高三數學大一輪復習 9.6雙曲線教案 理 新人教A版

1、9.6雙曲線2014高考會這樣考1.考查雙曲線的定義、標準方程和幾何性質；2.考查直線與雙曲線的位置關系，考查數形結合思想的應用復習備考要這樣做1.熟練掌握雙曲線的定義和標準方程，理解雙曲線的基本量對圖形、性質的影響；2.理解數形結合思想，掌握解決直線與雙曲線問題的通法1 雙曲線的概念平面內動點P與兩個定點F1、F2(|F1F2|2c0)的距離之差的絕對值為常數2a (2a0，c0：(1)當ac時，P點不存在2 雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程1 (a0，b0)1(a0，b0)圖形性質范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)A1

2、(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中c實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫做雙曲線的半實軸長，b叫做雙曲線的半虛軸長a、b、c的關系c2a2b2 (ca0，cb0)難點正本疑點清源1 雙曲線的定義用代數式表示為|MF1|MF2|2a，其中2a|F1F2|，這里要注意兩點：(1)距離之差的絕對值(2)2a0，b0)的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質都表示雙曲線張口的大小1 (2012天津)已知雙曲線C1：1(a0，b0)與雙曲線C2：1有相同的漸近線，且C1的

3、右焦點為F(，0)，則a_，b_.答案12解析與雙曲線1有共同漸近線的雙曲線的方程可設為，即1.由題意知c，則4165，則a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.2 (2012江蘇)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線1的離心率為，則m的值為_答案2解析c2mm24，e25，m24m40，m2.3 (2012遼寧)已知雙曲線x2y21，點F1，F2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1PF2，則|PF1|PF2|的值為_答案2解析設P在雙曲線的右支上，|PF1|2x，|PF2|x(x0)，因為PF1PF2，所以(x2)2x2(2c)28，所以x1，x21，所以|PF2|PF1|2.4 若

4、雙曲線1 (a0，b0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為 ()A. B5 C. D2答案A解析焦點(c,0)到漸近線yx的距離為b，則由題意知b2a，又a2b2c2，5a2c2，離心率e.5 (2012課標全國)等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y216x的準線交于A，B兩點，|AB|4，則C的實軸長為 ()A. B2 C4 D8答案C解析設C：1.拋物線y216x的準線為x4，聯立1和x4得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4.C的實軸長為4.題型一求雙曲線的標準方程例1(1)(2011山東)已知雙曲線1 (a0，b0)和橢圓1有相同的焦點

5、，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為_(2)與雙曲線x22y22有公共漸近線，且過點M(2，2)的雙曲線方程為_思維啟迪：設雙曲線方程為1，求雙曲線方程，即求a、b，為此需要關于a、b的兩個方程，由題意易得關于a、b的兩個方程；也可根據雙曲線的定義直接確定a、b、c.答案(1)1(2)1解析(1)橢圓1的焦點坐標為F1(，0)，F2(，0)，離心率為e.由于雙曲線1與橢圓1有相同的焦點，因此a2b27.又雙曲線的離心率e，所以，所以a2，b2c2a23，故雙曲線的方程為1.(2)設與雙曲線y21有公共漸近線的雙曲線方程為y2k，將點(2，2)代入得k(2)22.雙曲線的標準方

6、程為1.探究提高求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數法具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據a，b，c，e及漸近線之間的關系，求出a，b的值如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為 (0)，再由條件求出的值即可 求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)虛軸長為12，離心率為；(2)焦距為26，且經過點M(0,12)解(1)設雙曲線的標準方程為1或1 (a0，b0)由題意知，2b12，e.b6，c10，a8.雙曲線的標準方程為1或1.(2)雙曲線經過點M(0,12)，M(0,12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a12.

