材料力學經(jīng)典講解

1、研究工程材料力學行為和構(gòu)件安全設計理論的學說稱為材料力學。,材料力學研究的問題 （1）在各種外力作用下，桿件的內(nèi)力和變形，以及外力、內(nèi)力和變形之間的關系； （2）桿的幾何形狀和尺寸對強度、剛度和穩(wěn)定性的影響； （3）常用工程材料的主要力學性質(zhì)。 在此基礎上，建立保證桿件的強度、剛度和穩(wěn)定性的條件。,3. 為合理解決工程構(gòu)件設計中安全性與經(jīng)濟性之間的矛盾提供力學方面的依據(jù)。 強度條件、剛度條件、歐拉公式 應力狀態(tài)分析與四種強度理論,1.材料的力學性能；拉伸時與壓縮時的力學性能,2. 構(gòu)件的強度、剛度和穩(wěn)定性； 強度：拉伸、壓縮、剪切、擠壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲 剛度：拉伸、壓縮、扭轉(zhuǎn)、彎曲 穩(wěn)定性：壓桿穩(wěn)

2、定、動載荷、交變應力、疲勞,材料力學研究問題的程序,設計截面,強度或剛度校核,確定許可荷載,應力,強度條件,變形,剛度條件,解超靜定問題,內(nèi)力,外力,載荷與約束反力, ,f f ,危險點處的最大應力材料的許用應力,最大變形位移值允許變形位移值, ,材料力學內(nèi)容的簡單回顧,基本變形問題： 拉伸、壓縮、剪切、擠壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲,組合變形問題： 拉（壓）-彎、偏心拉伸（壓縮）、彎曲-扭轉(zhuǎn)、拉彎扭,壓桿穩(wěn)定問題： 受壓直桿的穩(wěn)定條件,動應力問題： 動荷載、交變應力,內(nèi)力：軸力、剪切力、扭矩、彎矩,內(nèi)力是外力引起的抗力，所以應用截面法，根據(jù)靜力學平衡方程及邊界荷載法就可求出內(nèi)力。回顧我們在研究基本變形問題

3、和組合變形問題時，桿件橫截面上的內(nèi)力，諸如軸力、剪力、扭矩和彎矩等無一不是應用截面法及邊界荷載法求得的。,內(nèi)力是桿件橫截面上分布內(nèi)力系的合力或合力偶矩，因此它們不能確切表達橫截面上各點處材料受力的強弱。為了解決桿件的強度計算問題，我們就必須探討受力桿件橫截面上的應力分布規(guī)律和應力計算。,組合受力變形,桿件變形的基本形式,軸向拉.壓,剪 切,扭 轉(zhuǎn),彎 曲,受力 變形特點,內(nèi)力,(截面法),軸力 N,剪力 Q 擠壓力 Pjy,扭矩 T,剪力 彎矩,應力,強度條件,變形 剛度條件,軸向拉.壓,扭 轉(zhuǎn),彎 曲,虎克定律,靜不定 問題,1、靜平衡方程,2、變形協(xié)調(diào)方程（幾何方程),3、物理方程,拉（壓

4、）,扭轉(zhuǎn),彎曲,A：面積,Ip：極慣性矩,Iz：關于中性軸的慣性矩,拉（壓）,扭轉(zhuǎn),彎曲,EA：拉伸剛度,GIp：扭轉(zhuǎn)剛度,EI：彎曲剛度,拉（壓）,扭轉(zhuǎn),彎曲,EA：拉伸剛度,GIp：扭轉(zhuǎn)剛度,EI：彎曲剛度,構(gòu)件,變形固體,外力,解決問題的思路,衡量構(gòu)件承載能力的3個方面,材料力學的任務,一般條件下的兩個限制,變形固體的三個基本假設,內(nèi)力,應變,構(gòu)件的幾何模型,變形,桿件變形的4種基本形式,受力特點,變形特點,（等）直桿、曲桿,板（殼）,塊體,位移,線位移（點移動的直線距離）,角位移（一線段（面）轉(zhuǎn)過的角度）,角應變（切應變）,線應變,應力,與截面垂直的分量-正應力,與截面相切的分量-切應

5、力,國際制單位,研究內(nèi)力的方法截面法（截、取、代、平)）,向截面內(nèi)一點的簡化,外力的分類,按作用方式分,按隨時間變化情況分,靜載荷,動載荷,沖擊載荷,交變載荷,表面力,體積力,分布力,集中力, ,分布力,第一章 知識網(wǎng)絡圖,兩大主線：應力分析（討論強度問題） 變形分析（討論剛度問題）,四個基本假設: 連續(xù)性、均勻性、各向同性、小變形,外力：集中力、體積力、表面力 動載荷（沖擊、交變）和靜載荷,內(nèi)力：軸力、剪切力、扭矩、彎矩,力的分類：,應力：正應力、剪應力,變形、位移 應變：線應變、角應變,軸向拉伸（壓縮）的定義及特征,材料拉伸（壓縮）時的力學性質(zhì) （常溫、靜載）,塑性材料、脆性材料的失效準則

6、,軸力,軸力圖,平面假設,圣維南定理,典型低碳鋼拉伸時的力學特性 脆性材料鑄鐵壓縮時力學特性 四個階段 四個極限應力 兩個塑性指標 一個彈性模量,塑性流動、脆性斷裂,強度極限b、 屈服極限s 的確定,材料失效時的極限應力,塑性流動 s、0.2 脆性斷裂 b,許用應力,橫截面上的應力計算,第二章 拉伸與壓縮知識網(wǎng)絡圖,強度條件,變形能,靜不定問題,三類計算問題： 強度校核、截面設計、確定許可載荷,橫向變形,力法解靜不定問題的基本步驟,應力集中,剪切和擠壓 的實用計算,功能原理求位移的載荷唯一性限制,功能原理,是否靜不定問題及靜不定次數(shù)的判定,靜力方程,幾何方程,物理方程,溫度應力與裝配應力,剪切

