2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第3講 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)學(xué)案

1、第3講三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)板塊一知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí) 必備知識(shí)考點(diǎn)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì) 必會(huì)結(jié)論1函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為T(mén)，函數(shù)ytan(x)的最小正周期為T(mén).2正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是周期而正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半周期3三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為yAsinx或yAtanx的形式，而偶函數(shù)一般可化為yAcosxb的形式考點(diǎn)自測(cè)1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)ycosx在第一、二象限內(nèi)是減函數(shù)()(2)函數(shù)ysin是偶函數(shù)，最小正周期為.(

2、)(3)函數(shù)ysinx的對(duì)稱軸方程為x2k(kZ)()(4)函數(shù)ytanx在整個(gè)定義域上是增函數(shù)()答案(1)(2)(3)(4)2課本改編若函數(shù)f(x)cos2x，則f(x)的一個(gè)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.答案B解析由f(x)cos2x知遞增區(qū)間為，kZ，故只有B項(xiàng)滿足32018福建模擬函數(shù)f(x)sin的圖象的一條對(duì)稱軸是()Ax BxCx Dx答案C解析由xk，得xk，當(dāng)k1時(shí)，x.42018廈門(mén)模擬函數(shù)ysin1的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)是()A. B.C. D.答案B解析對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足2xk，解得x，kZ.當(dāng)k1時(shí)，x，y1.故選B.5課本改編函數(shù)ytan的定義域是()A

3、x BxCx Dx答案D解析ytantan，由xk，kZ，得xk，kZ.故選D.6函數(shù)y32cos的最大值為_(kāi)，此時(shí)x_.答案52k(kZ)解析函數(shù)y32cos的最大值為325，此時(shí)x2k(kZ)，即x2k(kZ)板塊二典例探究考向突破考向三角函數(shù)的定義域、值域例1(1)2018煙臺(tái)模擬函數(shù)y的定義域?yàn)?)A.B.(kZ)C.(kZ)DR答案C解析cosx0，得cosx，2kx2k，kZ.(2)函數(shù)y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為_(kāi)答案2解析0x9，x，sin1，故2sin2.即函數(shù)y2sin(0x9)的最大值為2，最小值為.所以最大值與最小值的和為2.本例(2)中的函數(shù)換為“y3s

4、inx2cos2x，x”，如何解答？解x，sinx.又y3sinx2cos2x3sinx2(1sin2x)22，當(dāng)sinx時(shí)，ymin；當(dāng)sinx或sinx1時(shí)，ymax2.故函數(shù)的最大值與最小值的和為2.本例(2)中的函數(shù)換為“ysinxcosxsinxcosx，x0，”，又該如何解答？解令tsinxcosx，又x0，tsin，t1，由tsinxcosx，得t212sinxcosx，即sinxcosx.原函數(shù)變?yōu)閥t，t1，即yt2t.當(dāng)t1時(shí)，ymax11；當(dāng)t1時(shí)，ymin11.故函數(shù)的最大值與最小值的和為110.觸類旁通三角函數(shù)定義域、值域的求解策略(1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造

5、簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，也可借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解(2)求解三角函數(shù)的值域(最值)，首先把三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)，或用換元法(令tsinx，或tsinxcosx)化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)(3)換元法的應(yīng)用：把sinx或cosx看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求給定區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題此時(shí)注意所換元的取值范圍【變式訓(xùn)練1】(1)函數(shù)y的定義域?yàn)?)A.B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案B解析由2sinx10，得sinx，所以2kx2k(kZ)(2)函數(shù)ycos，x的值域是_答案解析x，x，y.考向三角函數(shù)的單調(diào)性例2已知函數(shù)f(x)2

6、sin(0)的最小正周期為.(1)求的值；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性解(1)因?yàn)閒(x)2sin的最小正周期為，且0.從而有，故1.(2)因?yàn)閒(x)2sin.若0x，則2x.當(dāng)2x，即0x時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞減綜上可知，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減觸類旁通三角函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的解題策略(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中，0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“x”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解但如果0)在區(qū)間 上單調(diào)遞減，則有，即T，所以T，解得.所以的值可以是.故選A.(2)函數(shù)ysin的遞增區(qū)間是_答案(kZ)解析ysin，2k2x2k

7、kxk(kZ)考向三角函數(shù)的奇偶性、周期性及對(duì)稱性命題角度1三角函數(shù)的周期性與奇偶性例32018長(zhǎng)沙模擬設(shè)函數(shù)f(x)sin的最小正周期為，且是偶函數(shù)，則()Af(x)在內(nèi)單調(diào)遞減Bf(x)在內(nèi)單調(diào)遞減Cf(x)在內(nèi)單調(diào)遞增Df(x)在內(nèi)單調(diào)遞增答案A解析由條件，知2.因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，且|0,0，直線x和x是函數(shù)f(x)sin(x)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，則等于()A. B. C. D.答案A解析由題意得2，1，f(x)sin(x)，k(kZ)，k(kZ)又00)的形式2.函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為，ytan(x)的最小正周期為.3.對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域

