圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用

1、1、參數(shù)方程的概念,（1）在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x 、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即 并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由上述方程組所確定的點(diǎn)M（x,y）都在這條曲線上，那么上述方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程 ，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)。參數(shù)方程的參數(shù)可以是有物理、幾何意義的變數(shù)，也可以是沒(méi)有明顯意義的變數(shù)。,（2） 相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說(shuō)，前面學(xué)過(guò)的直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程，叫做曲線的普通方程。,已知曲線C的參數(shù)方程是 (1)判斷點(diǎn)（0，1）,(5,4)是否在上. (2)已知點(diǎn)（，a）在曲線上，求a.,1、曲線 與x軸 的交點(diǎn)坐標(biāo)是( ) A、（1，4）；B、

2、 C、 D、,B,( ),C,2、圓心不在原點(diǎn)的圓的參數(shù)方程：,例2、已知點(diǎn) P 是圓 x 2 + y 2 = 16 上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)，點(diǎn) A 是 x 軸上的定點(diǎn)，坐標(biāo)為 ( 12 , 0 )， 當(dāng)點(diǎn) P 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段 PA 的中點(diǎn) M的軌跡是什么？,解：設(shè) M ( x , y )、P ( 4cos, 4sin), A(12, 0), ( x 6 ) 2 + y 2 = 4,變式練習(xí)： 在本題已知條件下，若點(diǎn) M 分 PA 成定比 2 : 1，求點(diǎn) M 的軌跡方程。,例1、已知圓方程x2+y2 +2x-6y+9=0，將它化為參數(shù)方程。,解： x2+y2+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程， （

3、x+1）2+（y-3）2=1，,參數(shù)方程為,(為參數(shù)),練習(xí)： 1.填空：已知圓O的參數(shù)方程是,(0 2 ),如果圓上點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的參數(shù) ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是,A,的圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,（2，-2）,1,解法1:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)M的軌跡是以(6,0)為圓心、2為半徑的圓。,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得: 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x-12,2y),(2x-12)2+(2y)2=16,即 M的軌跡方程為(x-6)2+y2=4,點(diǎn)P在圓x2+y2=16上,例2. 如圖,已知點(diǎn)P是圓x2+y2=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)A是x軸上的定點(diǎn),坐標(biāo)為(12,0).當(dāng)點(diǎn)P在圓 上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PA中點(diǎn)M的軌跡是什么?,示例分析,解

4、法2:設(shè)M坐標(biāo)(x , y),可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(4cos,4sin),點(diǎn)M的軌跡是以(6,0)為圓心、2為半徑的圓。,例2. 如圖,已知點(diǎn)P是圓x2+y2=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)A是x軸上的定點(diǎn),坐標(biāo)為(12,0).當(dāng)點(diǎn)P在圓 上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PA中點(diǎn)M的軌跡是什么?,示例分析,例5、已知圓的方程是 x 2 + y 22ax + 2( a2 )y + 2 = 0 ，其中 a 1 且 a R (1) 求證: a 取不為 1 的實(shí)數(shù)時(shí)，上述圓恒過(guò)定點(diǎn) (2) 求圓心的軌跡方程,(2) 圓心為 ( a , 2a ),(1) x 2 + y 24y + 2 2a( x y ) = 0,定點(diǎn) ( 1 , 1

5、 ), x + y 2 = 0,例3、已知點(diǎn)P（x，y）是圓x2+y2- 6x- 4y+12=0上動(dòng)點(diǎn)，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直線x+y- 1=0的距離d的最值。,問(wèn)題：已知 a 2 + b 2 = 1，求 a + b 的最值。,只能求最大值,問(wèn)題：若 x 2 + y 2 = r 2，x、y 如何三角換元？,練習(xí)題：已知點(diǎn)P（x，y）是圓x2+y2 -6x -4y+12=0上動(dòng)點(diǎn)，求（1） x2+y2 的最值； （2）x+y的最值； （3）P到直線x+y -1=0的距離d 的最值。,解：圓x2+y2- 6x -4y+12=0即（x - 3）2+（y - 2）2=1， 用參數(shù)方程表示為,由于點(diǎn)P在圓上，所以可設(shè)P（3+cos，2+sin），, x+y的最大值為5+ ，最小值為5 - 。,(3),顯然當(dāng)sin（ + ）= 1時(shí)，d 取最大值，最 小值，分別為 ， 。,例3、設(shè)實(shí)數(shù) x、y 滿足 x 2 + ( y 1) 2 = 1，求 (1) 3x + 4y；(2) x 2 + y 2 的最值。,(1) t = 4sin+ 3cos+ 4,(2) t = 2 + 2sin,變式練習(xí)： 在本題已知條件下，求使不等式： x + y + m 0 恒成立的實(shí)數(shù) m 的取值范圍。,簡(jiǎn)析:同理可得 ( x + y ) 的最大 值 為,