分式的運算技巧

1、分式概念 形如（a、b是整式，b中含有字母）的式子叫做分式。其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母。且當(dāng)分式的分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)時，我們把這個分式叫做真分式；當(dāng)分式的分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)時，我們把這個分式叫做假分式。注意：判斷一個式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，關(guān)鍵要滿足：分式的分母中必須含有字母，分子分母均為整式。無需考慮該分式是否有意義，即分母是否為零。由于字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性。方法：數(shù)看結(jié)果，式看形。分式條件:1.分式有意義條件：分母不為0。2.分式值為0條件：分子為0且分母不為0。3.分式值為正(負(fù))數(shù)條件：分子分母同號得正，異號得負(fù)。4.

2、分式值為1的條件：分子=分母0。5.分式值為-1的條件：分子分母互為相反數(shù)，且都不為0。代數(shù)式分類整式和分式統(tǒng)稱為有理式。帶有根號且根號下含有字母的式子叫做無理式。無理式和有理式統(tǒng)稱代數(shù)式。分式的基本性質(zhì)分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變。用式子表示為：（a,b,c為整式，且b、c0）運算法則約分根據(jù)分式基本性質(zhì)，可以把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分。約分的關(guān)鍵是確定分式中分子與分母的公因式。約分步驟：1.如果分式的分子和分母都是單項式或者是幾個因式乘積的形式，將它們的公因式約去。2.分式的分子和分母都是多項式，將分子和分母分別分解因式

3、，再將公因式約去。公因式的提取方法：系數(shù)取分子和分母系數(shù)的最大公約數(shù)，字母取分子和分母共有的字母，指數(shù)取公共字母的最小指數(shù)，即為它們的公因式。最簡分式：一個分式不能約分時，這個分式稱為最簡分式。約分時，一般將一個分式化為最簡分式。通分：異分母的分式可以化成同分母的分式，這一過程叫做通分。分式的乘法法則：（1）兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。（2） 兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘。用字母表示為：分式的加減法法則： 同分母分式的加減法法則:同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。用字母表示為：異分母分式的加減法法則： 異分母的分式

4、相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進行計算。分式的除法法則： 兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘。除以一個分式，等于乘以這個分式的倒數(shù):乘方分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以約分的約分，最后化成最簡：分式方程的意義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。分式方程的解法：（1）去分母（方程兩邊同時乘以最簡公分母，將分式方程化為整式方程）（2）按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值（3）驗根（求出未知數(shù)的值后必須驗根，因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根）。分式方程解法的歸納：解分式方程的基本思路是將分式方程化為整

5、式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊同乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般思路和做法。【基礎(chǔ)精講】 一、分式的概念1、正確理解分式的概念：【例1】有理式（1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）中，屬于整式的有： ；屬于分式的有： 。.2、判斷分式有無意義關(guān)鍵是看分母是否為零.(1) 例如，當(dāng)x為 時，分式有意義錯解：時原分式有意義(2) 不要隨意用“或”與“且”。例如 當(dāng)x_時，分式有意義？錯解：由分母，得3、注意分式的值為零必受分母不為零的限制當(dāng) 時，分式有意義當(dāng) 時，分式無意義當(dāng) 時，分式值為0二、分式的基本性質(zhì)：1、分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分

6、式的值不變.(1) 分式的基本性質(zhì)是分式恒等變形的依據(jù)，它是分式的約分、通分、化簡和解分式方程基礎(chǔ)，因此，我們要正確理解分式的基本性質(zhì)，并能熟練的運用它理解分式的基本性質(zhì)時，必須注意：分式的基本性質(zhì)中的a、b、m表示的都是整式在分式的基本性質(zhì)中，m0分子、分母必須“同時”乘以m(m0)，不要只乘分子（或分母）性質(zhì)中“分式的值不變”這句話的實質(zhì)，是當(dāng)字母取同一值（零除外）時，變形前后分式的值是相等的。但是變形前后分式中字母的取值范圍是變化的(2)注意：根據(jù)分式的基本性質(zhì)有：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變分式的基本性質(zhì)是一切分式運算的基礎(chǔ),分子與分母只能同乘以(或

