第6章結構位移計算.ppt

1、第六章 結構位移計算,6-1 概述,6-2 變形體系的虛功原理,6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法,6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算,6-5 圖乘法,6-6 靜定結構溫度變化時的位移計算,6-7 靜定結構支座移動時的位移計算,6-8 線彈性結構的互等定理,6-9 空間剛架的位移計算公式,6-1 概述,變形：結構形狀的改變。,位移：結構各處位置的移動。,線段AAA點的線位移，計為A。,截面A轉動的角度截面A的角位移， 計為A。,A可用水平分量Ax和豎向分量 Ay 表示。,6-1 概述,截面A的角位移（順時針方向）,截面B的角位移（逆時針方向）,截面A、B的相對角位移,C點水平線位移（向

2、右）,D點水平線位移（向左）,C、D兩點的水平相對線位移,產生位移的原因：荷載 溫度改變 支座移動 材料收縮 制造誤差,6-1 概述,計算結構位移的目的,（1）為了校核結構的剛度。 （2）結構的施工中，也需要結構的位移。,（3）為分析靜定結構打下基礎。 （4）結構的動力計算和穩(wěn)定計算中，需要計算結構的位移。,圖示結構進行懸臂拼裝時，由于自重及吊車等荷載作用，產生位移fA。必須先計算fA，以便采用相應措施，確保施工安全和拼裝就位。,6-2 變形體系的虛功原理,變形體系的虛功原理： 變形體系處于平衡的必要和充分條件是，對于任何虛位移，外力所做虛功總和等于各微段上的內力在其變形上所作的虛功總和，簡單

3、地說，外力虛功等于變形虛功。,位移狀態(tài)與 力狀態(tài)無關,虛位移必須是微小的,6-2 變形體系的虛功原理,外力虛功W：整個結構所有外力（荷載與支座反力）在其 相應的虛位移上所作虛功的總和。,變形虛功WV：所有微段兩側截面上的內力在微段的變形上 所作虛功的總和，也稱為內力虛功或虛應變能。,略去高階微量，微段上各力在其變形上所作虛功為：,對整個結構有：,虛功方程為：,6-2 變形體系的虛功原理,虛功原理的應用,虛位移原理： 對于給定的力狀態(tài)，虛設一個位移狀態(tài)，利 用虛功方程求解力狀態(tài)中的未知力。,虛力原理： 對于給定的位移狀態(tài)，虛設一個力狀態(tài)，利用 虛功方程求解位移狀態(tài)中的位移。,6-3 位移計算的一

4、般公式 單位荷載法,圖a所示結構由于荷載、溫度變化及支座移動引起了變形，求K點沿任一指定方向kk的位移K。,虛設力狀態(tài)如圖b，使力狀態(tài)的外力能在位移狀態(tài)的K 上作虛功。,外力虛功為,變形虛功為,由虛功原理,平面桿件結構位移計算一般公式,設 FK=1,單位荷載法,6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法,圖a為求A點水平位移時的虛擬狀態(tài),圖b為求A截面轉角時的虛擬狀態(tài),圖c為求A、B兩點在其連線上相對線位移時的虛擬狀態(tài),圖d為求A、B兩個截面相對轉角時的虛擬狀態(tài),廣義位移： 線位移、角位移、相對線位移、相對角位移、某一組位移的統(tǒng)稱。,廣義力： 集中力、力偶、一對集中力、一對力偶、某一力系的統(tǒng)稱。,

5、6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法,求圖a所示桁架AB桿的角位移。,在位移微小的前提下，桁架桿件的角位移=其兩端在垂直于桿軸方向上的相對線位移除以桿長，如圖b。,AB桿的角位移,荷載所做的虛功,6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法,6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算,計算對象：線彈性結構，位移與荷載成正比，應力與應變符合 胡克定律。,求圖a所示結構K點的豎向位移KP。位移計算公式為,虛擬狀態(tài)如圖b所示。由材料力學,k剪切變形的 改正系數(shù),平面桿件結構在荷載作用下的位移計算公式為：,梁和剛架（受彎桿件）的位移計算公式為：,桁架（只有軸力）的位移計算公式為：,組合結構（受彎桿件+鏈桿）的

6、位移計算公式為：,6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算,例6-1 試求圖a所示剛架A點的豎向位移Ay。各桿的材料相 同，截面的I、A均為常數(shù)。,解：（1）虛擬狀態(tài)如圖b，各桿內力為,AB段：,BC段：,（2）實際狀態(tài)中，各桿內力為,AB段：,BC段：,（3）代入位移計算公式,6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算,（4）討論,上式中：第一項為彎矩的影響，第二、三項分別為軸力、剪力的影響。,設：桿件截面為矩形，寬度為b、高度為h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5,截面高度與桿長之比h/l愈大，軸力和剪力影響所占比重愈大。,當h/l=1/10，G=0.4E時，計算得,此時軸力和剪力的影響不

7、大，可以略去。,6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算,例6-2 試求圖a所示等截面圓弧曲梁B點的水平位移Bx。設 梁的截面厚度遠小于其半徑R。,解：近似采用直桿的位移計算公式，只考慮彎 矩影響。實際狀態(tài)中的截面彎矩為,虛擬狀態(tài),虛擬狀態(tài)如圖b，截面彎矩為,代入位移計算公式，可得,6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算,例6-3 試求圖a所示對稱桁架結點D的豎向位移D。圖中右半 部各括號內數(shù)值為桿件的截面面積A（10-4m2）， E=210GPa。,解：實際狀態(tài)各桿內力 如圖a（左半部）。,虛擬狀態(tài)各桿內力如圖b（左半部）。,注意桁架桿件軸力是正對稱的,6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算,

