相似原理和量綱分析.ppt

1、,相似原理,和,量綱分析,WELCOME ,理性認(rèn)識依賴于感性認(rèn)識，流體力學(xué)理論的檢驗和發(fā)展依賴于流體力學(xué)試驗。結(jié)合工程需要的流體力學(xué)試驗一般很難在實物（原型）上進(jìn)行，而是利用有關(guān)試驗裝置（例如風(fēng)洞、水洞等）在按一定的比例尺（一般為縮尺）制作的模型上進(jìn)行。 如何選定制作模型的比例尺并保證經(jīng)模型的流動與經(jīng)原型的流動力學(xué)相似？ 如何將模型試驗結(jié)果推廣應(yīng)用到原型上去？如何將在特定條件下得到的試驗結(jié)果推廣應(yīng)用到同類相似的流動中？,流動的力學(xué)相似,近似的模型試驗,動力相似準(zhǔn)則,流動相似條件,量綱分析法,應(yīng)用,流動的力學(xué)相似,相似的概念首先出現(xiàn)在幾何學(xué)里，如兩個三角形相似時，對應(yīng)邊的比例相等。流體力學(xué)相似

2、是幾何相似概念在流體力學(xué)中的推廣和發(fā)展，它指的是兩個流場的力學(xué)相似，即在流動空間的各對應(yīng)點上和各對應(yīng)時刻，表征流動過程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流動過程的物理量按其性質(zhì)主要有三類，即表征流場幾何形狀的，表征流體微團(tuán)運動狀態(tài)的和表征流體微團(tuán)動力性質(zhì)的，因此，流體的力學(xué)相似主要包括流場的幾何相似、運動相似和動力相似。,幾何相似,幾何相似是指模型與原型的全部對應(yīng)線性長度的比例相等，即 （4-1）,線性長度也稱為特征長度，可以是翼型的翼弦長b（見圖4-1），圓柱的直徑d，管道的長度l，管壁絕對粗糙度 等，式中 為長度比例尺。,圖4-1 幾何相似,只要模型與原型的全部對應(yīng)線性長度的比例相等，則

3、它們的夾角必相等，例如圖4-1中的 。 由于幾何相似，模型與原型的對應(yīng)面積、對應(yīng)體積也分別互成一定比例，即 面積比例尺 （4-2） 體積比例尺 （4-3）,運動相似,運動相似是指模型與原型的流場所有對應(yīng)點上、對應(yīng)時刻的流速方向相同而流速大小的比例相等，即它們的速度場相似（例如圖4-2）： （4-4） 式中 為速度比例尺。 由于流場的幾何相似是運動相似的前提條件，因此甚易證明，模型與原型流場中流體微團(tuán)經(jīng)過對應(yīng)路程所需要的時間也必互成一定比例，即 時間比例尺 （4-5） 由幾何相似和運動相似還可以導(dǎo)出用 、 表示的有關(guān)運動學(xué)量的比例尺如下：,BACK,圖4-2 速度場相似,加速度比例尺 （4-6）

4、 體積流量比例尺 （4-7） 運動粘度比例尺 （4-8） 角速度比例尺 （4-9） 可見，只要確定了模型與原型的長度比例尺和速度比例尺，便可由它們確定所有運動學(xué)量的比例尺,動力相似,動力相似是指模型與原型的流場所有對應(yīng)點作用在流體微團(tuán)上的各種力彼此方向相同，而它們大小的比例相等，即它們的動力場相似（例如圖4-3）： （4-10）,圖4-3 動力相似,以上三種相似是互相聯(lián)系的。流場的幾何相似是流動力學(xué)相似的前提條件，動力相似是決定運動相似的主導(dǎo)因素，而運動相似則是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。 因此，模型與原型流場的幾何相似、運動相似和動力相似是兩個流場完全相似的重要特征。由此甚易證明模型與原型流場

