2.3.2 平面與平面垂直的判定定理課件

1、2.3.2 平面與平面垂直的判定定理,1.在立體幾何中，“異面直線所成的角”是怎樣定義的？,直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a /a， b/ b，我們把相交直線a 和 b所成的銳角 （或直角）叫做異面直線所成的角.,2.在立體幾何中,直線和平面所成的角是怎樣定義的？,平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.,范圍：( 0o, 90o ,范圍： 0o, 90o ,復(fù)習(xí)引入,2,學(xué)習(xí)交流PPT,空間兩個(gè)平面有平行、相交兩種位置關(guān)系.對(duì)于兩個(gè)平面平行，我們已作了全面的研究，對(duì)于兩個(gè)平面相交，我們應(yīng)從理論上有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).,在異面直線所成的角、直

2、線與平面所成的角的學(xué)習(xí)過程中，我們將三維空間的角轉(zhuǎn)化為二維空間的角，即平面角來刻畫.接下來，我們同樣來研究平面與平面的角度問題.,兩個(gè)相交平面的相對(duì)位置是由這兩個(gè)平面所成的“角”來確定的,3,學(xué)習(xí)交流PPT,在生產(chǎn)實(shí)踐中，有許多問題也涉及到兩個(gè)平面所成的角如：修筑水壩時(shí)，為了使水壩堅(jiān)固耐久，必須使水壩面和水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?；發(fā)射人造地球衛(wèi)星時(shí)，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星的軌道平面和地球的赤道平面成一定的角度.,4,學(xué)習(xí)交流PPT,(1) 半平面的定義,1.二面角的概念,平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面,半平面,半平面,(2) 二面角的定義,從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成

3、的圖形叫做二面角. 這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面,棱,面,面,5,學(xué)習(xí)交流PPT,平臥式：,直立式：,(3) 二面角的畫法和記法：,1.二面角的概念,面1棱面2,點(diǎn)1棱點(diǎn)2,二面角 l ,二面角AB,二面角CAB D,6,學(xué)習(xí)交流PPT,A,O,l,B,(4) 二面角的平面角,A,B,O,1.二面角的概念,以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.,如圖， ，則AOB成為二面角 的平面角. 它的大小與點(diǎn)O的選取無關(guān).,二面角的平面角必須滿足：,角的邊都要垂直于二面角的棱,角的頂點(diǎn)在棱上,角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi),7

4、,學(xué)習(xí)交流PPT,A,B,0。，180。,(4) 二面角的平面角,1.二面角的概念,二面角的范圍為：,注1：當(dāng)二面角的兩個(gè)面合成一個(gè)平面時(shí)，規(guī)定二面角的大小為180； 平面角是直角的二面角叫做直二面角，此時(shí)稱兩半平面所在的兩個(gè)平面互相垂直.,8,學(xué)習(xí)交流PPT,定義法 垂線法 作棱的垂面法,一個(gè)平面垂直于二面角 -l- 的棱 l，且與兩半平面的交線分別是射線 OA、OB，O 為垂足，則AOB 為二面角 -l- 的平面角,(5) 二面角的平面角的作法：,1.二面角的概念,A,B,補(bǔ)充,9,學(xué)習(xí)交流PPT,例 正方體ABCDA1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小為_，二面角B-AA1-

5、D的大小為_，二面角C1-BD-C的正切值是_.,45,90,練習(xí),10,學(xué)習(xí)交流PPT,練 如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E為D1C1的中點(diǎn)，求二面角EBDC的大小,思路分析：,找基面,平面BCD,作基面的垂線,過E作EFCD于F,F,作平面角,作FGBD于G，連結(jié)EG,G,解：過E作EFCD于F，,于是，EGF為二面角EBDC的平面角,BC = 1，CD = 2，,而EF = 1，在EFG中, ABCDA1B1C1D1是長(zhǎng)方體， EF平面BCD，且F為CD中點(diǎn)，,過F作FGBD于G，連結(jié)EG，則EGBD（三垂線定理）,M,練習(xí),11,學(xué)習(xí)

6、交流PPT,求證:,例 如圖，將等腰直角三角形紙片沿斜線BC上的高AD折成直二面角.,12,學(xué)習(xí)交流PPT,C,D,H,G,600,300,例 如圖，山坡傾斜度是60度，山坡上一條路CD和坡底線AB成30度角.沿這條路向上走100米，升高了多少?,A,B,練習(xí),13,學(xué)習(xí)交流PPT,如何檢測(cè)所砌的墻面和地面是否垂直？,思考,14,學(xué)習(xí)交流PPT,2.平面與平面垂直的判定,(1) 定義法：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.記作,(2) 面面垂直的判定定理：若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直,該定理作用：“線面垂直面面垂直”,注2：,應(yīng)用該

7、定理，關(guān)鍵是找出兩個(gè)平面中的其中任一個(gè)的垂線.,15,學(xué)習(xí)交流PPT,練 在正方體ABCDA1B1C1D1中, (1)求證：平面A1C平面B1D,A,C,D,A1,C1,D1,E,F,B1,(2)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)， 求證：平面A1C1FE平面B1D,(3)G是BB1的中點(diǎn)， 求證：平面A1C1G平面B1D,總結(jié): 直線A1C1 平面B1D，則過直線A1C1 的平面都垂直于平面B1D,練習(xí),16,學(xué)習(xí)交流PPT,證明：由AB是圓O的直徑，可得ACBC,平面PAC平面PBC,例 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面于A，C是圓O上不同于A、B的任意一點(diǎn). 求證：平面PAC平

