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1、畫法幾何及土木工程制圖,第六章 曲線和曲面,目 錄,6-1 曲線 6-2 曲面概述 6-3 直紋面 6-4 曲線面,6-1 曲線,一、曲線的形成和分類 曲線可以看作是由以下三種方式形成的： 1.不斷改變方向的點(diǎn)連續(xù)運(yùn)動(dòng)的軌跡。 2.曲面與曲面或平面的交線。 3.直線族或曲線族的包絡(luò)。,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,曲表面的交線,包絡(luò)曲線,6-1 曲線,曲線的分類： 規(guī)則曲線：可列出其代數(shù)方程，例如圓。 不規(guī)則曲線：無方程，例如地面等高線。 又可分為： 平面曲線：曲線上所有的點(diǎn)都位于一個(gè)平面上。 空間曲線：連續(xù)四個(gè) 點(diǎn)不在同一平面上的 曲線。 例如圓柱螺旋線就是 空間曲線的例子。,6-1 曲線,二、曲線的投影,

2、畫出曲線上一系列點(diǎn)的投影，并連成光滑曲線，可得到曲線的投影。為了準(zhǔn)確地表示曲線，一般應(yīng)畫出曲線上特殊點(diǎn)的投影，以便控制好曲線的形狀。,曲線的投影性質(zhì)： 1.曲線的投影一般仍為曲線，特殊情形下平面曲線的投影可能積聚成直線；,6-1 曲線,2.曲線的切線在某投影面上的投影仍與曲線在該投影面上的投影相切，而且切點(diǎn)的投影仍為切點(diǎn)； 3.二次曲線的投影一般仍為二次曲線，例如圓的投影一般為橢圓。,6-1 曲線,三、圓的投影,1. 投影面垂直面上的圓,圓在所垂直的那個(gè)投影面上 的投影為直線段，線段的長(zhǎng)度等 于圓的直徑，圓的另外兩投影為 橢圓，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度等于圓的 直徑。,6-1 曲線,例6-1 已知直徑為

3、d 的圓位于鉛垂面內(nèi)，并知圓心O 和PH的位置，試作出其投影。,解：水平投影為線段，長(zhǎng)度等于d，重合在PH上；正面投影和側(cè)面投影為橢圓，長(zhǎng)軸豎直，長(zhǎng)度等于d，短軸水平，長(zhǎng)度根據(jù)水平投影作出。利用換面法可作出橢圓上的一些中間點(diǎn)。,6-1 曲線,2.一般斜平面上的圓,圓所在的平面傾斜 于三個(gè)投影面時(shí)，圓的 三個(gè)投影都是橢圓，橢 圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度總是等于 圓的直徑d。且能反映 實(shí)長(zhǎng)的長(zhǎng)軸是特殊直線。,6-1 曲線,例6-2 半徑為r的圓位于一般傾斜平面ABCD上， 并知圓心的位置，試作出其投影。,解：首先，在水平投影中 作橢圓的長(zhǎng)短軸：長(zhǎng)軸的方向 為面內(nèi)水平線的水平投影的方 向，長(zhǎng)度等于圓的直徑2r。短

4、 軸垂直于長(zhǎng)軸，長(zhǎng)度利用直角 三角形法求出。,6-1 曲線,其次，求出水平投影中長(zhǎng)短軸在正面投影中的投影，它們是 一對(duì)共軛直徑12、34。根據(jù)共軛直徑可求出橢圓上的其余四個(gè) 點(diǎn)5、6、7、8，用八點(diǎn)法畫 出正面投影橢圓。,一橢圓，其中心為O，過O任作一直徑CD，再作CD的平行弦EF，取EF的中點(diǎn) M，連接OM得橢圓的另一直徑AB，則AB、CD稱為橢圓的一對(duì)共軛直徑，EF為直徑AB的共軛弦。因此，橢圓的任一條直徑必平分其共軛弦。由于上述AB 直徑是任意取的，因此橢圓的共軛直徑有無數(shù)對(duì)。當(dāng)一對(duì)共軛直徑互相垂直時(shí)，即為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。,共軛直徑,O,M,O,M,6-1 曲線,八點(diǎn)法，是作圓的外切正

5、方形及對(duì)角線，其中1，2，3，4為各邊的中點(diǎn)，5，6，7，8為對(duì)角線上的點(diǎn)。 5，6，7，8，可按比例定出,6-1 曲線,四、螺旋線的投影,1.圓柱螺旋線的形成 點(diǎn)P沿圓柱面上的一條直母線作等速移動(dòng)，該母線又繞柱軸作等速轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)P的軌跡為圓柱螺旋線。,2.相關(guān)概念 圓柱的半徑為螺旋半徑，柱軸為螺旋軸線，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周后沿軸線移動(dòng)的距離為導(dǎo)程，記作Ph。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直母線移動(dòng)且符合右手法則時(shí)，記為右螺旋線。反之，左旋。,6-1 曲線,四、螺旋線的投影,螺旋線軸線為鉛垂線時(shí)，螺旋線的水平投影為圓。把圓周等分（例如12等分），分點(diǎn)按旋向依次編號(hào)為0、1、2；正面投影中，把導(dǎo)程也作相同的12等分，過各分點(diǎn)

