2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前專題五 立體幾何與空間向量 第1講 空間幾何體講學(xué)案 理

1、第1講空間幾何體1.以三視圖為載體，考查空間幾何體面積、體積的計(jì)算.2.考查空間幾何體的側(cè)面展開圖及簡(jiǎn)單的組合體問題.熱點(diǎn)一三視圖與直觀圖1一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖的下面，長(zhǎng)度與正(主)視圖的長(zhǎng)度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣即“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”2由三視圖還原幾何體的步驟一般先依據(jù)俯視圖確定底面再利用正(主)視圖與側(cè)(左)視圖確定幾何體例1(1)(2017屆南昌模擬)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是，(1,0,1)，繪制該四面體三視圖時(shí)，按照如下圖所示的方向畫正(主)視圖，則得

2、到側(cè)(左)視圖可以為()答案B解析將四面體放在正方體中，得到如圖四面體，得到如圖的側(cè)(左)視圖，故選B.(2)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，則這塊菜地的面積為_答案2解析如圖，在直觀圖中，過點(diǎn)A作AEBC，垂足為點(diǎn)E，則在RtABE中，AB1，ABE45，BE.而四邊形AECD為矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC1.由此可還原原圖形如圖所示在原圖形中，AD1，AB2，BC1，且ADBC，ABBC，這塊菜地的面積為S(ADBC)AB22.思維升華空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方

3、法得到的三個(gè)平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正(主)視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)(左)視圖進(jìn)行綜合考慮跟蹤演練1(1)(2017河北省武邑中學(xué)模擬)已知某錐體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖，則該錐體的俯視圖不可能是()答案D解析A項(xiàng)，該錐體是底面邊長(zhǎng)為2，高為的正四棱錐B項(xiàng)，該錐體為底面半徑為1，高為的圓錐C項(xiàng)，該錐體是底面為等腰直角三角形，高為的三棱錐D項(xiàng)，由于該圖形不滿足三視圖原則

4、“寬相等”，所以不可能是該錐體的俯視圖，故D項(xiàng)不符合題意故選D.(2)(2017衡陽聯(lián)考)如圖所示，三棱錐VABC的底面是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，側(cè)面VAC與底面ABC垂直，若以垂直于平面VAC的方向作為正(主)視圖的方向，垂直于平面ABC的方向?yàn)楦┮晥D的方向，已知其正(主)視圖的面積為2，則其側(cè)(左)視圖的面積是()A.B.C2D3答案B解析設(shè)三棱錐的高為h，ABBCa，則AC2a，S正(主)視圖2ah2h，S側(cè)(左)視圖ah.故選B.熱點(diǎn)二幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積和體積計(jì)算是高考中常見的一個(gè)考點(diǎn)，解決這類問題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要

5、掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則幾何體的技巧，把一個(gè)空間幾何體納入一個(gè)更大的幾何體中的補(bǔ)形技巧例2(1)(2017江西省贛中南五校聯(lián)考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為()A12 B18C24 D30答案C解析還原幾何體，該幾何體是由三棱柱ABCABC截去一個(gè)三棱錐DABC所得，如圖所示AC3，AB4，AA5，CAB90，所以幾何體的體積是V34534324，故選C.(2)(2017全國(guó))如圖，紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A90 B63 C

6、42 D36答案B解析方法一(割補(bǔ)法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱截去上面虛線部分所得如圖所示，將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V32432663.故選B.方法二(估值法)由題意知，V圓柱V幾何體V圓柱，又V圓柱321090，45V幾何體90.觀察選項(xiàng)可知只有63符合故選B.思維升華(1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個(gè)計(jì)算各個(gè)面的面積，然后求和(2)求簡(jiǎn)單幾何體的體積時(shí)若所給的幾何體為柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式求解；求組合體的體積時(shí)若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式

7、求解，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解；求以三視圖為背景的幾何體的體積時(shí)應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解跟蹤演練2(1)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A3 B4 C5 D6答案C解析從題目所提供的三視圖中的圖形信息與數(shù)據(jù)信息可知，該幾何體是底面分別是矩形與梯形且等高的兩個(gè)棱柱的組合體，V25，故選C.(2)(2017屆河南省豫北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為128，則該幾何體的表面積為()A1884 B208C104D45279答案B解析還原幾何體如圖所示，幾何體的體積是Va22a2aaa128，解得a2，而幾何體的表面積

8、是S2a22aaaa2，將a2代入，所以S208，故選B.熱點(diǎn)三多面體與球與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”)作出截面圖例3(1)(2017湛江模擬)底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)面是等邊三角形的四棱錐的外接球的體積為()A.B.C.D.答案B解析設(shè)四棱錐為PA