7、除以)同一個不等于零的整式,而不能同時加上(或減去)同一個整式【例3】下列變形正確的是（ ）a; b c d【例4】 如果把分式中的都擴大3倍,那么分式的值一定( ) a.擴大3倍 b.擴大9倍 c. 擴大6倍 d.不變2、約分約分是約去分式的分子與分母的最大公約式,約分過程實際是作除法,目的在于把分式化為最簡分式或整式,根據(jù)是分式的基本性質(zhì).【例5】（1）化簡的結(jié)果為（ ）a b c d（2）化簡的結(jié)果（）a b c d（3）化簡的結(jié)果是（）a bc d3、通分通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母.最簡公分母由下面的方法確定：（1）最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)

8、；（2）最簡公分母的字母，取各分母所有字母的最高次冪的積;三、分式的運算1、分式運算時注意：（1）注意運算順序例如，計算，應(yīng)按照同一級運算從左到存依次計算的法則進行錯解：原式（2）通分時不能丟掉分母例如，計算，出現(xiàn)了這樣的解題錯誤：原式=分式通分是等值變形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；（3）忽視“分?jǐn)?shù)線具有括號的作用”:分式相減時，若分子是多項式，其括號不能省略 （4）最后的運算結(jié)果應(yīng)化為最簡分式2、分式的乘除注意分式的乘除法應(yīng)用關(guān)鍵是理解其法則.(1)先把除法變?yōu)槌朔ǎ?2)接著對每個相乘的分式的分子、分母進行因式分解，當(dāng)然有乘方運算要先算乘方，然后同其它分式進行約分；(3)再把

9、每個分式的分子與分子相乘、分母與分母相乘；(4)最后還應(yīng)檢查相乘后的分式是否為最簡分式 3、加減的加減 1)同分母分式加減法則：分母不變，分子相加減。 2)異分母分式加減法則：運算步驟：先確定最簡公分母；對每項通分,化為分母相同； 按同分母分式運算法則進行；注意結(jié)果可否化簡，化為最簡4、分式的混合運算注意分式的混合運算的順序：先進行乘方運算，其次進行乘、除運算，再進行加、減運算，遇有括號，先算括號內(nèi)的.如果分式的分子或分母中含有多項式，并且能分解因式，可先分解因式，能約分的先約分，再進行運算. 【例6】計算：（1）； （2）；（3） （4）已知，則代數(shù)式的值分式運算中的技巧與方法1在分式運算中

10、，若能認(rèn)真觀察題目結(jié)構(gòu)特征，靈活運用解題技巧，選擇恰當(dāng)?shù)倪\算方法，常常收到事半功倍的效果。現(xiàn)就分式運算中的技巧與方法舉例說明。一、 整體通分法例1化簡：-a-1分析 將后兩項看作一個整體，則可以整體通分，簡捷求解。解：-a-1=-(a+1)= -=二、 逐項通分法例2計算-分析：注意到各分母的特征，聯(lián)想乘法公式，適合采用逐項通分法解：-=- =- =- =-=0三、 先約分，后通分例3計算：+分析：分子、分母先分解因式，約分后再通分求值計算解：+=+=+=2四、 整體代入法例4已知+=5求的值解法1：+=5xy0,.所以=解法2：由+=5得，=5, x+y=5xy=五、運用公式變形法例5已知a

11、2-5a+1=0，計算a4+解：由已知條件可得a0,a+=5a4+=(a2+)2-2=(a+)2-22-2=(52-2)2-2=527六、設(shè)輔助參數(shù)法例6已知= = ，計算：解：設(shè)= = =k，則b+c=ak；a+c=bk；a+b=ck；把這3個等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,則k= -1若a+b+c0，則k=2=k3當(dāng)k=-1時，原式= -1當(dāng)k=2時，原式= 8七、應(yīng)用倒數(shù)變換法例7已知=7，求的值解：由條件知a0,=,即a+=a2+1=(a+)2-1=八、取常數(shù)值法例8已知：xyz0,x+y+z=0,計算+解：根據(jù)條件可設(shè)x=1,y=1,z

12、=-2.則+=-3.當(dāng)然本題也可以設(shè)為其他合適的常數(shù)。九、把未知數(shù)當(dāng)成已知數(shù)法例9已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,計算: 解：把c當(dāng)作已知數(shù)，用c表示a,b 得,a=3c, b=2c=.十、巧用因式分解法例10已知a+b+c=0，計算+解:a+b+c=0, a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b2a2+bc=a2+a2+bc=a2+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)同理可得2b2+ac=(b-c)(b-a),2c2+ab=(c-a)(c-b)+=+=-+=1分式運算的幾種技巧(二）1、先約分后通分技巧 例1 計算+分析：不難發(fā)現(xiàn)，兩個分式均能約分，故先約分后再計算解：原式