6、作水平線；由水平投影中的各分點(diǎn)作豎直線與正面投影上的對(duì)應(yīng)水平線相交，得0、1、2,把這些點(diǎn)連成光滑曲線，即為螺旋線的正面投影。注：12等分有13個(gè)點(diǎn)，第一個(gè)記作0.,6-2 曲面概述,一、曲面的形成和分類,曲面分為規(guī)則曲面和不規(guī)則曲面。規(guī)則曲面可以看成是運(yùn)動(dòng)的線按照一定的規(guī)則或受某種控制運(yùn)動(dòng)的軌跡。運(yùn)動(dòng)的線稱為母線，曲面上任意位置的母線稱為素線。控制母線運(yùn)動(dòng)的線或面，稱為導(dǎo)線或?qū)妗?6-2 曲面概述,由直母線運(yùn)動(dòng)生成的曲面稱為直紋面，例如圓柱面、圓錐面；只能由曲母線運(yùn)動(dòng)生成的曲面稱為曲線面，例如球面。,圓柱體,形成,軸線,底面,圓柱面, 圓沿與其垂直 的直線運(yùn)動(dòng)形成, 矩形繞其邊旋 轉(zhuǎn)形成,

7、L,圓柱面的形成,軸線,母線,素線,6-2 曲面概述,圓錐體,形成,S,底面,圓錐面,錐頂,軸線,直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成,L, 圓沿與其垂直的直 線運(yùn)動(dòng)形成。運(yùn)動(dòng)過 程中其直徑均勻變化,圓錐面的形成,過圓錐面上任一點(diǎn)可作 一條直線通過錐頂、亦 可在圓錐面上作一圓,6-2 曲面概述,根據(jù)母線運(yùn)動(dòng)時(shí)有無旋轉(zhuǎn)軸，曲面可以分為旋轉(zhuǎn)面和非旋 轉(zhuǎn)面。在旋轉(zhuǎn)面中，由直母線旋轉(zhuǎn)生成的叫旋轉(zhuǎn)直紋面，由曲 母線旋轉(zhuǎn)生成的叫旋轉(zhuǎn)曲線面。,6-2 曲面概述,二、曲面的投影,平行于某個(gè)投射方向而且與曲面相切的投射線，形成投射平面，它們與曲面相切的切線稱為該投射方向的曲面外形輪廓線，簡(jiǎn)稱外形線。曲面在某個(gè)投影面上的

8、投影，可以用該投射方向上外形線的投影來表示。同時(shí)，外形線該方向上可見與不可見的分界線。,由曲面圍成或由曲面和平面圍成的立體 稱為曲面體。,曲 面 體,常見曲面體及曲面體上點(diǎn)的投影,一、圓柱,圓柱的投影,圓柱投影圖分析,表1 常見曲面體的形成,上一節(jié),下一節(jié),返 回,二、圓錐,圓錐的投影,圓錐投影圖分析,三、圓球,圓球的投影,圓球投影圖分析,四、圓環(huán),圓環(huán)的投影,圓環(huán)投影圖分析：,屬于圓柱表面的點(diǎn)線,圓錐表面上取點(diǎn)線,圓球表面上取點(diǎn)線,屬于圓環(huán)表面的點(diǎn)線,例 3,例 4,例 11,例 12,退 出,一、圓柱,作圖步驟：,畫底面和頂面的投影,畫轉(zhuǎn)向線,畫軸線,正面轉(zhuǎn)向線,側(cè)面轉(zhuǎn)向線,空間分析,中途

9、返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,圓柱投影圖分析,底面水平面,轉(zhuǎn)向線,頂面水平面,圓柱面,前半個(gè)圓柱面,后半個(gè)圓柱面,左半個(gè)圓柱面,右半個(gè)圓柱面,正面轉(zhuǎn)向線,側(cè)面轉(zhuǎn)向線,后,前,左,右,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,例3 已知屬于圓柱面上的點(diǎn)A、B、C 的一個(gè)投影求另外 兩面投影,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,例4 已知圓柱面上的曲線AD 的正面投影，求另外兩面 投影,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,二、圓錐,作圖步驟：,畫底面的投影,畫轉(zhuǎn)向線,畫軸線,畫正面轉(zhuǎn)向線,畫側(cè)面轉(zhuǎn)向線,空間分析,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,畫錐頂,圓錐投影圖分析,底面：水平面,前半個(gè)圓錐面,后半個(gè)圓錐面,圓錐面：,左半個(gè)圓錐面,右半