8、6-5 圖乘法,梁和剛架在荷載作用下的位移計算公式為,公式中的積分運算比較麻煩，當結構中各桿段滿足下列條件時：,計算可以簡化,如圖：ds用dx代替， EI可提到積分號外。,tan為常數(shù),6-5 圖乘法,MP圖中陰影的微分面積,微分面積對y軸的靜矩,AMP圖的面積； xC形心C到y(tǒng)軸的距離。,圖乘法,6-5 圖乘法,如結構上所有各桿段均可圖乘，則位移計算公式可寫為,應用圖乘法時，應注意下列各點： （1）必須符合上述前提條件。 （2）豎標yC只能取自直線圖形。 （3）A與yC若在桿件的同側則乘積取正號，異側則取負號。,6-5 圖乘法,常用簡單圖形的面積和形心,6-5 圖乘法,兩個梯形相乘時： 將M

9、P圖分解為兩個三角形（或一個矩形和一個三角形）。,兩個圖的豎標a、b或c、d不在基線同一測時：可分解為位于基線兩側的兩個三角形，在進行圖乘。,6-5 圖乘法,均布荷載作用下的任何一段直桿： 彎矩圖=一個梯形+一個標準拋物線圖形如圖a。,圖a的彎矩圖與圖b所示相應簡支梁的彎矩圖是相同的，由此可以很方便地進行圖乘。,6-5 圖乘法,yC所在圖形是折線圖形時，應分段圖乘。如圖所示。,桿件為變截面直桿時，應分段圖乘。如圖所示。,6-5 圖乘法,例6-4 試求圖a所示剛架C、D兩點的距離改變。設EI=常數(shù)。,解：實際狀態(tài)彎矩圖如圖b所示。,虛擬狀態(tài)如圖c所示。,由圖乘法，可得,6-5 圖乘法,例6-5

10、試求圖a所示剛架A點的豎向位移Ay，并勾繪剛架的 變形曲線。,解：實際狀態(tài)彎矩圖如圖b所示。 虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖c所示。,根據實際狀態(tài)彎矩圖，判定桿件變形后的凸凹方向。,6-5 圖乘法,例6-6 試求圖a所示外伸梁C點的豎向位移Cy，梁的EI=常數(shù)。,解：實際狀態(tài)彎矩圖如圖b所示。 虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖c所示。,將AB段的彎矩圖分解為一個三角形和一個標準二次拋物線圖形。 由圖乘法得,6-5 圖乘法,例6-7 圖a為一組合結構，試求D點的豎向位移Dy。,6-6 靜定結構溫度變化時的位移計算,試求圖a所示結構由于溫度變化產生的K點的豎向位移Kt。為材料的線膨脹系數(shù)。,桿軸線處的溫度變化為,對于桿件結

11、構溫度變化不引起剪切變形，t=0。,桿件截面對稱于形心軸,將溫度變化引起的微段變形代入位移計算公式可得,若各桿為等截面桿,對于桁架,對于桁架由于桿件制造誤差,6-6 靜定結構溫度變化時的位移計算,例6-8 圖a所示剛架施工時溫度為20，試求冬季當外側溫度為 -10 ，內側溫度為0 時A點的豎向位移Ay。已知 l=4m，=10-5 -1，各桿均為矩形截面，高度h=0.4m。,解：虛擬狀態(tài)如圖b，軸力圖、彎矩圖如圖c、d。外側溫度變化為t1， t1=-30 ，內側溫度變化為t2=-20 。,6-6 靜定結構溫度變化時的位移計算,6-7 靜定結構支座移動時的位移計算,圖a所示靜定結構，其支座發(fā)生了水

12、平位移c1、豎向沉陷c2和轉角c3，現(xiàn)要求由此引起的任一點沿任一方向的位移，如K點的豎向位移Kc。,對于靜定結構，支座發(fā)生移動并不引起內力，材料不發(fā)生變形，此時結構的位移屬剛體位移。位移計算一般公式簡化為,為虛擬狀態(tài)的支座反力,與c方向一致時其乘積取正,例6-9 圖a所示三角剛架右邊支座的豎向位移By=0.06m, 水 平位移為Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。試求由此引 起的A段轉角 。,解：虛擬狀態(tài)及支座反力計算結果如圖b。,6-7 靜定結構支座移動時的位移計算,6-8 線彈性結構的互等定理,（1）功的互等定理,同理,可得,或,功的互等定理： 第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所

13、作的虛功，等于 第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。,（2）位移互等定理,設：F1=1，F(xiàn)2=1，由功的互等定理,可得,單位力引起的位移用小寫字母12和21表示,上式改寫為,位移互等定理： 第二個單位力所引起的第一個單位力作用點沿其方向的位移，等 于第一個單位力所引起的第二個單位力作用點沿其方向的位移 。,6-8 線彈性結構的互等定理,單位力可以是廣義單位力，位移即是相應的廣義位移。如圖a、b。,根據位移互等定理，應有,由材料力學,注意：F=1、M=1的量綱為1， 含義不同，但此時二者在數(shù)值上是相等的，量綱也相同。,6-8 線彈性結構的互等定理,6-8 線彈性結構的互等定理,（3）反力互等定理,圖a表示支座1發(fā)生單位位移的狀態(tài)，此時支座2產生的反力為r21。,圖b表示支座2發(fā)生單位位移的狀態(tài)，此時支座1產生的反力為r12。,由功的互等定理,可得,反力互等定理： 支座1發(fā)生單位位移所引起的支座2的反力，等于 支座2發(fā)生單位位移所引起的支座2的反力。,6-8 線彈性結構的互等定理,（4）反力位移互等定理,圖a表示F2=1作用時，支座1的反力偶為r12，方向如圖。,圖b表示