1.3和x 2 （ ） . 2.3 0.3 3.3 6. 已知二次函數(shù) y ax2bxc的圖象如圖所示，則點(diǎn) (ac,bc)在（ ） A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限 7.方程2x x2的正根的個(gè)數(shù)為（） A.0 個(gè) B.1 個(gè) C.2 個(gè). 3 個(gè) 8.已知拋物線過點(diǎn)A(2,0)(-1,0),與 y 軸交于點(diǎn)C,且2.則這條拋物線的 解析式為 A. y x2 x2 B.y x2 x 2 C. y x2 x2或y x2 x 2 D.y x2 x2或y

12、 x2 x2 2 x 二、填空題二、填空題 9二次函數(shù) y x2bx3的對稱軸是x 2，則b 。 / 16 10已知拋物線 2（3）+5，如果 y 隨 x 的增大而減小，那么 x 的取值 范圍是. 11一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過點(diǎn)（1，2） ，當(dāng)x0 時(shí)，函 數(shù)值 y隨自變量x的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 （只寫一個(gè)即可） 。 12拋物線 y 2(x2)26的頂點(diǎn)為 C，已知直線y kx3過點(diǎn) C，則這條 直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為。 13. 二次函數(shù) y 2x24x1的圖象是由y 2x2bxc的圖象向左平移 1 個(gè) 單位,再向下平移 2 個(gè)單位得到的,則。 14如

13、圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是 16 米，跨度是 40 米， 在線段上離中心 M 處 5 米的地方，橋的高度是 (取 3.14). 三、解答題：三、解答題： 15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x3 0,圖象經(jīng)過(16),且與y軸的交 點(diǎn)為(0,). (1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式; (2)當(dāng) x 為何值時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為 0?第 15 題圖 5 2 (3)當(dāng) x 在什么范圍內(nèi)變化時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值y隨 x 的增大而增大? / 16 16.某種爆竹點(diǎn)燃后，其上升高度 h（米）和時(shí)間 t（秒）符合關(guān)系式 1 ，其中重力加速度 h v 0t gt2 （0t2） 2 g 以 10 米/秒 計(jì)算

14、這種爆竹 2 點(diǎn)燃后以 v 0=20 米/秒的初速度上升， （1）這種爆竹在地面上點(diǎn)燃后，經(jīng)過多少時(shí)間離地 15 米？ （2）在爆竹點(diǎn)燃后的 1.5 秒至 1.8 秒這段時(shí)間內(nèi)，判斷爆竹是上 升，或是下降，并說明理由. 17.如圖，拋物線 y x2bxc經(jīng)過直線y x3與坐 標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn) A、B，此拋物線與 x軸的另一個(gè)交 點(diǎn)為 C，拋物線頂點(diǎn)為 D. （1）求此拋物線的解析式； （2）點(diǎn) P 為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使S APC ： S ACD 5 ：4 的點(diǎn) P 的坐標(biāo)。 / 16 18. 紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料 （這里的代銷是指廠家先免 費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，

15、未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）當(dāng) 每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45 噸該建材店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn) 備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降 10 元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加7.5 噸綜合考慮各種因素，每售出一噸建 筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用 100 元設(shè)每噸材料售價(jià)為 x（元） ，該 經(jīng)銷店的月利潤為 y（元） （1）當(dāng)每噸售價(jià)是 240 元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量； （2）求出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出 x 的取值范圍） ； （3）該建材店要獲得最大月利潤，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？ （4）小靜說： “當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額也最大 ”你認(rèn)為對嗎？請 說明理由 / 16 二

16、次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練 1、心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所 2用的時(shí)間x（分）之間滿足函數(shù)關(guān)系：y = -0.1x +2.6x + 43 (0 x30). （1）當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？ 當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步減弱？ （2）第 10 分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少？ （3）第幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？ 2、 如圖,已知是一等腰三角形鐵板余料,其中 2024.若在上截出一矩 形零件,使在上,點(diǎn) D、G 分別在邊、上. 問矩形的最大面積是多少? A DG B EFC / 16 3、 如圖,中,90612.點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始,沿