8、面PBC,練習(xí),17,學(xué)習(xí)交流PPT,P,A,B,C,外,垂,中,練習(xí)：P79 B組2(2),18,學(xué)習(xí)交流PPT,E,F,分析,19,學(xué)習(xí)交流PPT,E,F,或者考慮二面角定義法,20,學(xué)習(xí)交流PPT,G,E,21,學(xué)習(xí)交流PPT,G,E,練習(xí),22,學(xué)習(xí)交流PPT,二、平面與平面垂直,(1)定義：兩平面所成二面角為直二面角,(2)判定定理：,(3)性質(zhì)定理：,一、直線與平面垂直,(1)定義：,(2)判定定理：,(3)線線垂直的常用證明方法：,a.平面內(nèi)的兩直線,b.空間內(nèi)的兩直線,(4)兩條平行線垂直于同一個(gè)平面，垂直于同一一個(gè)面的兩直線平行.,23,學(xué)習(xí)交流PPT,三、角度問題,直線a、

9、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)o，作直線a、b，并使a/a，b/b，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角.,從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。,24,學(xué)習(xí)交流PPT,解決空間角的問題涉及的數(shù)學(xué)思想主要是化歸與轉(zhuǎn)化，即把空間的角轉(zhuǎn)化為平面的角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過解三角形求得.,2.方法：,3.步驟：,b.求直線與平面所成的角：,a.求異面直線所成的角：,c.求二面角的大?。?作（找）, 證, 點(diǎn), 算,1.數(shù)學(xué)思想：,定義法或者垂線法,即

10、找面的垂線，找出垂足,找平行線方法：中位線，平行四邊形，線段成比例，線面平行的性質(zhì)定理等,25,學(xué)習(xí)交流PPT,O,A,B,O,P,A,B,back,練習(xí)：二面角 的平面角為 , PA 于A點(diǎn)，PB 于B點(diǎn)，PA=a，PB=b，求點(diǎn)P到棱 的距離.,26,學(xué)習(xí)交流PPT,back,練 如圖，在三棱錐P-ABC中，ACBC=2，PA=PB=AB，ACB90o，PCAC. (1)求證：PC AB；(2)求二面角BAPC的大小.,27,學(xué)習(xí)交流PPT,練2 在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2， BC=BB1=1， E為C1D1的中點(diǎn)，求二面角 E-BD-C的大小.,A,A1,B,B1,C

11、,C1,D,D1,E,M,F,back,28,學(xué)習(xí)交流PPT,在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是中點(diǎn)，求截面A1ECF和底面ABCD所成的銳二面角的大小.,E,F,back,29,學(xué)習(xí)交流PPT,練1 如圖，M是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB的中點(diǎn)，求二面角A1MCA的正切值,N,H,思路分析：,找基面,找基面的垂線,AA1,作平面角,作AHCM交CM的延長(zhǎng)線于H，連結(jié)A1H,平面ABCD,解：作AHCM交CM的延長(zhǎng)線于H，連 結(jié)A1HA1A平面AC，AH是A1H 在平面AC內(nèi)的射影，A1HCM，,A1HA為二面角A1CMA的平面角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1M是AB的中點(diǎn)，且AMCD，則在 直角

12、AMN中，AM = 0.5，AN= 1，MN = ,back,30,學(xué)習(xí)交流PPT,如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1. (1)求四棱錐S-ABCD的體積； (2)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.,(2)提示：因所求二面角無“棱”，故先延長(zhǎng)BA、CD以確定棱SE，然后證明BSC為平面角.,back,31,學(xué)習(xí)交流PPT,A .,O,解：,則AD l .,sinADO=, ADO=60.,即二面角 l 的大小為60 .,在RtADO中，,AO AD,練 已知二面角 l ，A為面內(nèi)一點(diǎn)，A到 的距離為 ，到l的距離為

13、 4. 求二面角 l 的大小.,D,過 A作 AO于O，過 O作 OD l 于D，連AD，,就是二面角 l 的平面角.,back,練 在二面角-l-的一個(gè)平面內(nèi)有一條直線AB，它與棱 l 所成的角為45，與平面所成的角為30，則這個(gè)二面角的大小是_.,45或135,32,學(xué)習(xí)交流PPT,證明：,C,D,A,B,在平面內(nèi)過B點(diǎn)作直線BECD，則ABE就是二面角-CD-的平面角，,設(shè)=CD，則BCD.,a,back,33,學(xué)習(xí)交流PPT,練習(xí),1.過平面的一條垂線可作_個(gè)平面與平面垂直.,2.過一點(diǎn)可作_個(gè)平面與已知平面垂直.,3.過平面的一條斜線，可作_個(gè)平面與平面垂直.,4.過平面的一條平行線

14、可作_個(gè)平面與垂直.,一,無數(shù),無數(shù),一,back,34,學(xué)習(xí)交流PPT,練 正方體ABCDA1B1C1D1中， 求證：,back,35,學(xué)習(xí)交流PPT,E,F,back,36,學(xué)習(xí)交流PPT,思路分析：,找基面,找基面的垂線,作平面角,平面ABC,取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)PM,M,由己知AB2 = AC2 + BC2，ACB是直角,N,取AC的中點(diǎn)N，連結(jié)MN、PN,MNBC，ACBC，MNAC，由三垂線定理知PNAC,MNP就是二面角PACB的平面角,PA = PB = PC，PAMPCM PMAM，PMCM， PM平面ABC,連結(jié)CM，AM = BM = CM，,已知ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一點(diǎn),且PA=PB = PC = AC = 8, 求二面角PACB的平面角的正切值.,back,練 求正四面體的側(cè)面與底面所成的二面角的大??？,37,學(xué)習(xí)交流PPT,練 如圖，過點(diǎn)S作三條不共面的直線，使BSC=900，ASB= ASC=600，截取S