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1、8,一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),一、,周期為,的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),定理,設(shè),是周期為,的周期函數(shù),,且滿足收斂定理的條件,,則它的傅里葉級(jí)數(shù),在,上收斂,且,(1),(2),當(dāng),為連續(xù)點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,為間斷點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,當(dāng),其中,(1),(2),證,作換元,,則在此變換下,區(qū)間,變?yōu)?區(qū)間,是周期為,的周期函數(shù),可以驗(yàn)證:,的傅氏級(jí)數(shù),在,上收斂,且,其中,(*),由,與,復(fù)合而成,是,的連續(xù)點(diǎn),是,的連續(xù)點(diǎn),由,與,復(fù)合而成,是,的連續(xù)點(diǎn),是,的連續(xù)點(diǎn),即:,是,的連續(xù)點(diǎn),是,的連續(xù)點(diǎn),將,代入,(*)式,,得,的連續(xù)點(diǎn),是,的間斷點(diǎn),是,其中,即(1)(2)式。,證畢。,說明,
2、(1),當(dāng),上是奇函數(shù)時(shí),,奇函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)是正弦級(jí)數(shù),在,(3),其中,,按(3)式計(jì)算。,當(dāng),上是偶函數(shù)時(shí),,偶函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)是余弦級(jí)數(shù),在,(4),其中,,按(4)式計(jì)算。,(2),若,只在,上有定義,,且滿足收斂,定理的條件,,也可將它展開為傅氏級(jí)數(shù)。,方法:,首先,,將,進(jìn)行周期延拓,,將它,拓廣為周期為,的周期函數(shù),;,然后,將,展開成傅氏級(jí)數(shù);,最后,,再將,限制在,上,,就得到,的傅氏級(jí)數(shù),展開式。,即:,按(1)、(2)式求出,從而得到,的,傅氏級(jí)數(shù),在點(diǎn),,,是,的連續(xù)點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,;,是,的間斷點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,在端點(diǎn),,,級(jí)數(shù)收斂于,(3),若,只在,上有定義,
3、,且滿足收斂,定理的條件,,可將它展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦,首先,,將,進(jìn)行奇延拓,,將它拓廣,為,上的奇函數(shù),;,然后,,將,展開成傅氏級(jí)數(shù)(正弦級(jí)數(shù));,最后,,再將,限制在,上,,就得到,的正弦級(jí)數(shù),即:,級(jí)數(shù)。,展開成正弦級(jí)數(shù)的方法:,展開式。,按(3) 式求出,從而得到,的正弦級(jí)數(shù),在點(diǎn),,,是,的連續(xù)點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,;,是,的間斷點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,在端點(diǎn),,,級(jí)數(shù)收斂于,首先,,將,進(jìn)行偶延拓,,將它拓廣,為,上的偶函數(shù),;,然后,,將,展開成傅氏級(jí)數(shù)(余弦級(jí)數(shù));,最后,,再將,限制在,上,,就得到,的余弦級(jí)數(shù),即:,展開成余弦級(jí)數(shù)的方法:,展開式。,按(4) 式求出,從而得到
4、,的余弦級(jí)數(shù),在點(diǎn),,,是,的連續(xù)點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,是,的間斷點(diǎn)時(shí),,級(jí)數(shù)收斂于,在端點(diǎn),,,級(jí)數(shù)收斂于,,,級(jí)數(shù)收斂于,例1,設(shè),是周期為,的周期函數(shù),,它在,上的表達(dá)式為,將,展開成傅氏級(jí)數(shù)。,解,滿足收斂定理的條件,,它在點(diǎn),處間斷,,在其它點(diǎn)處連續(xù)。,由收斂定理,得,當(dāng),時(shí),,傅氏級(jí)數(shù)收斂于,當(dāng),時(shí),,傅氏級(jí)數(shù)收斂于,計(jì)算 傅氏系數(shù):,的傅氏級(jí)數(shù)為:,例2,將函數(shù),展開成余弦級(jí)數(shù).,解,將,偶延拓.,在,上連續(xù),當(dāng),時(shí),,余弦級(jí)數(shù)收斂于,在端點(diǎn),,,余弦級(jí)數(shù)收斂于,令,在端點(diǎn),,,余弦級(jí)數(shù)收斂于,,,求,按公式(4)得:,余弦級(jí)數(shù)為,例3,將函數(shù),展開成,以,為周期的傅氏級(jí)數(shù)。,解,令,,則在此變換下,,變?yōu)閰^(qū)間,區(qū)間,這樣,,記,下面將,展開成傅氏級(jí)數(shù)。,在,上連續(xù),的傅氏級(jí)數(shù)收斂于,在點(diǎn),,,在端
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