7、面積的判定,擠壓面積的判定,剪切強度校核,擠壓強度校核,縱向變形,軸力圖 表示軸力沿桿軸變化的圖形稱為軸力圖,用平行于桿軸線的坐標表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標表示橫截面上的軸力數(shù)值，從而繪出表示軸力與橫截面位置關系的圖線，稱為 軸力圖 . 將正的軸力畫在x軸上側(cè)，負的畫在x軸下側(cè).,（1）作法：,B、選一個坐標系，用其橫坐標表示橫截面的位置，縱 坐標表示相應截面上的軸力；,（2）舉例：,A、用截面法求出各段軸力的大?。?C、拉力繪在 軸的上側(cè)，壓力繪在 軸的下側(cè)。,解: 求支座反力,求AB段內(nèi)的軸力,FN1,求BC段內(nèi)的軸力,20kN,求CD段內(nèi)的軸力,C,A,B,D,E,求DE段內(nèi)

8、的軸力,單位：KN,選一個坐標系，用其橫坐標 表示橫截面的位置，縱坐標 表示相應截面上的軸力。,拉力繪在x軸的上側(cè)， 壓力繪在x軸的下側(cè)。,FN1=10kN （拉力）FN2=50kN （拉力） FN3= - 5kN （壓力）FN4=20kN （拉力）,FN1=10kN （拉力）FN2=50kN （拉力） FN3= - 5kN （壓力）FN4=20kN （拉力）,發(fā)生在BC段內(nèi)任一橫截面上,x,y,畫軸力圖要求： N圖畫在受力圖下方； 各段對齊，打縱線； 標出特征值、符號、注明力的單位。 注意同一圖應采用同一比例。,畫軸力圖目的： 表示出軸力沿桿件軸線方向的變化規(guī)律； 易于確定最大軸力及其位置。

9、,計算軸力的法則： 任一截面的軸力=（截面一側(cè)載荷的代數(shù)值）。,軸力圖突變： 在載荷施加處，軸力圖要發(fā)生突變，突變量等于載荷值。,軸力的符號： 離開該截面為正，指向該截面為負。,根據(jù)以上三條可以很方便地畫出軸力圖。,低碳鋼拉伸時的力學性能,p比例極限 e彈性極限 s屈服極限 b強度極限,伸長率,斷面收縮率,強度指標(失效應力),脆性材料,韌性金屬材料,塑性材料,脆性材料,塑性材料和脆性材料力學性能比較,塑性材料,脆性材料,斷裂前有很大塑性變形,斷裂前變形很小,抗壓能力與抗拉能力相近,抗壓能力遠大于抗拉能力,延伸率 5%,延伸率 5%,可承受沖擊載荷，適合于鍛壓和冷加工,適合于做基礎構(gòu)件或外殼,

10、材料的塑性和脆性會因為制造方法工藝條件的改變而改變,材料的極限應力,塑性材料為屈服極限,脆性材料為強度極限,材料的極限應力是指保證正常工作條件下，該材料所能承受的最大應力值。,所謂正常工作，一是不變形，二是不破壞。,屈服極限,強度極限,A3 鋼：,235 MPa,372-392 MPa,35 鋼：,314,529,45 鋼：,353,598,16Mn：,343,510,幾種主要鋼材的屈服極限與強度極限,桿件中的應力隨著外力的增加而增加，當其達到某 一極限時，材料將會發(fā)生破壞，此極限值稱為極限應 力或危險應力，以 表示。,？,工程實際中是否允許將極限應力作為工作應力,不允許！,前面討論桿件軸向拉

11、壓時截面的應力是構(gòu)件的實際應力工作應力。 工作應力僅取決于外力和構(gòu)件的幾何尺寸。只要外力和構(gòu)件幾何尺寸相同，不同材料做成的構(gòu)件的工作應力是相同的。 對于同樣的工作應力，為什麼有的構(gòu)件破壞、有的不破壞？顯然這與材料的性質(zhì)有關。,原因：,# 實際與理想不相符,生產(chǎn)過程、工藝不可能完全符合要求,對外部條件估計不足,數(shù)學模型經(jīng)過簡化,某些不可預測的因素,# 構(gòu)件必須適應工作條件的變化，要有強度儲備,# 考慮安全因素,許用應力,引入安全因數(shù) n ，定義,（材料的許用應力）,胡克定律,實驗證明：,引入比例常數(shù)E,則,（胡克定律）,E表示材料彈性性質(zhì)的一個常數(shù)，稱為拉壓彈 性模量，亦稱彈性模量。單位：MPa

12、、GPa.,物理意義：即當應力不超過比例極限時，桿件的伸長l與P和桿件的原長度成正比，與橫截面面積A成反比。,確定安全系數(shù)要兼顧經(jīng)濟與安全，考慮以下幾方面：,標準強度與許用應力的比值，是構(gòu)件工作的安全儲備。,安全系數(shù)：,（1）極限應力的差異；,（2）構(gòu)件橫截面尺寸的變異；,（3）荷載的變異；,（4）計算簡圖與實際結(jié)構(gòu)的差異；,（5）考慮強度儲備。,一般來講,因為斷裂破壞比屈服破壞更危險,許用應力,剪切強度條件：,名義許用剪應力,剪切與擠壓的計算,剪切和擠壓與軸向拉伸或壓縮無本質(zhì)聯(lián)系。剪切和擠壓在計算形式上軸向拉伸或壓縮相似。,名義許用擠壓應力,擠壓強度條件：,注意剪切面面積和擠壓面有效擠壓面積