9、BCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PAPBPCPD1，設(shè)外接球的半徑為R，過P作PO1底面ABCD，垂足O1為正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，設(shè)球心為O，連接AO，由于AOPOR, AO1PO1，OO1R，在RtAOO1中，22R2，解得R，V球R33，故選B.(2)(2017屆咸陽二模)已知一個(gè)三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為_答案解析由題意可知，該三棱錐為正四面體，如圖所示AEABsin60，AOAE，DO，三棱錐的體積VDABCSABCDO，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則VDABCr，r，V內(nèi)切球r3.思維升華三棱錐PABC可通過補(bǔ)形為長(zhǎng)方體求解外接球問題的兩種情形

10、(1)點(diǎn)P可作為長(zhǎng)方體上底面的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C可作為下底面的三個(gè)頂點(diǎn)(2)PABC為正四面體，則正四面體的棱都可作為一個(gè)正方體的面對(duì)角線跟蹤演練3(1)九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就書中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，若某“陽馬”的三視圖如圖所示(單位： cm)，則該“陽馬”的外接球的體積為()A100cm3B. cm3C400cm3D. cm3答案B解析由三視圖可知，在長(zhǎng)、寬、高分別為6,2，6的長(zhǎng)方體中，該幾何體為如圖所示的PABCD，設(shè)該幾何體外接球的半徑為R，由題意可知，226262，解得R5，該“陽馬

11、”的外接球的體積為VR3(cm3)故選B.(2)(2017屆石家莊質(zhì)檢)四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，且PAPBPCPD，若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是()A6 B5 C.D.答案D解析由題意知，四棱錐PABCD是正四棱錐，球的球心O在四棱錐的高PH上，過正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖，其中PE，PF是斜高，G為球面與側(cè)面的切點(diǎn)設(shè)PHh，易知RtPGORtPHF，所以，即，解得h，故選D.真題體驗(yàn)1(2017北京改編)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為_答案2解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長(zhǎng)棱由三

12、視圖可知，正方體的棱長(zhǎng)為2，故SD2.2(2017天津)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為_答案解析設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則6a218，a.設(shè)球的半徑為R，則由題意知2R3，R.故球的體積VR33.3(2017全國(guó))已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_答案36解析如圖，連接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC為球O的直徑知，OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC知，OA平面SCB.設(shè)球O的半徑為r

13、，則OAOBr，SC2r，三棱錐SABC的體積VSCOBOA，即9，r3，S球表4r236.4(2017江蘇)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_答案解析設(shè)球O的半徑為R，球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R.押題預(yù)測(cè)1一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為()A16 B88C228 D448押題依據(jù)求空間幾何體的表面積或體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考命題的熱點(diǎn)此類題常以三視圖為載體，給出幾何體的特征，求幾何體的表面積或體積答案D解析由三視

14、圖知，該幾何體是底面邊長(zhǎng)為2的正方形，高PD2的四棱錐PABCD，因?yàn)镻D平面ABCD，且四邊形ABCD是正方形，易得BCPC，BAPA，又PC2，所以SPCDSPAD222，SPABSPBC222.所以幾何體的表面積為448.2在正三棱錐SABC中，點(diǎn)M是SC的中點(diǎn)，且AMSB，底面邊長(zhǎng)AB2，則正三棱錐SABC的外接球的表面積為()A6 B12C32 D36押題依據(jù)靈活運(yùn)用正三棱錐中線與線之間的位置關(guān)系來解決外接球的相關(guān)問題，是高考的熱點(diǎn)答案B解析因?yàn)槿忮FSABC為正三棱錐，所以SBAC，又AMSB，ACAMA，所以SB平面SAC，所以SBSA，SBSC，同理SASC，即SA，SB，SC

15、三線兩兩垂直，且AB2，所以SASBSC2，所以(2R)232212，所以球的表面積S4R212，故選B.3已知半徑為1的球O中內(nèi)接一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的體積與圓柱的體積的比值為_押題依據(jù)求空間幾何體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)問題之一，主要是求柱體、錐體、球體或簡(jiǎn)單組合體的體積本題通過球的內(nèi)接圓柱，來考查球與圓柱的體積計(jì)算，設(shè)問角度新穎，值得關(guān)注答案解析如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的側(cè)面積為S2r24r42(當(dāng)且僅當(dāng)r21r2，即r時(shí)取等號(hào))所以當(dāng)r時(shí)，.A組專題通關(guān)1如圖所示，將圖(1)中的正方體截去兩個(gè)三棱錐，得到圖(2)中的幾何體，則該幾何體的

16、側(cè)(左)視圖為()答案B解析由所截幾何體可知，F(xiàn)C1被平面AD1E遮擋，可得B選項(xiàng)圖2某三棱錐的三視圖如圖所示，正(主)視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，則該三棱錐中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為()A2B2C2D.答案B解析由三視圖，將幾何體還原在邊長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)，如圖所示根據(jù)圖可知，三棱錐中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)是正方體的體對(duì)角線對(duì)應(yīng)的棱，棱長(zhǎng)為2.故選B.3(2017全國(guó))某多面體的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖和側(cè)(左)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A10 B12C14 D16答案B解析觀察三視圖可知，該多面