10、個(gè)圓錐面,錐頂:,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,圓錐表面上取點(diǎn)線,例 5,例 7,1.屬于圓錐表面的特殊位置點(diǎn),緯圓法,素線法,已知圓錐面上的曲線AD 的水平投影，求另外兩面投影,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,2.屬于圓錐表面的一般位置點(diǎn),例 6-1,例 6-2,過點(diǎn)取屬于圓錐面的線（直線或圓），則點(diǎn)的投影在該線上,返回,例5 圓錐表面上取點(diǎn)-特殊位置點(diǎn),中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,圓錐表面上取點(diǎn)-緯圓法,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,圓錐表面上取點(diǎn)-素線法,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,例7 已知圓錐面上的曲線AD 的水平投影，求另外兩面 投影,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,例7 圓錐表面上取線,例7

11、 已知圓錐面上的曲線AD 的水平投影，求另外兩面 投影,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,三、圓球,投影圖：,畫轉(zhuǎn)向線,畫軸線,空間分析,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,圓球投影圖分析,正面轉(zhuǎn)向線A,側(cè)面轉(zhuǎn)向線B,水平面轉(zhuǎn)向線C,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,圓球表面上取點(diǎn)線,例 8,例 9-1,例 9-2,例 10,屬于圓球表面的特殊位置點(diǎn),已知圓球面上的曲線AD 的正面投影，求另外兩面投影,例 9-3,已知屬于圓球面的點(diǎn)K 的水平投影，求其另外兩面,投影水平圓為輔助線,已知屬于圓球面的點(diǎn)K 的水平投影，求其另外兩面,投影正平圓為輔助線,已知屬于圓球面的點(diǎn)K 的水平投影，求其另外兩面,投影側(cè)平圓為輔助線

12、,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,返回,例8 圓球表面上取點(diǎn)-特殊位置點(diǎn),中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,例9-1 已知屬于圓球面的點(diǎn)K 的水平投影，求其另外兩面投影,水平圓為輔助線,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,例9-2 已知屬于圓球面的點(diǎn)K 的水平投影，求其另外兩面投影,正平圓為輔助線,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,例9-3 已知屬于圓球面的點(diǎn)K 的水平投影，求其另外兩面投影,側(cè)平圓為輔助線,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,例10 已知圓球面上的曲線AD 的正面投影，求另外兩面投影,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,例10 已知圓球面上的曲線AD 的正面投影，求另外兩 面投影,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,四、圓

13、環(huán),圓環(huán)的投影：,畫母線圓圓心軌跡,畫轉(zhuǎn)向線,畫軸線,判別可見性，圖線加粗,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,畫母線圓,圓環(huán)投影圖分析：,外環(huán)面水平面轉(zhuǎn)向線,內(nèi)環(huán)面正面轉(zhuǎn)向線,內(nèi)環(huán)面水平面轉(zhuǎn)向線,外環(huán)面正面轉(zhuǎn)向線,內(nèi)、外環(huán)面分界線,內(nèi)環(huán)面,外環(huán)面,環(huán)面,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,例11 已知圓環(huán)面上的點(diǎn)A、B 的一個(gè)投影，求它們的另 一個(gè)投影,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,例12 已知圓環(huán)面上的曲線AD 的水平投影，求正面投影,中途返回請(qǐng)按“ESC” 鍵,常見回轉(zhuǎn)體的形成,退 出,表 7-1 常見回轉(zhuǎn)體,圓 柱 體,回轉(zhuǎn)面形成規(guī)律,母線:與軸線平 行的直線,軸線:直線,軸線:直線,母線:圓或圓弧,軸

14、線:圓的直徑,母線:圓或圓弧,軸線:不經(jīng)過圓心而 與之同平面的 直線,直觀圖,圓 錐 體,圓 球 體,圓 環(huán) 體,母線:與軸線相 交的直線,直紋面分為旋轉(zhuǎn)直紋面和非旋轉(zhuǎn)直紋面。圓柱面、圓錐面、旋 轉(zhuǎn)單葉雙曲面等屬于旋轉(zhuǎn)直紋面，切線面、雙曲拋物面、錐狀面、 柱狀面等屬于非旋轉(zhuǎn)直紋面。,6-3 直紋面,一、柱面,直母線l 沿著一條導(dǎo)曲線運(yùn)動(dòng)，且始終平行于某一固定方向T，這樣形成的曲面稱為柱面。柱面的所有素線均互相平行，畫柱面的投影時(shí)需畫出外形線的投影（輪廓素線）。,6-3 直紋面,在柱面上求點(diǎn)的投影，一般可用素線法。,6-3 直紋面,柱面的曲導(dǎo)線一般為平面曲線。柱面是按正截面的形狀取 名的，正截面