13、的確定,因此有：,受力特點 變形特征,扭矩的符號規(guī)定和扭矩圖,圓截面等直桿,扭轉(zhuǎn)的基本概念,已知力、力臂、或功率、轉(zhuǎn)速求力偶矩,外力偶矩的計算,危險截面,右手螺旋法則 控制面和突變關系,純剪切,薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應力,切應力互等定理,剪切胡克定律,解釋不同的破壞現(xiàn)象,圓扭轉(zhuǎn)時的應力,變形幾何關系,物理關系,靜力關系,強度條件,第三章 扭轉(zhuǎn) 知識網(wǎng)絡圖,扭轉(zhuǎn)變形能,抗扭截面系數(shù),剛度條件,強度條件和剛度條件的應用,強度和剛度校核,截面設計,許可載荷的確定,注意兩種條件并用,矩形截面桿扭轉(zhuǎn)理論,圓柱形密圈彈簧的應力與變形,彈簧絲截面上的的應力,彈簧的變形,矩形截面桿的扭轉(zhuǎn),圓扭轉(zhuǎn)時的變形,扭轉(zhuǎn)的受

14、力特點,桿件的兩端作用兩個大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶.,扭轉(zhuǎn)的變形特點,桿件的任意兩個橫截面都發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動.,扭轉(zhuǎn)角（）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動 而發(fā)生的角位移。 剪應變（）：直角的改變量。,薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應力：,切應力互等原理：,切應變、剪切胡克定律：,扭矩及扭矩圖 1 扭矩：構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。 2 截面法求扭矩,外力偶矩轉(zhuǎn)向的確定：,主動輪上外力偶矩的轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)動方向相同， 從動輪上外力偶矩的轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)動方向相反 。,（1）聯(lián)系扭轉(zhuǎn)變形來規(guī)定扭矩符號：桿因扭轉(zhuǎn)使某一段內(nèi)的縱向母線有變成右手螺旋的趨勢時，則該截面上的扭矩為正，反

15、之為負。,（2）右手螺旋法則：若按右手螺旋法則把Me表示為矢量，當矢量方向與截面的外法線方向一致時，為正，反之為負。,扭轉(zhuǎn)正、負號的規(guī)定：,右手拇指指向外法線方向為 正(+),反之為 負(-),采用右手螺旋法則,當力偶矩矢的指 向背離截面時扭矩為正，反之為負.,2、扭矩符號的規(guī)定,3、扭矩圖,用平行于桿軸線的坐標 x 表示橫 截面的位置；用垂直于桿軸線的 坐標 T 表示橫截面上的扭矩，正 的扭矩畫在 x 軸上方，負的扭矩畫在 x 軸下方.,mD,A,B,C,D,mA,mB,mC,n,例題1 一傳動軸如圖所示，其轉(zhuǎn)速 n = 300 r/min ，主動輪A輸入的功率為P1 = 500 kW .

16、若不計軸承摩擦所耗的功率，三個從動輪輸出的功率分別為P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200 kW. 試做扭矩圖.,解:計算外力偶矩,Me4,A,B,C,D,Me1,Me2,Me3,n,計算 CA 段內(nèi)任橫一截面 2-2 截面上的扭矩 .假設 T 2為正值.,結(jié)果為負號，說明T 2 應是負值扭矩,由平衡方程,A,B,C,D,mA,mC,mB,同理，在 BC 段內(nèi),mD,A,B,C,D,同理，在 BC 段內(nèi),在 AD 段內(nèi),注意：若假設扭矩為正值，則 扭矩的實際符號與計算符號相同.,mD,mA,mC,mB,作出扭矩圖,從圖可見，最大扭矩 在 CA段內(nèi).,圓軸扭轉(zhuǎn)時的

17、應力,抗扭截面系數(shù),圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形,等直桿,切應力互等定理,在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。,純剪切單元體：,單元體平面上只有切應力而無正應力，則稱為純剪切單元體.,式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。,剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關系（推導詳見后面章節(jié)）：,可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。,E 彈

18、性模量 G 切變模量 泊松比,剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關系:,橫截面上距圓心為處任一點剪應力計算公式,在圓截面的邊緣為最大值R,則最大切應力為：,引入抗扭截面系數(shù),得到：,式中： T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。 極慣性矩，純幾何量，無物理意義。,適用范圍:,以上推導時以平面假設為基礎,只有對橫截面不變的圓軸平面假設才是正確的,因此: 1. 公式只適用于圓截面的等直桿(對沿軸線圓截面變化緩慢的小錐度桿可近似使用). 2. 僅適用于max低于剪切比例極限的情況(胡克定律),截面極慣性矩I

19、p和抗扭截面Wt系數(shù)的計算,對于實心圓截面：,對于空心圓截面：,圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件,強度條件：,對于等截面圓軸：,( 稱為許用剪應力。),強度計算三方面：, 校核強度：, 設計截面尺寸：, 計算許可載荷：,單位長度扭轉(zhuǎn)角 ：,或,剛度條件,或,GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。, 稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。,以 表示扭轉(zhuǎn)角的變化率,(3.20),扭轉(zhuǎn)強度條件,扭轉(zhuǎn)剛度條件,已知T 、D 和，校核強度,已知T 和， 設計截面,已知D 和，確定許可載荷,已知T 、D 和，校核剛度,已知T 和 ，設計截面,已知D 和 ，確定許可載荷,圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件 剛度條件 圓軸的設計計算,第

