第五章大數(shù)定律與中心極限定理.ppt

1、1 大數(shù)定理,定理（契比雪夫(Chebyshev)不等式）:設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=,方差D(X)=2 ,則對于任意正數(shù),有,1.1 契比雪夫(Chebyshev)不等式,證明 (1)設(shè)X的概率密度為p(x),則有,(2)設(shè)離散型隨機變量X的分布律為PX=xk=pk,則有,例:在供暖的季節(jié),住房的平均溫度為20度,標準差為2度,試估計住房溫度與平均溫度的偏差的絕對值小于4度的概率的下界.,解,解,1.2 大數(shù)定律,定義:設(shè)Xk是隨機變量序列，數(shù)學(xué)期望E(Xk)(k=1,2,.)存在，若對于任意 0，有,則稱隨機變量序列Xn服從大數(shù)定律.,定理（契比雪夫(Chebyshev)大數(shù)定律）

2、:設(shè)Xk是兩兩不相關(guān)的隨機變量序列,具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)和方差D(Xk)k=1,2,.若存在常數(shù)C,使得D(Xk) C(k=1,2,),則對于任意給定的0,恒有,證明,推論(契比雪夫大數(shù)定律的特殊情況):設(shè)Xk是兩兩不相關(guān)的隨機變量序列,具有相同的數(shù)學(xué)期望E(Xk)=和方差D(Xk)=2(k=1,2,),則對于任意給定的0,恒有,注:,解,所以,滿足切比雪夫大數(shù)定理的條件,可使用大數(shù)定理.,伯努里大數(shù)定律: 設(shè)進行n次獨立重復(fù)試驗，每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，記fn為n次試驗中事件A發(fā)生的頻率，則,證明:設(shè),第i次試驗事件A發(fā)生,第i次試驗事件A不發(fā)生,則,由切比雪夫大數(shù)定律,2 中心極

3、限定理,在一定條件下,許多隨機變量的極限分布是正態(tài)分布:“若一個隨機變量X可以看著許多微小而獨立的隨機因素作用的總后果,每一種因素的影響都很小,都有不起壓倒一切的主導(dǎo)作用,則X一般都可以認為近似地服從正態(tài)分布.”,例如對某物的長度進行測量,在測量時有許多隨機因素影響測量的結(jié)果.如溫度和濕度等因素對測量儀器的影響,使測量產(chǎn)生誤差X1;測量者觀察時視線所產(chǎn)生的誤差X1;測量者心理和生理上的變化產(chǎn)生的測量誤差X3;顯然這些誤差是微小的、隨機的,而且相互沒有影響.測量的總誤差是上述各個因素產(chǎn)生的誤差之和,即Xi.,一般地,在研究許多隨機因素產(chǎn)生的總影響時,很多可以歸結(jié)為研究相互獨立的隨機變量之和的分布

4、問題,而通常這種和的項數(shù)都很大.因此,需要構(gòu)造一個項數(shù)越來越多的隨機變量和的序列:,我們關(guān)心的是當n時,隨機變量和Xi的極限分布是什么?由于直接研究Xi的極限分布不方便,故先將其標準化為:,再來研究隨機變量序列Yn的極限分布.,定義：設(shè)Xk為相互獨立的隨機變量序列,有有限的數(shù)學(xué)期望E(Xk)=k和方差D(Xk)=k2,令,若對于一切實數(shù)x,有,則稱隨機變量序列Xk服從中心極限定理.,定理(林德貝爾格-勒維(Lindeberg-Levy)定理):設(shè)Xk為相互獨立的隨機變量序列,服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)=和方差D(Xk)=2 ,則隨機變量,的分布函數(shù)Fn(x),對于任意x,滿足,例:

5、 將一顆骰子連擲100次，則點數(shù)之和不少于500的概率是多少？,解 設(shè)Xk為第k 次擲出的點數(shù),k=1,2,100,則 X1,X100獨立同分布.,由中心極限定理,定理(De Moivre-Laplace中心極限定理):設(shè)隨機變量Yn服從二項分布Yn B(n,p), (op1),則對于任意x,恒有,證明 設(shè)X1,X2,Xn是n個相互獨立的服從(0-1)分布(PXi=0=1-p,PXi=1=p)的隨機變量,則,Yn= X1+X2+Xn,由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p) (i=1,2,n),由此得,解法1,設(shè)X為10000個新生兒中男孩個數(shù),則X服從B(n,p)，其中n=10000，p

6、=0.515,由德莫弗-拉普拉斯中心極限定理，所求概率為,設(shè)X為10000個新生兒中男孩個數(shù),則女孩不少于男孩的概率為,解法2,例:一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk(k=1,2,20),它們相互獨立且都在區(qū)間0,10上服從均勻分布,噪聲電壓總和V=V1+V2+V20,求PV105的近似值.,解:易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由獨立同分布的中心極限定理知,近似服從標準正態(tài)分布N(0,1),于是,例: 在一家保險公司里有10000個人參加壽命保險，每人每年付12元保險費。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.6%，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元，問： (1)保險公司虧本的概率有多大？ (2)其他條件不變，為使保險公司一年的利潤不少于60000元，賠償金至多可設(shè)為多少？,解 設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則XB(n, p), 其中 n= 10000，p=0.6%， 設(shè)Y表示保險公司一年的利潤， Y=1000012-1000X 于是由中心極限定理 (1)PY0=P1