7、又2c26，c13.b2c2a225.雙曲線的標準方程為1.題型二雙曲線的幾何性質例2中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F2，且|F1F2|2，橢圓的長半軸長與雙曲線半實軸長之差為4，離心率之比為37.(1)求這兩曲線方程；(2)若P為這兩曲線的一個交點，求cosF1PF2的值思維啟迪：(1)分別設出橢圓方程為1 (ab0)，雙曲線方程為1 (m0，n0)(2)由已知條件分別求出a、b、m、n的值(3)利用橢圓與雙曲線定義及余弦定理求出cosF1PF2.解(1)由已知：c，設橢圓長、短半軸長分別為a、b，雙曲線半實、虛軸長分別為m、n，則，解得a7，m3.b6，n2.

8、橢圓方程為1，雙曲線方程為1.(2)不妨設F1、F2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，則|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.探究提高在研究雙曲線的性質時，半實軸、半虛軸所構成的直角三角形是值得關注的一個重要內容；雙曲線的離心率涉及的也比較多由于e是一個比值，故只需根據條件得到關于a、b、c的一個關系式，利用b2c2a2消去b，然后變形求e，并且需注意e1. (1)(2012大綱全國)已知F1、F2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點，點P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2()A. B. C.

9、D.(2)(2011浙江)已知橢圓C1：1 (ab0)與雙曲線C2：x21有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則 ()Aa2 Ba213Cb2 Db22答案(1)C(2)C解析(1)由x2y22知，a22，b22，c2a2b24，a，c2.又|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|，|PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|2c4，由余弦定理得cosF1PF2.(2)由題意知，a2b25，因此橢圓方程為(a25)x2a2y25a2a40，雙曲線的一條漸近線方程為y2x，聯立方程消去y，得(5a25)x25a2a40，直線截橢

10、圓的弦長d2a，解得a2，b2.題型三直線與雙曲線的位置關系例3過雙曲線1的右焦點F2，傾斜角為30的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，F1為左焦點(1)求|AB|；(2)求AOB的面積思維啟迪：寫出直線方程，然后與雙曲線方程聯立組成方程組，消去y得關于x的一元二次方程，利用弦長公式求|AB|；求O到直線的距離，代入面積公式得AOB的面積(1)解由雙曲線的方程得a，b，c3，F1(3,0)，F2(3,0)直線AB的方程為y(x3)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x26x270.x1x2，x1x2.|AB|x1x2|.(2)解直線AB的方程變形為x3y30.原點O到直線AB的距

11、離為d.SAOB|AB|d.探究提高雙曲線的綜合問題主要是直線與雙曲線的位置關系問題解決這類問題的常用方法是設出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉化成關于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數的關系及整體代入的思想解題設直線與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，直線的斜率為k，則|AB|x1x2|. 已知橢圓C1的方程為y21，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且2(其中O為原點)，求k的取值范圍解(1)設雙曲

12、線C2的方程為1 (a0，b0)，則a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故C2的方程為y21.(2)將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點，得，k2且k22，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范圍為.忽視“判別式”致誤典例：(12分)已知雙曲線x21，過點P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A、B兩點，且點P是線段AB的中點？易錯分析由于“判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點的重要方法，在解決直線與圓錐曲線相交的問題時，有時不需要考慮判別式，致使有的考生思維定勢的原因，任何情況下都沒有考慮判別式

13、，導致解題錯誤規(guī)范解答解設點A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段AB的中點為(x0，y0)，若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意2分設經過點P的直線l的方程為y1k(x1)，即ykx1k.3分由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220 (2k20)6分x0.由題意，得1，解得k2.8分當k2時，方程成為2x24x30.162480，b0)有公共漸近線的雙曲線的方程可設為t (t0)2 已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標準方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程0就是雙曲線1 (a0，b0)的兩條漸近線方程失誤與防范1 區(qū)分雙曲線中的a，b，c

14、大小關系與橢圓中的a，b，c大小關系，在橢圓中a2b2c2，而在雙曲線中c2a2b2.2 雙曲線的離心率e(1，)，而橢圓的離心率e(0,1)3 雙曲線1 (a0，b0)的漸近線方程是yx，1 (a0，b0)的漸近線方程是yx.4 若利用弦長公式計算，在設直線斜率時要注意說明斜率不存在的情況5 直線與雙曲線交于一點時，不一定相切，例如：當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交于一點，但不是相切；反之，當直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (2012湖南)已知雙曲線C：1的焦距為10，點P(2，1