13、=+ =+=2、分離整數(shù)技巧 例2 計算-分析：兩個分式的分子、分母不能約分，如把分子突出分母，分離整數(shù)方法可使計算化簡。解：原式=-=1+-1-=-=-3、裂項相消技巧 例3 計算+分析：此類題可利用=（-）裂項相消計算。解：原式=（-）+（-）+（-）=-=4、分組計算技巧 例4 計算+-分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)原式中第一、四項分母乘積為a2-4，第二項、第三項分母乘積為a2-1，采取分組計算簡捷。解：原式=（-）+（-）=+=5、變形技巧 例5 已知x2-3x+1=0，求x2+的值。分析：將已知兩邊同除以x（x0）可變出x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。解：由x2-3x+1=0

14、，兩邊同除以x（x0），得x-3+=0，即x+=3所以x2+=（x+）2-2=32-2=7 二、分式求值中的整體思想例1 若分式的值為，則的值為（ ）a、1 b、-1 c、- d、解：由已知=得2y2+3y+7=82y2+3y=1，4y2+6y=2所以=1，故選a。例2 已知+=4，則= 。分析：由已知可得到a+b與ab的關(guān)系式，所求式通過分解因式可得到用a+b與ab的表達式，然后將a+b用ab代換即可求出所求式的值。解：由已知得=4 a+b=4ab=-點評：本題還可以將所求式分子、分母同除以ab得到=然后將已知式代入求值，這種方法也是常用的一種方法。例3 已知a2-3a+1=0，求的值。解：

15、由已知a2-3a+1=0知a0，將已知等式兩邊同除以a得a-3+=0，a+=3所以=a2+=（a+）2-2=32-2=7=點評：所求式的倒數(shù)與已知式有聯(lián)系時，先求所求式的倒數(shù)，再得所求式。a2=（a）22這一變換在以后經(jīng)常用到同學(xué)們務(wù)必掌握。例4 已知+=，+=，+=，求的值。分析：將所求式分子、分母同除以abc可得到，只要將已知式變換出+即可。解：因為+=，+=，+=，將、左、右分別相加，得2（+）=+ +=所以=例5 有一道題：“先化簡再求值：，其中”，小明做題時把“”錯抄成了“”，但他的計算結(jié)果也是正確，請你通過計算解釋這是怎么回事？解析:首先對原分式進行化簡,再根據(jù)化簡結(jié)果說理.因為當(dāng)

16、和時, 的值都是2009,所以小明把“”錯抄成了“”,計算結(jié)果也是正確的.例6 已知x2-3x+1=0，求x2+的值。分析：將已知兩邊同除以x（x0）可變出x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。解：由x2-3x+1=0，兩邊同除以x（x0），得x-3+=0，即x+=3所以x2+=（x+）2-2=32-2=7三、分式運算新型題例2 請利用、 和這三個分式組成一個算式,來表示其中兩個分式的商減去第三個分式的差,并化簡.解析:本題為開放性問題,答案不唯一.按題目的要求可得到10多個不同的算式,選取其中一個進行化簡即可,但一般應(yīng)選擇一個計算較簡便的算式,以減少運算量,提高正確率.如, -=

17、,等等.溫馨提示:這類開放型問題有利于思維能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng),已成為各類考試的熱點,但所考查的知識卻是我們所熟悉的.例3 先化簡代數(shù)式,然后選取一個合適的值,代入求值.解析:本題用“合適”二字設(shè)置了一個“陷阱”,解題時必須明確“合適”在題中的含義,即選取的的值不但要使原式有意義,而且還要盡量使運算簡便.原式=.由題意知,的值不能取2和-2,所以當(dāng)=0時,原式=4.溫馨提示:本題既檢測了同學(xué)們分析問題的能力,又考查了識別隱含信息的能力,題目的形式也體現(xiàn)了鼓勵解題者的主動參與意識.這類題目也是近年出現(xiàn)的熱點題型,為我們提供了較為廣闊的思考空間,但所選字母的值應(yīng)保證原式有意義,以防掉入解題“陷阱”