5、的密度也必互成一定比例，即 密度比例尺 （4-11） 由于兩個流場的密度比例尺常常是已知的或者是已經(jīng)選定的，故做流體力學(xué)的模型試驗時，經(jīng)常選取 、 、 作基本比例尺，即選取 、 、 作為獨立的基本變量。,于是可導(dǎo)出用 、 和 表示的有關(guān)動力學(xué)的比例尺如下： 力的比例尺 （4-11a） 力矩（功、能）比例尺 (4-12) 壓強(qiáng)（應(yīng)力）比例尺 (4-13) 功率比例尺 (4-14) 動力粘度比例尺 (4-15),有了以上關(guān)于幾何學(xué)量、運動學(xué)量和動力學(xué)量的三組比例尺（又稱相似倍數(shù)），模型與原型流場之間各物理量的相似換算就很方便了。 其他還有溫度相似、濃度相似等在傳熱、擴(kuò)散等問題的模擬試驗中會用到，這

6、里不作討論。,動力相似準(zhǔn)則,任何系統(tǒng)的機(jī)械運動都必須服從牛頓第二定律 .對模型與原型流場中的流體微團(tuán)應(yīng)用牛頓第二定律，再按照動力相似，各種力大小的比例相等，可得 令 （4-18） Ne稱為牛頓（I.New ton）數(shù),它是作用力與慣性力的比值，是無量綱數(shù)。,模型與原型的流場動力相似，它們的牛頓數(shù)必定相等即 ;反之亦然。這便是由牛頓第二定律引出的牛頓相似準(zhǔn)則。 不論是何種性質(zhì)的力，要保證兩種流場的動力相似，它們都要服從牛頓相似準(zhǔn)則，于是，可得： 一、重力相似準(zhǔn)則 二、粘滯力相似準(zhǔn)則 三、壓力相似準(zhǔn)則 四、非定常性相似準(zhǔn)則 五、彈性力相似準(zhǔn)則 六、表面張力相似準(zhǔn)則,重力相似準(zhǔn)則,代入牛頓相似準(zhǔn)則，

7、 Fr稱為弗勞德（W.Froude）數(shù),它是慣性力與重力的比值。,二流動的重力作用相似，它們的弗勞德數(shù)必定相等，即 ；反之亦然。這便是重力相似準(zhǔn)則。又稱弗勞德準(zhǔn)則。由此可知，重力作用相似的流場，有關(guān)物理量的比例尺要受式（4-19）的制約，不能全部任意選擇。由于在重力場中 ，故有 （a）,粘滯力相似準(zhǔn)則,Re稱為雷諾（O.Reynolds）數(shù),它是慣性力與粘滯力的比值。 二流動的粘滯力作用相似，它們的雷諾數(shù)必定相等，即 ；反之亦然。這便是粘滯力相似準(zhǔn)則，又稱雷諾準(zhǔn)則。 由此可知，粘滯力作用相似的流場，有關(guān)物理量的比例尺要受雷諾準(zhǔn)則的制約，不能全部任意選擇。例如，當(dāng)模型與原型用同一種流體 時， ，

8、故有,壓力相似準(zhǔn)則,Eu稱為歐拉（L.Euler）數(shù),它是總壓力與慣性力的比值。二流動的壓力作用相似，它們的歐拉數(shù)必定相等，即 ；反之亦然。這便是壓力相似準(zhǔn)則，又稱歐拉準(zhǔn)則。,歐拉數(shù)中的壓強(qiáng)p也可用壓差 來代替， 這時 歐拉數(shù) （4-28） 歐拉相似準(zhǔn)則 （4-29）,非定常性相似準(zhǔn)則,對于非定常流動的模型試驗，必須保證模型與原型的流動隨時間的變化相似。由當(dāng)?shù)丶铀俣纫鸬膽T性力之比可以表示為 代入式（4-16），得 （4-30） 也可以寫成 （4-31） 令 （4-32） Sr稱為斯特勞哈爾（V.Strouhar）數(shù)，也稱諧時數(shù)。,它是當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值。二非定常流動相似，它們的斯特

