高中數(shù)學(xué)集合的含義與表示 知識探討（通用）

1、集合的含義與表示 知識探討合作與討論一、如何理解集合的概念？集合如同平面幾何中點(diǎn)、線、平面等概念一樣，是集合論中的原始概念，只進(jìn)行描述說明，無法定義概念教材中對集合的描述是：“指定的某些對象的全體稱為集合”應(yīng)抓住“指定”“對象”“全體”三點(diǎn)加以全面理解1“指定”即說明“某些對象”具有共同的特征或共同的屬性，說明已具備判定對象是否成為該集合的元素的判定標(biāo)準(zhǔn)，而不是隨意組合2“對象”在不同的集合中，應(yīng)有不同的內(nèi)涵在不同的集合中元素還可能是人、物、質(zhì)點(diǎn)或抽象事物等等3“全體”說明集合是一個整體概念，針對全部對象而言，并且在這個整體中各元素間無先后排列要求、沒有一定順序關(guān)系4元素與集合的關(guān)系有且僅有兩

2、種：屬于（用符號表示）和不屬于（用符號符號表示）如21，2，3，41，2，3，11，2，3，而11，2，35集合具有兩個方面的意義：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就一定符合條件二、集合中元素的三大特征是什么？應(yīng)如何理解？我們知道集合元素必具備：確定性、互異性、無序性，否則不能構(gòu)成集合1確定性：對于一個給定的集合，它的元素的意義應(yīng)當(dāng)是明確的依照元素公有的特征標(biāo)準(zhǔn)，可以明確地判定某一對象是這個集合的元素或不是這個集合的元素，二者必居其一，不會模棱兩可例如“我們班的高個子同學(xué)”就不具備確定性；因?yàn)榻M成集合的標(biāo)準(zhǔn)不明確身高多少時算“高個子”？再如“著名科學(xué)家”“較大的數(shù)”“宇宙中的星體

3、”等，都不能組成集合，原因是各對象間找不出公共特征、屬性，即元素的“指定” 2互異性：一個給定集合的元素之間必須是互異的，即一個集合中的任兩個元素（對象）應(yīng)該是不同的，相同對象在構(gòu)成集合時只能作為一個元素出現(xiàn)在集合中如方程（x1）2（x2）0的根為：，x21，而該方程的解集記為1，2，而不能記為1，2，3反過來，如1，1，a2表示一個集合，則其中3無序性：構(gòu)成集合的元素間無先后順序之分如1，2，3，4與4，1，2，3表示同一個集合在構(gòu)成集合時元素需同時具備以上三個特征，缺一不可 三、集合三種表示方法的要求有哪些？何時選用列舉法、描述法、韋恩圖法？1列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，置于大括號

4、內(nèi)諸元素x1，x2，xn構(gòu)成的集合記為x1，x2，xn在使用列舉法時應(yīng)注意以下四點(diǎn)：（1）元素間用分隔號“，”；（2）元素不重復(fù)；（3）不考慮元素順序；（4）對于含元素較多的集合，如果構(gòu)成該集合的元素具有明顯的規(guī)律，可用列舉法表示，但是必須把元素間的規(guī)律呈現(xiàn)出來后，才能用省略號表示，如N*1，2，3，n，1，3，5，7，9列舉法適用于表示元素個數(shù)較少的集合，對于元素個數(shù)較多甚至有無窮多個元素的集合，一般不便于用列舉法表示但對于一些元素經(jīng)適當(dāng)排列后有規(guī)律的數(shù)集，也可以用列舉法表示2描述法：選用代表元素和借助元素公有的確定條件來表示集合形如xAP（x）或公有屬性，其中x為該集合中元素的代號，它表明

5、了該集合中的元素是“什么”；A是特定條件；P（x）為該集合中元素特有的公共屬性、特征在使用描述法時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）寫清元素代號；（2）說清集合中元素的特性；（3）文字表述多層次時，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”“或”；（4）所有描述的內(nèi)容都寫在集合括號內(nèi)；（5）語句力求簡明、確切，字句逐一說明3列舉法、描述法的書寫及讀法：分類符號應(yīng)用舉例讀法列舉法，x1，x2，xn諸元素x1，x2，xn構(gòu)成的集合描述法1xAP（x）使P（x）為真的A中諸元素集合4圖示法韋恩圖法采用平面上一條封閉曲線的內(nèi)部表示集合如，用韋恩圖表示為：表示集合的圖形的形狀、大小與集合的性質(zhì)沒有任何關(guān)系，它僅僅把集合中的元素都包括在內(nèi)，

6、從而體現(xiàn)“整體”韋恩圖可直觀地表示集合，幫助我們理解、分析問題，但不能作為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)工具使用上述的集合表示法各有特點(diǎn)，根據(jù)不同的情況，可選撣適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯?，而且表示法之間有時可以相互轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵在于正確理解集合語言、文字語言、圖形語言間的轉(zhuǎn)換，這標(biāo)志著一個學(xué)生的理解能力的高低其三者關(guān)系如下圖：四、如何理解空集？1中含有什么在集合中含有什么樣的元素？什么也沒有空集的定義就是：不含任何元素的集合由集合的一般定義，集合中要有“指定的元素（對象）”，空集既然也是集合，指定對象哪里去了呢？里邊沒有元素它還叫集合嗎？由此可見，在這個地方存在矛盾，因此空集的定義不應(yīng)包含在一般情況中，而是專門作了特殊規(guī)定正

7、如一些其他同類問題一樣，我們也規(guī)定存在一個沒有元素的集合它不同于其他普遍意義下的集合，是單為運(yùn)算的簡化、統(tǒng)一和表達(dá)的需要而引進(jìn)的特殊記號只要有集合的地方，就會有它的應(yīng)用，和其他集合不同，它不含有任何元素你說0是空集嗎？不對，它不是空集，它的內(nèi)部已經(jīng)有元素0了2和是什么關(guān)系是不含任何元素的集合是只含有一個元素的單元素集雖然中沒有元素，但作為集合來說，是含有一個元素的，所以其次，在后面的學(xué)習(xí)中將規(guī)定：“空集是任何集合的子集”，所以上面已經(jīng)指出，是非空集合，根據(jù)“空集是任何非空集合的真子集”，又可得出由此可見，這里有一個有趣的現(xiàn)象，在與之間，我們可用四個符號、中的任意一個把它們連結(jié)起來，但不能用等號連結(jié)五、列舉法、描述法的優(yōu)劣及使用要求本小節(jié)列舉法和描述法所使用的集合的記法，依據(jù)的是新國家標(biāo)準(zhǔn)，有如下的規(guī)定：符號，1應(yīng)用x1，x2，xnxAP（x）意義或讀法諸元素x1，x2，xn構(gòu)成集使命題P