20、四章 平面圖形的幾何性質(zhì) 知識網(wǎng)絡圖,組合圖形靜矩的計算,求組合圖形的形心,靜矩（一次矩）,量綱：L3, 符號：+ - 0,靜矩為零，軸過形心，反之亦然,第四章平面圖形的幾何性質(zhì) 知識網(wǎng)絡圖,二次（極）矩,慣性矩,慣性積,極慣性矩,量綱：L4, 恒為正,量綱：L4, + - 0,量綱：L4, 恒為正,慣性半徑,一坐標軸為圖形對成軸，Iyz=0,圓形截面慣性矩,矩形截面慣性矩,平行移軸公式,轉(zhuǎn)軸公式,主慣性軸（主軸）,主慣性矩式,形心主慣性軸,第四章 知識網(wǎng)絡圖,形心坐標公式,靜矩,組合截面的靜矩,組合截面的面積,組合截面的形心坐標,組合圖形的靜矩、面積和形心坐標,極慣性矩（或截面二次極矩）,慣

21、性矩（或截面二次軸矩）,所以:,（即截面對一點的極慣性矩，等于截面對以該點為原點的任意兩正交坐標軸的慣性矩之和。）,由:,（單位：長度的一次方）,稱為圖形對 y 軸和 z 軸的慣性半徑 慣性半徑的量綱是長度,慣性半徑,矩形截面對其對稱軸 y , z 軸的慣性矩,圓形截面對其對稱軸的慣性矩,圓環(huán)截面對其對稱軸的慣性矩,慣性積,（其值可為正、為負或為零),慣性積的量綱是長度的四次方。,坐標系的兩個軸中只要有一個為圖形的對稱軸，則圖形對這一坐標系的慣性積等于零。,平行移軸公式,得到：,由：,轉(zhuǎn)軸公式,y,z,O,y,z,a,y,z,a,1,1,A,B,C,D,E,d,A,y,z,1,1,由：,代入慣

22、性矩公式，得到:,確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法,因為組合圖形都是由一些簡單的圖形（例如矩形、正方形、圓形等）所組成，所以在確定其形心、形心主軸以至形心主慣性矩的過程中，均不采用積分，而是利用簡單圖形的幾何性質(zhì)以及移軸和轉(zhuǎn)軸定理。,1. 將組合圖形分解為若干簡單圖形(子圖形），并確定組合圖形的形心位置。,確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法,2. 以形心為坐標原點，設Oyz坐標系y、z 軸一般與簡單圖形的形心主軸平行。,3. 確定簡單圖形對自形心軸的慣性矩。,矩形截面,圓環(huán)截面,圓形截面,角鋼截面,槽鋼截面,工字鋼截面,確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法,4. 利用移軸定理（必要

23、時用轉(zhuǎn)軸定理）確定各個子圖形對全截面形心軸（y、z軸)的慣性矩和慣性積。,5. 計算組合圖形的形心慣性矩Iy0和Iz0和Iyz0 。 組合圖形的形心慣性矩=(子圖形慣性矩之和),a、b為自形心軸與全截面形心軸的距離,6. 計算形心慣性積，判斷是否是主形心軸。,8. 計算形心主慣性矩,確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法,如果：,即為形心主軸。,如果：,計算：,7. 確定形心主軸位置，即形心主軸與 z 軸的夾角.,第五章 彎曲內(nèi)力 知識網(wǎng)絡圖,梁,對稱彎曲,支座的簡化,剪力和彎矩,靜定梁的基本形式,以彎曲變形為主的桿件,載荷的簡化,縱向?qū)ΨQ面,外力作用在此縱向?qū)ΨQ面內(nèi),變形后的軸線仍在縱向?qū)ΨQ

24、面內(nèi),簡支梁：一端固定絞支座一端可動鉸支座,外伸梁：簡支梁一端或梁端伸出支座以外,懸臂梁：一端固定一端自由,內(nèi)力方程,剪力符號：左上右下為正,彎矩符號：左順右逆為正,內(nèi)力符號,內(nèi)力圖,梁上n+1個控制面N組內(nèi)力方程,注明各控制面的 值，單位及正負號,變形主線,支座的簡化,載荷的簡化,支座的簡化,以彎曲變形為主的桿件,支座的簡化,載荷的簡化,支座的簡化,縱向?qū)ΨQ面,外力作用在此縱向?qū)ΨQ面內(nèi),外力作用在此縱向?qū)ΨQ面內(nèi),變形后的軸線仍在縱向?qū)ΨQ面內(nèi),外力作用在此縱向?qū)ΨQ面內(nèi),簡支梁：一端固定絞支座一端可動鉸支座,外伸梁：簡支梁一端或梁端伸出支座以外,簡支梁：一端固定絞支座一端可動鉸支座,內(nèi)力符號,內(nèi)

25、力符號,剪力符號：左上右下為正,內(nèi)力符號,內(nèi)力符號,剪力符號：左上右下為正,彎矩符號：左順右逆為正,剪力符號：左上右下為正,彎矩符號：左順右逆為正,剪力符號：左上右下為正,梁,對稱彎曲,縱向?qū)ΨQ面,外力作用在此縱向?qū)ΨQ面內(nèi),變形后的軸線仍在縱向?qū)ΨQ面內(nèi),縱向?qū)ΨQ面,外力作用在此縱向?qū)ΨQ面內(nèi),外力作用在此縱向?qū)ΨQ面內(nèi),變形后的軸線仍在縱向?qū)ΨQ面內(nèi),外力作用在此縱向?qū)ΨQ面內(nèi),剪力和彎矩,內(nèi)力符號,內(nèi)力符號,內(nèi)力符號,載荷集度、剪力和彎矩的關系,利用微分關系或積分關系指導內(nèi)力圖的繪制或檢查,剛架和曲桿,剪力符號：左上右下為正,剪力和彎矩,內(nèi)力方程,剪力符號：左上右下為正,彎矩符號：左順右逆為正,內(nèi)力