9、勞哈爾數(shù)必定相等，即 ；反之亦然。這便是非定常性相似準(zhǔn)則，又稱斯特勞哈爾準(zhǔn)則或諧時性準(zhǔn)則。 倘若非定常流是流體的波動或振蕩，其頻率為 ,則 斯特勞哈爾數(shù) （4-32a） 斯特勞哈爾準(zhǔn)則 (4-31a),彈性力相似準(zhǔn)則,式中K為體積模量， 為體積模量比例尺。 Ca稱為柯西（B.A.L.Cauchy）數(shù),它是慣性力與彈性力的比值。二流動的彈性力作用相似，它們的柯西數(shù)必相等。反之亦然。這便是彈性力相似準(zhǔn)則，又稱柯西準(zhǔn)則。,對于氣體，宜將柯西準(zhǔn)則轉(zhuǎn)換為馬赫準(zhǔn)則。由于 （c為聲速），故彈性力的比例尺又可表示為 ，代入式（4-16）， Ma稱為馬赫（L.Mach）數(shù),它仍是慣性力與彈性力的比值。二流動的彈

10、性力作用相似，它們的馬赫數(shù)必定 相等，即 ；反之亦然。這仍是彈性力相似準(zhǔn)則，又稱馬赫準(zhǔn)則。,表面張力相似準(zhǔn)則,在表面張力作用下相似的流動，其表面張力分布必須相似。作用在二流場流體微團(tuán)上的張力之比可以表示為 式中 為表面張力， 為表面張力比例尺。將上式代入式（4-16），得 （4-39） 也可寫成 （4-40） 令 （4-41） We 稱為 韋伯（M.Weber)數(shù)，它是慣性力與張力的比值。二流動的表面張力作用相似，它們的韋伯?dāng)?shù)必定相等，即 ；反之亦然。這便是表面張力相似準(zhǔn)則，又稱韋伯準(zhǔn)則。,上述的牛頓數(shù)、弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)、歐拉數(shù)、斯特勞哈爾數(shù)、柯西數(shù)、馬赫數(shù)、韋伯?dāng)?shù)統(tǒng)稱為相似準(zhǔn)則數(shù)。 我們知道

11、，牛頓第二定律所表述的是形式最簡單的最基本的運動微分方程。根據(jù)該方程可導(dǎo)出在各種性質(zhì)單項力作用下的相似準(zhǔn)則。在實際流動中，作用在流體微團(tuán)上的力往往不是單項力，而是多項力，這時牛頓第二定律中的力代表的便是多項力的合力。,流動的相似條件,相似條件系指保證流動相似的必要和充分條件：. 1) 相似的流動 都屬于同一類的流動,它們都應(yīng)為相同的微分方程組所描述. 2) 單值條件相似.,3)由單值條件中的物理量所組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等.,凡屬同一類的流動,當(dāng)單值條件相似而且由單值條件中的物理量所組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等時,這些流動必定相似. 單值條件中的各物理量稱為定性量,即決定性質(zhì)的量。 由定性量組成的相似準(zhǔn)則

12、數(shù)稱為定性準(zhǔn)則數(shù)。 包含被決定量的相似準(zhǔn)則數(shù)稱為非定性準(zhǔn)則數(shù)。,相似條件解決了模型試驗中必須解決的下列問題: 1)應(yīng)根據(jù)單值條件相似和由單值條件中的物理量所組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等的原則去設(shè)計模型,選擇模型中的流動介質(zhì). 2)試驗過程中應(yīng)測定各相似準(zhǔn)則數(shù)中所包含的應(yīng)予測定的一切物理量,并把它們整理成相似準(zhǔn)則數(shù). 3)按相似準(zhǔn)則數(shù)相等去整理實驗結(jié)果,找出規(guī)律,即找出準(zhǔn)則方程式,便可推廣應(yīng)用到原型及其他相似流動中去,有關(guān)物理量可按各自的比例尺進(jìn)行換算.,近似的模型試驗,在重力場中要使弗勞德數(shù)相等 如果模型與原型中的流體相同，要使雷諾數(shù)相等， 要求相矛盾。 解決辦法可以是用運動粘度不一樣的流體。,模型中

