含有加減運(yùn)算未定式中的等價(jià)代換

1、含有加減運(yùn)算未定式中的等價(jià)代換楊 玉 華一、預(yù)備知識(shí)我們以為例，對(duì)其它的極限過程仍成立。1）無窮?。喝?，則稱當(dāng)時(shí)為無窮小。2）等價(jià)無窮小：若，且，則稱當(dāng)時(shí)與為等價(jià)無窮小，記為。3）無窮小等價(jià)代換定理：當(dāng)時(shí)，均為無窮小，且，。如果存在，則存在且有使用無窮小等價(jià)代換定理，可使極限運(yùn)算簡(jiǎn)化，例如：例1：求 解：當(dāng)時(shí)，由無窮小等價(jià)代換定理可知此極限亦可借助于羅比塔法則求解，但麻煩多了。再如例2： 解：當(dāng)時(shí)，上述求極限過程使用等價(jià)的因子之間是乘積或相除的關(guān)系，等價(jià)代換可以任意使用，不會(huì)出現(xiàn)什么問題。但若這些因子間是相加或相減的關(guān)系，使用等價(jià)代換就會(huì)出現(xiàn)問題。例如，求。此題正確解法是使用羅比塔法則，如下：

2、若直接使用無窮小等價(jià)代換，就會(huì)出現(xiàn)如下情況：為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？因?yàn)楫?dāng)時(shí)與不等價(jià)，所以不能利用等價(jià)代換定理。對(duì)含有加減運(yùn)算的不定式，何時(shí)可以用無窮小等價(jià)代換定理呢？下面的討論就回答了這個(gè)問題。二、形如的不定式以下我們用到的均為時(shí)的無窮小量。以型為例給出使用條件。結(jié)論1：當(dāng)時(shí)，且存在，則也存在且。證明：由 知由無窮小等價(jià)代換定理可知，結(jié)論1成立。注意，結(jié)論1中的條件是不能少的，否則結(jié)論不成立。有了結(jié)論1，再求含有加減運(yùn)算未定式的極限就簡(jiǎn)便多了。例3：求解：例4：求解：例5：求極限解：若，則結(jié)論1不能直接用，需要選取適當(dāng)?shù)暮汀＝Y(jié)論2：設(shè)，在x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)具有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且不恒為零。，分別為，的n次泰勒多項(xiàng)式，且0。當(dāng)時(shí)，則（1）當(dāng)時(shí)，；（2）若存在，則存在，且。證明：（1）由泰勒公式有從而有即時(shí)，。又，所以。（2） 其中所以結(jié)論成立。此結(jié)論的使用，需要掌握泰勒公式，和羅比塔法則相比，優(yōu)點(diǎn)不是很突出。所以當(dāng)我們遇到時(shí)，