26、符號,內(nèi)力圖,梁上n+1個控制面N組內(nèi)力方程,注明各控制面的 值，單位及正負號,在x向右，y向上的右手坐標系內(nèi),第五章 彎曲內(nèi)力 知識網(wǎng)絡圖,非對稱彎曲：若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或梁有縱向?qū)ΨQ面，但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。,對稱彎曲（平面彎曲）,一般情況下，工程中受彎桿件的橫截面都至少有一個通過幾何形心的對稱軸，因而整個桿件都有一個包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。如下圖，當作用于桿件的外力都在這個縱向?qū)ΨQ平面上時，可以想象到，彎曲變形后的軸線也將是位于這個對稱面內(nèi)的一條曲線。這種情況的變形我們就稱為平面彎曲變形，簡稱為平面彎曲。,A,B,梁變形后的軸線與外力在同一平面內(nèi),RA,P1,P2,RB,

27、彎曲及其特征,外力特征：外力或外力偶的矢量垂直于桿軸 變形特征：桿軸由直線變?yōu)榍€.,梁的分類：直梁 曲梁 對稱梁 非對 稱梁,對稱彎曲（平面彎曲）與非對稱彎曲： 彎曲變形后的軸線位于對稱面內(nèi)的一條曲線。這種變形稱為平面彎曲變形，簡稱為平面彎曲。梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或梁有縱向?qū)ΨQ面，但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。,靜定梁的基本形式 簡支梁 外伸梁 懸臂梁,彎曲內(nèi)力和彎矩方程,梁的剪力方程,梁的彎矩方程,靜定梁的基本形式,靜定梁 梁的支座反力可以由靜力平衡方程就可確定。 相應于不同的支座形式，靜定梁可分為三種形式：簡支梁，外伸梁，懸臂梁。,梁載荷的分類,均勻分布載荷,線性（非均勻）分布載荷

28、,集中力偶 T,載荷集度 q(N/m),5. 根據(jù)剪力方程和彎矩方程畫出剪力圖和彎矩圖。,作剪力圖和彎矩圖的步驟：,1. 用靜力系平衡方程求解支座反力；,2. 建立坐標系（一般以梁的左端為原點）；,3. 分段 在 載荷變化處 分段： 集中力或集中力偶的作用處 分布載荷的起始和終點,4. 列出每一段的剪力方程和彎矩方程；,6. 注意圖形的極值點（是否有極值、大小、位置）。,彎矩圖為正值畫在 x 軸上側(cè)，負值畫在x 軸下側(cè),剪力圖和彎矩圖,剪力圖為正值畫在 x 軸上側(cè)，負值畫在x 軸下側(cè),以平行于梁軸的橫坐標x表示橫截面的位置，以縱坐標表示相應截面上的剪力和彎矩.這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖,求

29、彎曲內(nèi)力的法則,任一截面的剪力Q=一側(cè)橫向力的代數(shù)和,左上右下為正，反之為負,橫向力：載荷、約束反力、分布力、集中力,任一截面的彎矩M=一側(cè)外力對截面形心之矩的代數(shù)和,左順右逆為正，反之為負,外力：載荷、約束反力、分布力、集中力、集中力偶,受均布載荷作用的懸臂梁,受集中力作用的懸臂梁,受集中力偶作用的簡支梁,受均布載荷作用的簡支梁,受集中力作用的簡支梁,受集中力偶作用的懸臂梁,載荷集度q、 剪力Q和彎矩M之間的關系,微分關系：,積分關系：,無荷載,集中力,P,C,集中力偶,m,C,向下傾斜的直線,上凸的二次拋物線,在Q=0的截面,水平直線,一般斜直線,或,在C處有轉(zhuǎn)折,在剪力突變的截面,在緊靠

30、C的某一側(cè)截面,一段梁上的外力情況,剪力圖 的特征,彎矩圖 的特征,Mmax所在 截面的可 能位置,幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征,向下的均布荷載,在C處有突變,在C處有突變,在C處無變化,利用微分關系直接繪制剪力圖與彎矩圖的方法, 研究QM圖分段情況（集中力、集中力偶、分布載荷起始點），確定控制面。, 根據(jù)微分關系研究QM圖形態(tài)（平直線、斜直線、曲線；增減性；凸凹性）。, 計算QM圖段端值，根據(jù)突變關系、積分關系，標出各控制面上的剪力和彎矩值。, 根據(jù)曲線形態(tài)和段端值，畫出剪力圖與彎矩圖。, 計算支座反力（弄清楚全梁的受力情況）。,第六章 彎曲應力 知識網(wǎng)絡圖,中性層與中性軸,純彎曲,橫截面

31、上僅有 M而無QS,應用條件：純彎曲；線彈性范圍； 等截面直桿。 可有限推廣,彎曲時既不伸長也不 縮短的層面為中性層,橫力彎曲,橫截面上既有 M又有QS,中性層與橫截面 的交線為中性軸,彎曲正應力,彎曲切應力,彎曲切應力,強度條件,正應力強度條件,切應力強度條件,塑性材料：1個危險面，2個危險點,脆性材料：2個危險面，2個危險點,提高彎曲強度的措施,合理安排梁的受力， 使Mmax 合理安排支承，使Mmax 選擇合理截面，使Wz/A,比較與分析：,拉伸與壓縮：,剪切：,擠壓：,扭轉(zhuǎn)：,彎曲：,解決三類強度問題的計算步驟,設計資料,結(jié)構(gòu)計算簡圖（載荷、支座）,材 料 （材料的力學性質(zhì)）,強度條件,