13、粘度只有原型中油液的1/11.18。倘若長度比例尺再縮小，例如 ， ，即模型中流體的運動粘度只有原型中流體的1/31.62。通常這是很難辦到的。 定性準(zhǔn)則數(shù)越多，模型試驗的設(shè)計越困難，甚至根本無法進(jìn)行。 近似的模型試驗方法，即在設(shè)計模型和組織模型實驗時，在與流動有關(guān)的定性準(zhǔn)則中考慮那些對流動過程起主導(dǎo)作用的定性準(zhǔn)則，而忽略那些對過程影響較小的定性準(zhǔn)則，達(dá)到二流動的近似相似。 無壓的明渠流動，只考慮弗勞德準(zhǔn)則。 有壓的粘性管流，只考慮雷諾準(zhǔn)則。,有壓粘性管流中，當(dāng)雷諾數(shù)大到一定數(shù)值時，繼續(xù)提高雷諾數(shù)，管內(nèi)流體的紊亂程度及速度剖面幾乎不再變化，沿程能量損失系數(shù)也不再變化，雷諾準(zhǔn)則已失去判別相似的作

14、用。稱這種狀態(tài)為自模化狀態(tài)，稱自?；癄顟B(tài)的雷諾數(shù)范圍為自?；瘏^(qū)。 在自?；瘏^(qū)內(nèi)，阻力的主要部分是紊動阻力而不是粘滯阻力。二流動的紊動阻力之比為 此式與牛頓相似準(zhǔn)則式（416）完全一樣，即它們自動滿足動力相似，沒有獨自的相似準(zhǔn)則，這便說明，它們自動模化了。,既然流動已經(jīng)自動?；?，在選定基本比例尺后，其它物理量均按力學(xué)相似的有關(guān)比例尺進(jìn)行換算。 例題請參看應(yīng)用例42、例43、例44,量綱分析法,量綱分析方法是與相似原理密切相關(guān)的另一通過試驗去探索流動規(guī)律的重要方法，特別是對那些很難從理論上進(jìn)行分析的復(fù)雜流動，更能顯示出該方法的優(yōu)越性。,物理方程量綱一致性原則,瑞利法,定理,物理方程量綱一致性原則,

15、物理量單位的種類叫量綱，用符號dim表示。,T: 時間 : 小時、分、秒,L: 長度 ：米、厘米、毫米,M: 質(zhì)量 : 噸、千克、克,量綱,導(dǎo)出量綱：非獨立量綱,基本量綱：獨立量綱L, M，T，H,導(dǎo)出量綱,H,H,任何一個物理方程各項的量綱必定相同，用量綱表示的物理方程必定是齊次的，這便是物理方程量綱一致性原則。 用物理方程中的任何一項去通除整個方程，便可將該方程化為無量綱方程。,量綱分析法步驟:,量綱分析,流動過程的相似準(zhǔn)則數(shù),相似準(zhǔn)則數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系 （準(zhǔn)則方程式）,實驗,將準(zhǔn)則方程式直接應(yīng)用到原型 及其它相似流動中去。,用量綱分析法，結(jié)合試驗研究，不僅可以找出尚無物理方程表示的復(fù)雜流動

16、過程的流動規(guī)律，而且找出的還是同一類相似流動的普遍規(guī)律。,瑞利法（Rayleigh）,瑞利法是用定性物理量 的某種冪次之積的函數(shù)來表示被決定的物理量y，即 式中，k為無量綱系數(shù)，由試驗確定； 為待定指數(shù)，根據(jù)量綱一致性原則求出。 應(yīng)用舉例,瑞利法,對于變量較少的簡單流動問題，用瑞利法可以方便的直接求出結(jié)果；對于變量較多的復(fù)雜流動問題，比如說有n個變量，由于按照基本量綱只能列出三個代數(shù)方程，待定指數(shù)便有n-3個，這樣便出現(xiàn)了待定指數(shù)的選取問題，這是瑞利法的一個缺點。,定理,定理表述：如果一個物理過程涉及到n個物理量和m個基本量綱，則這個物理過程可以由n個物理量組成的n-m個無量綱量（相似準(zhǔn)則數(shù)）