18、.一、開放性問題例1在下列三個不為零的式子 中，任選兩個你喜歡的式子組成一個分式是 ，把這個分式化簡所得的結(jié)果是 .分析：此例是答案不唯一的開放題，分式由學(xué)生自主構(gòu)造，題型新穎活潑，呈現(xiàn)出人性化與趣味化.解：本題存在6種不同的結(jié)果，任選其一即可.（1）； （2）;（3）； （4）;（5）; (6) .說明：其實解決本題的關(guān)鍵就是分式的約分，但它又不完全等同于分式的約分，它需要我們先構(gòu)造出分式后再約分，讓我們在分析探索后解決問題，而不是直接把問題擺在我們面前.二、探索運算程序例2任意給定一個非零數(shù)，按下列程序計算，最后輸出的結(jié)果是（ ） 平方 - +2 結(jié)果 a b c+1 d-1 分析：本題設(shè)

19、計新穎，意在創(chuàng)新，明確計算程序是正確解答本題的前提.解：計算程序可表示為：，化簡：原式= =m-1+2=m+1，故選c.說明：這是一道比較容易的題，但要注意其運算的順序，否則就會出現(xiàn)錯誤的答案.三、自選數(shù)值求解例3化簡，并選擇你最喜歡的數(shù)代入求值分析：這是近年來出現(xiàn)的一種新題型，具有一定的靈活性。此題從難度上來說并不大，但是要注意混合運算的運算順序，運算結(jié)果要化成最簡形式.在選取x的數(shù)值時，一定要保證原式有意義，而且盡量使運算簡便為好.解：原式，當(dāng)x=2時，原式=-2.說明：這里的x不能取0與1，否則分母的值為0，原式就沒有意義了.四、運算說理題例4在解題目：“當(dāng)時，求代數(shù)式的值”時，聰聰認(rèn)為

20、只要任取一個使原式有意義的值代入都有相同結(jié)果你認(rèn)為他說的有理嗎？請說明理由分析：本題是說理型試題，有很強的創(chuàng)新性，但將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的化簡與求值，解決問題就很方便，同時要注意說的“理由”要充分合理.解：聰聰說的有理 只要使原式有意義，無論取何值，原式的值都相同，為常數(shù)1說明：解決此類問題，首先要化簡所給的代數(shù)式，然后再根據(jù)化簡的結(jié)果去解釋題目所問的問題.先觀察下列等式，然后用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題 (1) 計算 （2）探究 （用含有的式子表示）（3）若 的值為，求的值 解：（1） （2） （3）=+ += 由= 解得 經(jīng)檢驗是方程的根，【精練】計算：【分析】本題中有四個分式相加減，如果采用直

21、接通分化成同分母的分式相加減，公分母比較復(fù)雜，其運算難度較大.不過我們注意到若把前兩個分式相加，其結(jié)果卻是非常簡單的.因此我們可以采用逐項相加的辦法.【解】= = =1順次相加法 例1：計算：【分析】本題的解法與例1完全一樣.【解】= =2整體通分法 【例2】計算：【分析】本題是一個分式與整式的加減運算.如能把（-a-1）看作一個整體，并提取“-”后在通分會使運算更加簡便.通常我們把整式看作分母是1的分式.【解】=.3化簡后通分分析：直接通分，極其繁瑣，不過，各個分式并非最簡分式，有化簡的余地，顯然，化簡后再通分計算會方便許多4巧用拆項法例4計算：.分析：本題的10個分式相加，無法通分，而式子

22、的特點是：每個分式的分母都是兩個連續(xù)整數(shù)的積（若a是整數(shù)），聯(lián)想到，這樣可抵消一些項.解：原式= = =5分組運算法例5：計算：分析：本題項數(shù)較多，分母不相同.因此，在進行加減時，可考慮分組.分組的原則是使各組運算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù)、相同或倍數(shù)關(guān)系，這樣才能使運算簡便.解： = = = = =【錯題警示】一、 錯用分式的基本性質(zhì)例1 化簡錯解：原式分析：分式的基本性質(zhì)是“分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變”，而此題分子乘以3，分母乘以2，違反了分式的基本性質(zhì).正解：原式二、 錯在顛倒運算順序例2 計算錯解：原式分析：乘除是同一級運算，除在前應(yīng)先做除，上述錯