15、是圓時(shí)，稱為圓柱面；正截面是橢圓時(shí)，稱為橢 圓柱面，等等。 如果柱面有兩個(gè)以上的對(duì)稱平面，則對(duì)稱平面的交線稱為 柱面的軸。下面是幾種有軸柱面的投影。,6-3 直紋面,二、錐面,直母線沿著一條曲導(dǎo)線C 運(yùn)動(dòng)，且始終通過定點(diǎn)S，這樣形成的曲面稱為錐面。S 稱為錐頂，所有的素線都相交于此。在投影圖上，應(yīng)畫出錐頂、曲導(dǎo)線和錐面外形線的投影。,6-3 直紋面,在錐面上作點(diǎn)，一般利用素線法。當(dāng)用投影面平行面能截 出圓形交線時(shí)，也可以用緯圓法作點(diǎn)。 下面是幾種有軸的錐面。,6-3 直紋面,三、切線面,直母線l 沿著一條曲導(dǎo)線C 運(yùn)動(dòng)，且 始終與C 相切，這樣形成的曲面稱為切線 面。曲導(dǎo)線C 是空間曲線，稱為

16、切線面的 脊線。,6-3 直紋面,工程中彎曲坡道兩側(cè)的邊 坡往往設(shè)計(jì)成切線面，并且使 切線面的所有切線與地面成同 一角度，這樣設(shè)計(jì)成的切線面 稱為同坡曲面（盤旋面）。,投影中作出除曲導(dǎo)線和外形線的投影外，還應(yīng)作出切線面與地面的交線和切線面上若干條素線的投影。,直母線l 沿著兩條交叉直導(dǎo)線AB、CD運(yùn)動(dòng)，且始終平行于某 一導(dǎo)平面Q，這樣形成的曲面稱為雙曲拋物面，工程上也稱扭面。,6-3 直紋面,四、雙曲拋物面,雙曲拋物面的投影圖中，只需畫出兩條直導(dǎo)線和若干素線的投 影，而不必畫出導(dǎo)平面。,6-3 直紋面,雙曲拋物面在工程上有廣泛的用途。,水渠邊坡漸變段,道路邊坡過渡段,6-3 直紋面,對(duì)于同一個(gè)

17、雙曲拋物面，也可以把它看作是以AD、BC為交叉 直導(dǎo)線，以平行于端點(diǎn)連線AB、CD 的平面P 為導(dǎo)平面所形成的。 也就是說，雙曲拋物面上有兩族素線，其中每一條素線與同族的 所有素線都不相交，而與另一族的所有素線都相交。,直母線l 沿一條直導(dǎo)線EF 和一條曲導(dǎo)線ABC 運(yùn)動(dòng)，且始終平行于導(dǎo)平面P（P 平行于兩條導(dǎo)線端點(diǎn)的連線AE 和CF ），這樣形成的曲面稱為錐狀面。投影中只需表示兩條導(dǎo)線和若干條素線的投影,6-3 直紋面,五、錐狀面,6-3 直紋面,六、柱狀面,直母線l 沿著兩條曲導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)，且始終平行于某一導(dǎo)平面，這樣形成的曲面稱為柱狀面。,柱狀面橋墩,柱狀面管道,6-3 直紋面,柱狀面的所有

18、素線都平行于導(dǎo)平面，而彼此間則成交叉狀態(tài)。投影圖上只需表示兩條導(dǎo)線和若干條素線的投影，而不畫出導(dǎo)平面。,以正平面為導(dǎo)平面的柱狀面管道,6-3 直紋面,七、旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面,直母線繞一條與它交叉的直線OO旋轉(zhuǎn)，這樣形成的曲面稱為 旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，直線OO稱為旋轉(zhuǎn)軸。,6-3 直紋面,投影圖上應(yīng)畫出旋轉(zhuǎn)軸和若干條素線的投影、直母線兩端點(diǎn)軌跡的投影，以及素線的包絡(luò)線。,6-3 直紋面,旋轉(zhuǎn)中母線上的每個(gè)點(diǎn)都在作圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡是緯圓。母線上距軸線最近的點(diǎn)，其軌跡是最小的緯圓，叫喉圓。,6-3 直紋面,工程用例：水塔支架 冷卻塔,6-3 直紋面,八、螺旋面,分別以圓柱螺旋線和其軸線為導(dǎo)線，直母線l 沿此兩導(dǎo)線移動(dòng) 而又同時(shí)與軸線保持一定的角度，這樣形成的曲面稱為螺旋面。若 母線與軸正交，得到 的叫正螺旋面，否則 得到的叫斜螺旋面。,6-3 直紋面,1. 正螺旋面,投