17、的函數(shù)關(guān)系來描述。這些無量綱量用 來表示。 倘若物理過程的方程式為 在這n個物理量中有m個基本量綱，則物理方程式可以轉(zhuǎn)換為無量綱物理方程式（準(zhǔn)則方程式）：,無量綱量 可以導(dǎo)出如下：倘若基本量綱是L，T，M三個，則可以從n個物理量中選取三個既包含上述基本量綱、又互為獨立的變量，作為基本變量。如果這三個基本變量是 則其它物理量均可用某種冪次的三個基本變量和無量綱量 的乘積來表示，即 根據(jù)物理方程量綱一致性原則便可確定待定指數(shù) 從而也就確定了 。,定理中的無量綱量就是相似準(zhǔn)則數(shù)（包括幾何相似等）。 的倒數(shù)、冪次方，它與任何常數(shù)的和、差、乘積，它與另外的無量綱量的和、差、乘積都仍然是無量綱量，是新的相

18、似準(zhǔn)則數(shù)。 在準(zhǔn)則方程式中，那些由單值條件的物理量組成的定性準(zhǔn)則數(shù)用 表示，而包含被決定量的非定性準(zhǔn)則數(shù)用 表示。定性準(zhǔn)則數(shù)是決定物理過程的準(zhǔn)則數(shù)，當(dāng)它們確定之后，過程即被確定，非定性準(zhǔn)則數(shù)也隨之被確定。因此，也可將準(zhǔn)則方程式寫成,在一般流體力學(xué)問題中，通常選取與流動特性密切相關(guān)的特征長度l、流速v和流體密度 作為基本變量，它們既包含基本量綱L，T，M，又互相獨立。它們還分別又代表性的幾何學(xué)量、運動學(xué)量和動力學(xué)量。正如在本章第一節(jié)中已經(jīng)討論的，有了這三種基本變量的比例尺，便可導(dǎo)出所有運動學(xué)量和動力學(xué)量的比例尺。當(dāng)然，也可以選取其它物理量作為基本變量，只要它們符合即包含基本量綱又互為獨立的條件。

19、 請參閱應(yīng)用例4-7、例4-8,注意： 1）必須知道流動過程所包含的全部物理量，不應(yīng)缺少其中的任何一個，否則，會得到不全面的甚至是錯誤的結(jié)果。 2）在表征流動過程的函數(shù)關(guān)系中存在無量綱常數(shù)時，量綱分析法不能給出它們的具體數(shù)值，只能由試驗來確定。 3）量綱分析法不能區(qū)別量綱相同而意義不同的物理量。 例如，流函數(shù) 、速度勢 、速度環(huán)量 與運動粘度 等。遇到這類問題時，應(yīng)加倍小心。,思考題,什么是流動相似？ 什么是幾何相似？運動相似？動力相似？ 流動的相似條件有哪些？ 流動的相似準(zhǔn)則數(shù)有哪些？ 什么是量綱一致性原則？,作業(yè),43，46，48,應(yīng)用.,例4-1,例4-2,例4-3,例4-4,例4-5,

20、例4-6,例4-7,例4-8,例4-1,如圖4-4所示,當(dāng)通過油池底部的管道向外輸油時,如果池內(nèi)油深太小,會形成達(dá)于油面的漩渦,并將空氣吸入輸油管.為了防止這種情況的發(fā)生,需要通過模型試驗去確定油面開始出現(xiàn)漩渦的最小油深 .已知輸油管內(nèi)徑d=250mm,油的流量 , 運動粘度 .倘若選取的長度比例尺 ,為了保證流動相似,模型輸出管的內(nèi)徑 ,模型內(nèi)液體的流量和運動粘度應(yīng)等于多少?在模型上測得 ,油池的最小油 深 應(yīng)等于多少?,h,圖4-4 油池模型,END,例4-2,h,v,圖4-5 弧形閘門,圖4-5所示為弧形閘門放水時的情形。已知水深h=6cm。模型閘門是按長度比例尺 制作的，試驗時的開度與

21、原型的相同。試求流動相似時模型閘門前的水深。在模型上測得收縮截面的平均流速 ，流量 ，水作用在閘門上的力 ，繞閘門軸的力矩 試求原型上收縮截面的平均流速、流量以及作用在閘門上的力和力矩。,END,S,例4-3,為了探索用輸油管道上的一段彎管的壓強(qiáng)降去計量油的流量，進(jìn)行了水模擬試驗。選取的長度比例尺 。已知輸油管內(nèi)徑d=100mm，油的流量 ， 運動粘度 ，密度 ，水的運動粘度 ，密度 。為了保證流動相似，試求水的流量。如果測得在該流量下模型彎管的壓強(qiáng)降 ，試求原型彎管在對應(yīng)流量下的壓強(qiáng)降。,S,END,圖4-6,例4-4,輸水管道的內(nèi)徑d=1.5m，內(nèi)裝蝶閥（見圖4-6）。當(dāng)?shù)y開度為 、輸送