32、外 力 （支座反力計算）,內(nèi) 力 Q(x)、 M(x),內(nèi) 力 Q圖、 M圖,截面圖形幾何性質(zhì)計算 靜矩、形心 形心主慣性軸 形心主慣性矩 抗彎截面系數(shù),正應力計算 剪應力計算,強度校核,截面設計,確定容許荷載,截 面 （形狀和尺寸）,解決三類強度問題的計算步驟,設計資料,結(jié)構(gòu)計算簡圖（載荷、支座）,材 料 （材料的力學性質(zhì)）,強度條件,外 力 （支座反力計算）,內(nèi) 力 Q(x)、 M(x),內(nèi) 力 Q圖、 M圖,截面圖形幾何性質(zhì)計算 靜矩、形心 形心主慣性軸 形心主慣性矩 抗彎截面系數(shù),正應力計算 剪應力計算,強度校核,截面設計,確定容許荷載,截 面 （形狀和尺寸）,純彎曲 梁上只有彎矩，沒

33、有剪力,橫力彎曲 梁上，既有彎矩，又有剪力,橫截面上彎曲正應力,截面的抗彎截面系數(shù)，反映了截面的幾何形狀、尺寸對強度的影響。,W是一個與截面的幾何形狀有關的量，量綱是長度的三次方。不同截面，抗彎截面系數(shù)不相同。,對于矩形：,彎曲問題的幾何量,常見圖形的慣性矩及抗彎截面系數(shù)：,（1）當 中性軸為對稱軸時:,z,y,（2）對于中性軸不是對稱軸的橫截面,彎曲正應力強度條件：,拉壓強度相等材料：,拉壓強度不等材料：,強度條件的作用：,強度校核 截面設計 確定梁的許可荷載,彎曲切應力,橫截面上彎曲切應力,矩形梁:,圓形截面梁:,薄壁圓環(huán)形截面梁:,彎曲切應力強度條件,工字梁：,工字形梁截面上的切應力分布

34、,腹板為矩形截面時,P104例4.2:,(拋物線）,工字形梁腹板上的切應力分布,討 論 1、沿腹板高度方向拋物線分布 2、y=0時，切應力值最大 3、 y=h/2時腹板上下邊處切應力最小,工字形梁腹板上的切應力分布,討 論 4、當B=10b, H=20b, t=2b時 max /min=1.18, 大致均勻 分布 5、腹板上能承擔多少剪力？ 積分 得 總剪力的9597,近似計算公式：,二、需用彎曲剪應力強度條件進行強度校核的梁的類型：,一般情況下，細長梁的強度控制因素，通常是彎曲正應力，根據(jù)正應力強度條件確定的梁截面，一般都能滿足剪應力的強度條件，無需再進行剪應力的強度計算，只有在下述一些情況

35、下，要注意梁的剪應力校核： 1、梁的跨度短，或者在支座附近作用著較大的載荷，在這種情況下，梁的彎矩較小，而剪力都可能很大。 2、鉚接或焊接的工字形截面鋼梁，腹板截面的厚度一般較薄而高度卻頗大，厚度與高度之比往往小于型鋼的相應比值，這時需對腹板的剪應力進行校核。 3、對由幾部分經(jīng)焊接，膠合或鉚接而成的梁，對焊縫，膠合面或鉚釘?shù)纫话阋惨M行剪切強度校核。,強度條件的比較與分析：,拉伸與壓縮：,剪切：,擠壓：,扭轉(zhuǎn)：,彎曲：,提高彎曲強度的一些措施,從上式可看出：要提高梁的承載承力，應從幾兩方面考慮： 1. 合理安排梁的受力 2. 合理布置支座 3. 合理的布置載荷 4. 合理設計截面 5. 合理放

36、置截面,第七章 彎曲變形 知識網(wǎng)絡圖,彎曲變形和位移,撓曲線的近似微分方程,積分法求轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,用位移條件及光滑連續(xù)條件確定 C、D,變形的表示,變形時的撓度和轉(zhuǎn)角,撓曲線方程 y= f(x),撓度 ：向上為正 轉(zhuǎn)角：逆時針向轉(zhuǎn)動方向為正,小變形 線彈性,第七章 彎曲變形 知識結(jié)構(gòu)框圖,疊加法求轉(zhuǎn)角和撓度,剛度條件,彎曲變形能,提高彎曲剛度的措施,在小變形線彈性范圍可用疊加原理求變形,簡單靜不定梁,變形比較法,調(diào)整載荷或支座使Mmax下降,選擇合理界面使同面積下l 增加,撓曲線：,在平面彎曲情況，梁變形后的軸線將成為xoy平面內(nèi)的一條曲線。這條連續(xù)、光滑的曲線稱為梁的撓曲線。(彈性曲線

37、）,平面假設：梁的橫截面變形前垂直于軸線，變形后仍 垂直于撓曲線。,撓度：,梁變形后，橫截面的形心在垂直于梁軸線（x軸)方向上所產(chǎn)生的線位移，稱為梁在截面的撓度。,一般情況下，不同橫截面的撓度值不同。,橫截面撓度隨截面位置（x 軸）而改變的規(guī)律可用撓曲線方程表示。,符號：撓度向下為正， 撓度向上為負。 單位：mm,轉(zhuǎn)角：,橫截面繞中性軸所轉(zhuǎn)過的角度稱為梁的截面轉(zhuǎn)角。,：曲線ACB在C1點的切線與X軸間的夾角。,符號： 轉(zhuǎn)角從X軸逆時針轉(zhuǎn)至切線方向為正， 順時針轉(zhuǎn)至切線方向為負。 單位：弧度,截面撓度與轉(zhuǎn)角的關系,撓曲線上任意點處切線的斜率等于該點處橫截面的轉(zhuǎn)角。,連續(xù)性條件：在撓曲線的任意點，