17、體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2.三棱錐的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示因此該多面體各個(gè)面中有兩個(gè)梯形，且這兩個(gè)梯形全等，梯形的上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，高為2，故這兩個(gè)梯形的面積之和為2(24)212.故選B.4(2017屆四川省瀘州市四診)某幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖(1)所示，它的俯視圖的直觀圖是ABC，如圖(2)所示，其中OAOB2，OC，則該幾何體的表面積為()A3612B248C2412D368答案C解析由圖(2)可知，該幾何體的俯視圖是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為2的等腰三角形，即該三角形為等邊

18、三角形，在如圖所示的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)、寬、高分別為4,2，6，三視圖還原為幾何體是圖中的三棱錐PABC，且SPABSPBC4612, SABC424，PAC是腰長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為4的等腰三角形，SPAC8.綜上可知，該幾何體的表面積為212482412.故選C.5(2017深圳調(diào)研)已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1，球O與該正方體的各個(gè)面相切，則平面ACB1截此球所得的截面的面積為()A.B.C.D.答案D解析因?yàn)榍蚺c各面相切，所以直徑為2，且AC，AB1，CB1的中點(diǎn)在所求的切面圓上，所以所求截面為此三點(diǎn)構(gòu)成的邊長(zhǎng)為的正三角形的外接圓，由正弦定理知，R，所以截面的面積S，故選D.6(2

19、017江西省贛中南五校聯(lián)考)已知三棱柱ABCABC的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB2，AC1，BAC60，則此球的表面積是()A2 B4C8 D10答案C解析根據(jù)余弦定理可知，BC，則ACB90，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是斜邊AB，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)O為三棱柱外接球的球心，設(shè)三棱柱的高為h，V1h，解得h2，R2OA222，代入可得R2112，所以此球的表面積為S4R28，故選C.7(2017屆石家莊模擬)三棱錐SABC中，側(cè)棱SA底面ABC, AB5, BC8, B60，SA2，則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B.C. D.答案B解析由題意知，側(cè)棱SA底

20、面ABC, AB5，BC8，B60，則根據(jù)余弦定理可得AC7, ABC的外接圓圓心2r，r，三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離dSA，則外接球的半徑R，則該三棱錐的外接球的表面積為S4R2.8如圖所示，圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為_答案解析由題知，旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是一圓臺(tái)去掉一個(gè)半球，其中圓臺(tái)的體積為V(2252)4，半球的體積V23，則所求體積為.9體積為的正四棱錐SABCD的底面中心為O，SO與側(cè)面所成角的正切值為，那么過SABCD的各頂點(diǎn)的球的表面積為_答案16解析如圖，取AB的中點(diǎn)為F，連接SF，過點(diǎn)O作OGSF，則OSG為SO與側(cè)面所成的角，且tanOS

21、G.設(shè)AB2a，則SOa，所以4a2a，得a.延長(zhǎng)SO交外接球于E，則EBSB，由OB2SOOE，得42(2R2)，所以R2，S42216.10(2017屆馬鞍山模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_答案解析如圖所示，三視圖還原為幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體中的組合體ABCDEF，將其分割為四棱錐BCDEF和三棱錐EABD，其中，VBCDEF22, VEABD2，所以該幾何體的體積V2 .11.如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為線段A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是線段A1D與BC1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三棱錐EFGC的俯視圖的面積最大時(shí)，該三棱錐的正(主)視圖的面積是_

22、答案2解析由題意知，E點(diǎn)在底面的射影E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)在底面的射影F在AD上，G點(diǎn)在底面的射影G在BC上，三棱錐EFGC的俯視圖的面積是以EC為底邊，F(xiàn)，G到EC的距離和為高的三角形的面積，又EC為定值，所以當(dāng)F點(diǎn)與D點(diǎn)重合，G點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)面積最大，此時(shí)正(主)視圖的面積為222.12已知三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且AB，BC，AC2，則此三棱錐外接球的表面積是_答案8解析如圖PA, PB, PC兩兩垂直，設(shè)PCh，則PB，PA，PA2PB2AB2，4h27h25，解得h，在三棱錐PABC中，PA, PB, PC兩兩垂直，且PA1, PB2，PC，以PA, PB, PC為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，則這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐PABC的外接球，由題意可知，這個(gè)長(zhǎng)方體的中心是三棱錐的外接球的球心，三棱錐的外接球的半徑為R，外接球的表面積為S4R2428.B組能力提高13四棱錐PABCD的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積為()A.B.C.D.答案C解析根據(jù)三視圖還原幾何體為一個(gè)四棱錐PABCD，平面PAD平面ABCD，由于PAD為等腰三角形，PAPD3，AD4，四邊形ABCD為矩形，CD2，過PAD的外心F作平面PAD的垂線，過矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂線，兩條垂線交于一點(diǎn)O，O為四棱錐外接球的球心，在三角形PAD中