17、邊向點(diǎn) B 以每秒 1 的速度 移動(dòng);點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 開始,沿著邊向點(diǎn) C 以每秒 2 的速度移動(dòng).如果 同時(shí) 出發(fā),問經(jīng)過幾秒鐘的面積最大?最大面積是多少? C Q A PB 4、如圖，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下 4 米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是 拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5 米時(shí)，達(dá)到最大高度3.5 米，然后 準(zhǔn)確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為 3.05 米. (1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式; (2)該運(yùn)動(dòng)員身高 1.8 米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25 米處出 手，問：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少. y (0,3.5) m3. 05 O m4 x 5、如

18、圖，要建一個(gè)長方形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，如果用 50 m / 16 長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場，設(shè)它的長度為x m. (1)要使雞場面積最大，雞場的長度應(yīng)為多少m？ (2)如果中間有n(n是大于 1 的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場面積最大， 雞場的長應(yīng)為多少m？比較(1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？ x 6、某商場以每件20 元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每 天的銷售量 m(件)與每件的銷售價(jià)x(元)滿足關(guān)系：1402x. (1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價(jià)x間的 函數(shù)關(guān)系式; (2)如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價(jià)定為 多少最

19、合適？最大銷售利潤為多少？ 二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題參考答案二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題參考答案 一，選擇題、 1A 2C 3A 4B 5D 6B 7C 8C / 16 二、填空題、 9b 4 10 x-3 11如 y 2x2 4, y 2x4等（答案不 17 （1）直線 y x3與坐標(biāo)軸的交 點(diǎn) A（3，0） ，B（0，3） 則 93bc 0 b 2 解得 c 3c 3 唯一） 121 13-8 7 1415 三、解答題 15(1)設(shè)拋物線的解析式為 y ax2bx c,由題意可得 所以此拋物線解析式為 y x22x3 （2）拋物線的頂點(diǎn) D （1，4） ，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn) C （1，0）.設(shè) P(a

20、,a2 2a3)，則 11 ( 4 a22a3) :( 44) 5: 4.化 22 b 2a 3 abc 6 5 c 2 解得 簡得 a22a3 5 a22a3 5 當(dāng)a2 2a30 時(shí)， 15 a ,b 3,c 所以 22 得a 4,a 2P（4，5）或 P（ 2，5） 當(dāng)a2 2a30 時(shí)， a22a3 5即a22a2 0， 此方程 15 y x23x 22 (2)x 1或-5 (2)x 3 15 20t 16（1） 由已知得， 1 10t2， 2 無解綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的 坐標(biāo)為（4，5）或（2，5） 260240 18（1）（噸） （2） 457.5=60 10 解得t 1 3,t

21、 2 1當(dāng)t 3時(shí)不合題意， 舍去。 所以當(dāng)爆竹點(diǎn)燃后 1 秒離地 15 米 （2）由題意得，h 5t2 20t 5(t 2)2 20，可知頂點(diǎn)的橫坐標(biāo) t 2，又拋物線開口向下，所以在 y (x 100)(45 260 x 7.5)，化簡得： 10 3 （3） y x2315x24000 4 y 3 3 22 x 315x24000 (x 210) 9075 44 爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至108秒這段 時(shí)間內(nèi)，爆竹在上升 紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利 潤，材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸 210 / 16 元 （4）我認(rèn)為，小靜說的不 對理由：方法一：當(dāng)月利潤最 大時(shí)，x 為 210 元，而對于月銷售 額 W

22、 x(45 260 x 7.5) 3 (x160)219200 104 案案 1 1、（1） 0 x13， 13x30； （2）59； （3）13. 2、過 A 作于 M,交于 N,則 202122 16. 2 來說， 當(dāng) x 為 160 元時(shí)，月銷售額 W 最大當(dāng) x 為 210 元時(shí)，月銷 售額 W 不是最大小靜說的不 對 方法二：當(dāng)月利潤最大時(shí)，x 為 210 元， 此時(shí)， 月銷售額為 17325 元； 而當(dāng) x 為 200 元時(shí)，月銷售 額為 18000 元1732518000， 當(dāng)月利潤最大時(shí)， 月銷售額 W 不 是最大小靜說的不對 2 設(shè)矩形 ,則由, 故 ANDG ,即16 x DG ,故 AMBC1624 3 (16). 2 223(16)3(x -16x)3(8) +96, 222 從而當(dāng) 8 時(shí)有最大值 96.即矩形 的最大面積是 96 . 3、設(shè)第 t 秒時(shí),的面積為 . 則,(6); 又 2t. 1 1(6)2(6) +