8、、單調(diào)性、對(duì)稱性、最值等)可以通過(guò)換元的方法令tx，將其轉(zhuǎn)化為研究ysint的性質(zhì)滿分策略1.閉區(qū)間上最值或值域問(wèn)題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問(wèn)題，要討論參數(shù)對(duì)最值的影響2.要注意求函數(shù)yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間時(shí)的符號(hào)，盡量化成0時(shí)的情況3.三角函數(shù)的最值可能不在自變量區(qū)間的端點(diǎn)處取得，直接將兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值作為最值是錯(cuò)誤的.板塊三啟智培優(yōu)破譯高考數(shù)學(xué)思想系列4三角函數(shù)中的分類討論思想2018龍巖模擬已知函數(shù)f(x)2asinab的定義域是，值域是5,1，求a，b的值解題視點(diǎn)先求出2x的范圍，再求出sin的值域；系數(shù)a的正、負(fù)影響著f(x)的值，因而要分a0，a0或a0

9、時(shí)，解得當(dāng)a0或a0的分類討論，導(dǎo)致漏解.跟蹤訓(xùn)練已知a是實(shí)數(shù)，則函數(shù)f(x)1asinax的圖象不可能是()答案D解析當(dāng)a0時(shí)，f(x)1，即圖象C；當(dāng)0a1時(shí)，三角函數(shù)的最大值為1a2，即圖象A；當(dāng)a1時(shí)，三角函數(shù)的最大值為a1 2，且最小正周期為T(mén)0)的圖象的相鄰兩支截直線y1所得的線段長(zhǎng)為，則f的值是()A0 B. C1 D.答案D解析由條件可知，f(x)的周期是.由，得4，所以ftantan.5函數(shù)y2sin(x0，)的增區(qū)間是()A. B.C. D.答案C解析y2sin2sin，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，即函數(shù)的增區(qū)間為，kZ，當(dāng)k0時(shí)，增區(qū)間為.62018深圳模擬函

10、數(shù)ylogcosx的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間是()A(，0) B(0，) C. D.答案D解析首先應(yīng)保證cosx0；函數(shù)ylogcosx的單調(diào)減區(qū)間，即函數(shù)cosx的單調(diào)增區(qū)間.易知只有選項(xiàng)D符合.72018鄭州模擬如果函數(shù)y3sin(2x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則|的最小值為()A. B. C. D.答案A解析由題意，得sin1.所以k，即k(kZ)，故|min.8函數(shù)y2sin1，x的值域?yàn)開(kāi)，并且取最大值時(shí)x的值為_(kāi)答案1,1解析x，2x，sin0,1，y1,1當(dāng)2x時(shí)，即x時(shí)y取得最大值1.92018江蘇模擬函數(shù)ylg sin2x的定義域?yàn)開(kāi)答案解析由得3x或0x.函數(shù)ylg sin2x的定義域

11、為.10如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么|的最小值為_(kāi)答案解析依題意得3cos0，k，k(kZ)，所以|的最小值是.B級(jí)知能提升12017全國(guó)卷設(shè)函數(shù)f(x)cos，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()Af(x)的一個(gè)周期為2Byf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱Cf(x)的一個(gè)零點(diǎn)為xDf(x)在單調(diào)遞減答案D解析A項(xiàng)，因?yàn)閒(x)cos的周期為2k(kZ)，所以f(x)的一個(gè)周期為2，A項(xiàng)正確B項(xiàng)，因?yàn)閒(x)cos圖象的對(duì)稱軸為直線xk(kZ)，所以yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，B項(xiàng)正確C項(xiàng)，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，當(dāng)k1時(shí)，x，所以f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x，C項(xiàng)正確D

12、項(xiàng)，因?yàn)閒(x)cos的遞減區(qū)間為(kZ)，遞增區(qū)間為(kZ)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項(xiàng)錯(cuò)誤故選D.22018寧夏模擬已知0，函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是()A. B.C. D(0,2)答案A解析由x，0得，x，又ysinx在上遞減，所以解得.故選A.3已知函數(shù)f(x)cos，其中x，若f(x)的值域是，則m的最大值是_答案解析由x，可知3x3m，fcos，且fcos1，要使f(x)的值域是，需要3m，解得m，即m的最大值是.42018廣東模擬設(shè)函數(shù)f(x)tan.(1)求函數(shù)f(x)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式1f(x)的解集解(1)由k(kZ)，得x2k(kZ)，所以函數(shù)f(x)的定義域是.因?yàn)?，所以周期T2.由kk(kZ)，得2kx2k(kZ)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)(2)由1tan，得kk(kZ)解得2kx2k(kZ)所以不等式1f(x)的解集是.5已知函數(shù)f(x)sin(x)(01,0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(1)求，的值；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；