38、有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角。,用積分法求彎曲變形,積分常數(shù)C、D可利用連續(xù)性條件和位移邊界條件確定。,利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù) 如果分 n 段寫出彎矩方程，則有 2 n 個積分常數(shù),優(yōu)點使用范圍廣，精確； 缺點計算較繁,積分法求梁變形的基本步驟：,寫出彎矩方程；若彎矩不能用一個函數(shù)給出要分 段寫出,由撓曲線近似微分方程，積分出轉(zhuǎn)角、撓度函數(shù),用疊加法求彎曲變形,當梁同時受幾個載荷作用而使梁產(chǎn)生的變形，就等于每一個載荷單獨作用下梁產(chǎn)生的變形的代數(shù)和。,載荷疊加：將作用在梁上的荷載分解成單個載荷，利用單個載荷作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角的結(jié)果進行疊加，就可求得梁在多個載荷作用下的總變形。,彎曲剛度條

39、件,剛度條件,提高彎曲剛度的措施,1、減小梁的跨度,2、選擇合理截面形狀,3、改善梁的受力和支座位置,4、預加反彎度,5、增加支座,應力狀態(tài),強度理論,一點應力狀態(tài),單元體,主平面切應力為零的平面,任意一對平行平面上的應力相等,每個面上應力均勻分布,主應力主平面上的正應力,應力狀態(tài)分類,單向應力狀態(tài),1個主應力不為零,復雜應力狀態(tài),二向應力狀態(tài),三向應力狀態(tài),2個主應力不為零,3個主應力不為零,第八章 應力狀態(tài)與強度理論 知識網(wǎng)絡圖,第八章,解析法,點面關系（對應）,應力應變關系,轉(zhuǎn)向關系（一致）,夾角關系（二倍）,圖解法,應力狀態(tài)分析,應力狀態(tài),應力圓,幾個重要結(jié)論,是周期函數(shù)，周期是。,1

40、、,2、,法向應力之和 保持一個常數(shù),3、,4、,5、,最大切應力和最小切應力所在平面與主平面的夾角為45,橫截面上正應力分析和切應力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力的點的概念。,軸向拉壓,同一橫截面上各點應力相等：,同一點在斜截面上時：,應力的面的概念,應力狀態(tài)的分類,1、空間應力狀態(tài) 三個主應力1 、2 、3 均不等于零,2、平面應力狀態(tài)(二向應力狀態(tài)) 三個主應力1 、2 、3 中有兩個不等于零,3、單向應力狀態(tài) 三個主應力 1 、2 、3 中只有一個不等于零,受力物體內(nèi)的單元體界面應力,命名方法,標量（溫度）矢量（速度）張量（應力狀態(tài)）,一維,三維,九維,(1)

41、由x軸轉(zhuǎn)到斜截面外法線n，逆時針轉(zhuǎn)向時則為正,（2) 正應力仍規(guī)定拉應力為正,（3) 切應力對單元體內(nèi)任一點取矩，順時針轉(zhuǎn)為正,重申符號的確定,任意斜截面上的應力,最大正應力(主應力),(1)當x y 時 ， 0 是x與max之間的夾角,(2)當xy 時 ， 0 是x與min之間的夾角,(3)當x=y 時 ，0 =45，主應力的方向可由單元體上 切應力情況直觀判斷出來,則確定主應力方向的具體規(guī)則如下：,若約定 | 0 | 45即0 取值在45范圍內(nèi),主應力的方向判定,最大切應力,將 1和 1+90代入公式,得到 max和min,最大切應力和最小切應力所在平面與主平面的夾角為45,比較,和,可見

42、,(1) 建 - 坐標系 ,選定比例尺,二、圖解法,1、步驟,o,(2) 量取,OA= x,AD = xy,得 D 點,OB= y,(3) 量取,BD= yx,得 D點,(4) 連接 DD兩點的直線與 軸相交于 C 點,(5)以C為圓心, CD 為半徑作圓,該圓就是相應于該單元體的應力圓,三、應力圓的應用,1、求單元體上任一 截面上的應力,圓周上 E 點的坐標就依次為斜截面上的正應力 和切應力 。,從應力圓的半徑 CD 按方位角 的轉(zhuǎn)向 轉(zhuǎn)動 2 得到半徑 CE.,2、求主應力數(shù)值和主平面位置,(1)主應力數(shù)值,A1 和 B1 兩點為與主平面 對應的點，其橫坐標 為主應力 1 ，2,（2）主平

43、面方位,由 CD順時針轉(zhuǎn) 20 到CA1,所以單元體上從 x 軸順時針轉(zhuǎn) 0 （負值）即到 1對應的主平面的外法線,0 確定后，1 對應的主平面方位即確定,3、求最大切應力,G1 和 G 兩點的縱坐標分別代表 最大和最小切應力,因為最大最小切應力 等于應力圓的半徑,幾個重要結(jié)論,是周期函數(shù)，周期是。,1、,2、,法向應力之和保持一個常數(shù),3、,4、,5、,最大切應力和最小切應力所在平面與主平面的夾角為45,三向應力狀態(tài),二向應力狀態(tài)是三向應力狀態(tài)的特殊情況,三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律,主應力和主應變的方向重合。1 2 3,第八章,共同的力學原因,脆性斷裂,復雜應力狀態(tài)下彈性失效形式,強度理論,

44、強度理論的基本思想,第一強度理論,第二強度理論,塑性斷裂,第三強度理論,第四強度理論,人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了種種關于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論。,為了建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件，而提出 的關于材料破壞原因的假設及計算方法。,強度理論,基本觀點,構(gòu)件受外力作用而發(fā)生破壞時，不論破壞的表面現(xiàn)象如何 復雜，其破壞形式總不外乎幾種類型，而同一類型的破壞則 可能是某一個共同因素所引起的.,根據(jù)材料在復雜應力狀態(tài)下破壞時的一些現(xiàn)象與形式 ,進行 分析,提出破壞原因的假說.在這些假說的基礎上,可利用材料在單