15、)在C的漸近線上，則C的方程為 ()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析1的焦距為10，c5.又雙曲線漸近線方程為yx，且P(2,1)在漸近線上，1，即a2b.由解得a2，b，故應選A.2 (2012福建)已知雙曲線1的右焦點為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.答案C解析由雙曲線中a，b，c的關系c2a2b2，得32a25，a24.e.3 設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由題意知橢圓C1的焦點坐標為F1(5,0)，F2(5,

16、0)，設曲線C2上的一點P，則|PF1|PF2|8.由雙曲線的定義知：a4，b3.故曲線C2的標準方程為1.4 (2011課標全國)設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為 ()A. B.C2 D3答案B解析設雙曲線的標準方程為1(a0，b0)，由于直線l過雙曲線的焦點且與對稱軸垂直，因此直線l的方程為l：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y，故|AB|，依題意4a，2，e212，e.二、填空題(每小題5分，共15分)5 已知中心在原點的雙曲線C，過點P(2，)且離心率為2，則雙曲線C的標準方程為_答案1或1解析雙

17、曲線C的離心率為2，2，可設雙曲線C的標準方程為1或1，把P(2，)代入得，a23或a2，所求雙曲線C的標準方程為1或1.6 雙曲線mx2y21的虛軸長是實軸長的2倍，則m_.答案解析由題意知a21，b2，則a1，b. 2，解得m.7 已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內角為60，則雙曲線C的離心率為_答案解析如圖，B1F1B260，則cb，即c23b2，由c23(c2a2)，得，則e.三、解答題(共22分)8 (10分)已知橢圓D：1與圓M：x2(y5)29，雙曲線G與橢圓D有相同焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程解橢圓D的兩個焦點為F1(5,

18、0)，F2(5,0)，因而雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，且c5.設雙曲線G的方程為1 (a0，b0)，漸近線方程為bxay0且a2b225，又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r3.3，得a3，b4，雙曲線G的方程為1.9 (12分)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為，且過點P(4，)(1)求雙曲線方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：0；(3)求F1MF2的面積(1)解e，可設雙曲線方程為x2y2.過點P(4，)，1610，即6.雙曲線方程為x2y26.(2)證明方法一由(1)可知，雙曲線中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，k

19、MF1kMF2.點(3，m)在雙曲線上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2，0.方法二(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2.M點在雙曲線上，9m26，即m230，0.(3)解F1MF2的底|F1F2|4，由(2)知m.F1MF2的高h|m|，SF1MF246.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 設雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為 ()A. B.C. D.答案D解析設雙曲線方程為1(a0，b0)，如圖所示，雙曲線的一條漸近線方程為yx，而k

20、BF，()1，整理得b2ac.c2a2ac0，兩邊同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)，故選D.2 已知點F是雙曲線1 (a0，b0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若ABE是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是 ()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2，)答案D解析根據雙曲線的對稱性，若ABE是鈍角三角形，則只要0BAE|EF|就能使BAEac，即b2a2ac，即c2ac2a20，即e2e20，得e2或e1，故e2.故選D.3 若點O和點F(2,0)分別為雙曲線y21 (a0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為 ()A32，) B32，)C. D.答案B解析由a214，得a，則雙曲線方程為y21.設點P(x0，y0)，則y1，即y1.x0(x02)yx2x012，x0，故的取值范圍是32，)，故選B.二、填空題(每小題5分，共15分)4 (2012重慶)設P為直線yx與雙曲線1 (a0，b0)左支的交點，F1是左焦點，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e_.答案解析直線yx與雙曲線1相交，由消去y得x，又PF1垂直于x軸，c，即e.5 設點F1，F2是雙曲線x21的兩個焦點，點P是雙曲線上一點，若3|PF1|4|PF2|，則PF1F2的面積為