22、流量 時，流動已進(jìn)入自?；瘏^(qū)。利用空氣進(jìn)行模擬試驗，選用的長度比例尺 。為了保證模型內(nèi)的流動也進(jìn)入自?；瘏^(qū)，模型蝶閥在相同開度下的輸送流量 。試驗時測得經(jīng)過蝶閥的壓強(qiáng)降 氣流作用在蝶閥上的力 繞閥軸的力矩,試求原型對應(yīng)的壓強(qiáng)降、作用力和力矩。已知20 時水的密度 ，粘度 ，20 時空氣的密度 ，粘度 聲速 。,S,END,例4-5,已知矩形堰流（圖4-7）的流量 主要與堰上水頭H、堰寬b和重力加速度g有關(guān)，試用瑞利法導(dǎo)出矩形堰流流量的表達(dá)式。,H,b,圖4-7 矩形堰,S,END,例4-6 不可壓縮粘性流體在粗糙管內(nèi)定常流動時，沿管道的壓強(qiáng)降 與管道長度l、內(nèi)徑d、絕對粗糙度 、平均流速v、流

23、體的密度 和動力粘度 有關(guān)。試用瑞利法導(dǎo)出壓強(qiáng)降的表達(dá)式。,S,END,例4-7 仍以不可壓縮粘性流體在粗糙管內(nèi)的定常流動為例，用 定理導(dǎo)出壓強(qiáng)降的表達(dá)式。,S,例4-8 翼型的阻力 與翼型的翼弦b、翼展l、沖角 、翼型與空氣的相對速度v、空氣的密度 、動力粘度 和體積模量K有關(guān)。試用 定理導(dǎo)出翼型阻力的表達(dá)式。,S,（例4-1）解: 這是不可壓縮粘性流體的流動問題,必須同時考慮重力和粘滯力的作用.因此,為了保證流動相似,必須按照弗勞德數(shù)和雷諾數(shù)分別同時相等去選擇模型內(nèi)液體的流速和運動粘度. 按長度比例尺模型得出輸出管內(nèi)徑: 在重力場中 ,由弗勞德數(shù)相等可得模型內(nèi)液體的流速和流量為 由雷諾數(shù)相

24、等可得模型內(nèi)液體的運動粘度為 已知模型上的 ,則油池的最小油深為,（例4-2）解：按長度比例尺，模型閘門前的水深 水的重力作用下由閘門下出流，要使流動相似，弗勞德數(shù)必須相等。由此可得 。于是，原型上的待求量可按有關(guān)比例尺計算如下： 收縮截面的平均流速 流量 作用在閘門上的力 力矩,（例4-3）解：這是粘性有壓管流，要使流動相似，雷諾數(shù)必須相等。由式（4-22）和式（4-7）可得 由歐拉數(shù)相等可得,（例4-4）解：這是粘性有壓管流。原型中的流速和雷諾數(shù)分別為 模型中的流速和雷諾數(shù)分別為 通常均已進(jìn)入自?；瘏^(qū)。模型中氣流的馬赫數(shù)為,可以不考慮氣體壓縮性的影響。由于 故由式（4-29）、式（4-11a）、式（4-12）可得,(例4-5)解：按照瑞利法可以寫出： （a） 如果用基本量綱表示方程中各物理量的量綱，則有 根據(jù)物理方程量綱一致性原則有 對L T 聯(lián)立求解二方程，可得 。由實驗已知，流量與堰寬成正比，故 ，于是 。將它們代入式（a），并令 ，得 (4-43) 式中 為堰流流量系數(shù)，由實驗確定。,(例46）解：按照瑞利法可以寫出： （b） 如果用基本量綱表示方程中的各物理量，則有 根據(jù)物理方程量綱一致性原則有 對L T M 六個指數(shù)有三個代數(shù)方程，只有三個指數(shù)是