45、 向應力狀態(tài)時的試驗結(jié)果 , 來建立材料在復雜應力狀態(tài)下的強度條件。,強度理論的概念,引起破壞 的某一共同 因素,形狀改變 比能,最大切應力,最大線應變,最大正應力,根據(jù)：當作用在構(gòu)件上的外力過大時，其危險點處的材料 就會沿最大拉應力所在截面發(fā)生脆斷破壞.,最大拉應力理論（第一強度理論）,基本假說：最大拉應力 1 是引起材料脆斷破壞的因素.,脆斷破壞的條件： 1 = b,強度條件:,1 ,最大伸長線應變理論（第二強度理論),根據(jù)：當作用在構(gòu)件上的外力過大時，其危險點處的材料 就會沿垂直于最大伸長線應變方向的平面發(fā)生破壞.,基本假說：最大伸長線應變 1 是引起材料脆斷破壞的因素.,脆斷破壞的條件

46、,最大伸長線應變,強度條件,最大切應力理論 (第三強度理論),基本假說: 最大切應力 max 是引起材料屈服的因素.,根據(jù)：當作用在構(gòu)件上的外力過大時，其危險點處的材料就會 沿最大切應力所在截面滑移而發(fā)生屈服失效.,屈服條件,在復雜應力狀態(tài)下一點處的最大切應力為,強度條件,（單向拉伸時出現(xiàn)屈服）,形狀改變比能理論（第四強度理論）,基本假說：形狀改變比能 uf是引起材料屈服的因素.,單向拉伸下，1= s， 2= 3=0，材料的極限值,強度條件,屈服準則,相當應力,把各種強度理論的強度條件寫成統(tǒng)一形式,r 稱為復雜應力狀態(tài)的相當應力.,(2) 塑性材料選用第三或第四強度理論；,(3) 在二向和三向

47、等拉應力時，無論是塑性還是脆性都發(fā)生 脆性破壞，故選用第一或第二強度理論；,各種強度理論的適用范圍及其應用,(1) 一般脆性材料選用第一或第二強度理論；,(4) 在二向和三向等壓應力狀態(tài)時，無論是塑性還是脆性材 料都發(fā)生塑性破壞，故選用第三或第四強度理論.,第九章 組合變形 知識網(wǎng)絡圖,組合變形,拉壓彎組合, 載荷分解, 基本變形內(nèi)力分析，危險截面, 對危險截面危險點的應力進行強度分析, 基本變形應力疊加，危險點,危險點為單向應力狀態(tài),強度條件,疊加原理,彎扭組合,失效一般為塑性屈服,危險點為二向應力狀態(tài),第九章 組合變形,彎扭組合,失效一般為塑性屈服,危險點為二向應力狀態(tài),拉彎扭組合,危險點

48、為二向應力狀態(tài),由上表可以看出： （1）在小變形的條件下，組合變形是幾種基本變形的某種組合。在單向應力狀態(tài)下，應力可以直接疊加，僅在二向應力狀態(tài)下，才需要應用強度理論計算相當應力。 （2）相當應力是危險點處三個主應力的某種組合，相當于單向拉伸時危險點處的最大工作應力。所以組合變形的強度條件是: 受力構(gòu)件中危險點處的相當應力許用應力,1、外力分析 將外力簡化并沿主慣性軸分解，將組合變形分解為基本變形,使之每個力(或力偶)對應一種基本變形,3、應力分析 畫出危險截面的應力分布圖，利用 疊加原理 將基本變形下的應力和變形疊加, 建立危險點的強度條件,處理組合變形的基本方法,2、內(nèi)力分析 求每個外力分

49、量對應的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險截截面。分別計算在每一種基本變形下構(gòu)件的應力和變形,疊加原理的成立要求：內(nèi)力，應力，應變，變形等與外力之間成線性關系。,拉伸(或壓縮)與彎曲的組合,任一點的正應力：,強度條件：,第三強度理論,第四強度理論,對圓軸截面：,第三強度理論,第四強度理論,對非圓軸截面,圓軸彎扭組合,拉伸（壓縮）與扭轉(zhuǎn)的組合,拉伸（壓縮）、彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合,第十章 壓桿穩(wěn)定 知識網(wǎng)絡圖,壓桿穩(wěn)定,長度因數(shù),壓桿保持原有的平衡狀態(tài)的能力,使壓桿保持微小彎曲平衡的最小壓力,兩端鉸支 =1,臨界壓力Per,柔度（長細比）,臨界壓力,一端固定 一端鉸支 =0.7,兩端固定 =0.5,一端固定

50、一端自由 =2,大柔度桿1,中柔度桿2 1,小柔度桿2 ,壓桿穩(wěn)定計算,兩端鉸支,一端固定,另一端鉸支,兩端固定,一端固定,另一端自由, = 1, = 0.7, = 0.5, = 2, 為壓桿的長度系數(shù),壓桿穩(wěn)定的概念：穩(wěn)定平衡 不穩(wěn)定平衡 臨界壓力 Pcr,對于沿各個方向桿端約束相同的情況，I取最小值,穩(wěn)定計算的中心問題是確定臨界壓力.,壓桿的分類,壓桿的分類,1）大柔度桿,2）中柔度桿,3）小柔度桿,塑性材料,脆性材料,臨界應力總圖,小柔度,中柔度,大柔度,按強度問題計算,按歐拉公式計算,按經(jīng)驗公式計算,拋物線公式,1. 穩(wěn)定性條件,2.計算步驟,壓桿的穩(wěn)定校核,(1) 計算最大的柔度系數(shù)max,(2) 根據(jù)max 選擇公式計算臨界應力,根據(jù)穩(wěn)定性條件，判斷壓桿的穩(wěn)定性或確定許可載荷,減小壓桿長度 l,減小長度系數(shù)（增強約束）,增大截面慣性矩 I（合理選擇截面形狀）,增大彈性模量 E（合理選擇材料）,提高壓桿穩(wěn)定性的措施,歐拉公