23、解顛倒了運算順序，致使結(jié)果出現(xiàn)錯誤.正解：原式三、錯在約分例1 當(dāng)為何值時，分式有意義？錯解原式.由得.時，分式有意義.解析上述解法錯在約分這一步，由于約去了分子、分母的公因式，擴大了未知數(shù)的取值范圍，而導(dǎo)致錯誤.正解由得且.當(dāng)且，分式有意義.四、錯在以偏概全例2 為何值時，分式有意義？錯解當(dāng)，得.當(dāng)，原分式有意義.解析上述解法中只考慮的分母，沒有注意整個分母，犯了以偏概全的錯誤.正解 ，得，由，得.當(dāng)且時，原分式有意義.五、錯在計算去分母例3 計算.錯解原式=.解析上述解法把分式通分與解方程混淆了，分式計算是等值代換，不能去分母，.正解原式.六、錯在只考慮分子沒有顧及分母例4 當(dāng)為何值時，分

24、式的值為零.錯解由，得.當(dāng)或時，原分式的值為零.解析當(dāng)時，分式的分母，分式無意義，談不上有值存在，出錯的原因是忽視了分母不能為零的條件.正解由由，得.由，得且.當(dāng)時，原分式的值為零.二、經(jīng)典例題透析類型一：分式及其基本性質(zhì)1當(dāng)x為任意實數(shù)時，下列分式一定有意義的是（ ）a. b. c. d. 2若分式的值等于零，則x_； 3求分式的最簡公分母?！咀兪?】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（ ）a1b0c1d （2）當(dāng)x_時，分式?jīng)]有意義【變式2】下列各式從左到右的變形正確的是（ ）a b c d類型二：分式的運算技巧(一) 通分約分4化簡分式:【變式1】順次相加法 計算：【變式2】整體通分法

25、 計算：（二）裂項或拆項或分組運算5巧用裂項法計算：【變式1】分組通分法計算：【變式2】巧用拆項法計算： 類型三：條件分式求值的常用技巧6參數(shù)法 已知，求的值【變式1】整體代入法 已知，求的值.【變式2】倒數(shù)法：在求代數(shù)式的值時，有時出現(xiàn)條件或所求分式不易變形，但當(dāng)分式的分子、分母顛倒后，變形就非常的容易，這樣的問題適合通常采用倒數(shù)法已知：，求的值【變式3】主元法：當(dāng)已知條件為兩個三元一次方程，而所求的分式的分子與分母是齊次式時，通常我們把三元看作兩元，即把其中一元看作已知數(shù)來表示其它兩元，代入分式求出分式的值已知：，求的值類型四:解分式方程的方法解分式方程的基本思想是去分母，課本介紹了在方程

26、兩邊同乘以最簡公分母的去分母的方法，現(xiàn)再介紹幾種靈活去分母的技巧（一）與異分母相關(guān)的分式方程7解方程=【變式1】換元法 解方程：（2） 與同分母相關(guān)的分式方程8解方程【變式1】解方程 【變式2】解方程類型五：分式（方程）的應(yīng)用9甲、乙兩個小商販每次都去同一批發(fā)商場買進白糖.甲進貨的策略是：每次買1000元錢的糖；乙進貨的策略是每次買1000斤糖，最近他倆同去買進了兩次價格不同的糖，問兩人中誰的平均價格低一些？【變式1】 甲開汽車，乙騎自行車，從相距180千米的a地同時出發(fā)到b若汽車的速度是自行車的速度的2倍，汽車比自行車早到2小時，那么汽車及自行車的速度各是多少？【變式2】 a、b兩地路程為1

27、50千米，甲、乙兩車分別從a、b兩地同時出發(fā)，相向而行，2小時后相遇，相遇后，各以原來的速度繼續(xù)行駛，甲車到達b后，立即沿原路返回，返回時的速度是原來速度的2倍，結(jié)果甲、乙兩車同時到達a地，求甲車原來的速度和乙車的速度（一）、分式定義及有關(guān)題型題型一：考查分式的定義【例1】下列代數(shù)式中：，是分式的有：.題型二：考查分式有意義的條件【例2】當(dāng)有何值時，下列分式有意義（1）（2）（3）（4）（5）題型三：考查分式的值為0的條件【例3】當(dāng)取何值時，下列分式的值為0. （1）（2）（3）題型四：考查分式的值為正、負(fù)的條件【例4】（1）當(dāng)為何值時，分式為正；（2）當(dāng)為何值時，分式為負(fù)；（3）當(dāng)為何值時，

28、分式為非負(fù)數(shù).練習(xí)：1當(dāng)取何值時，下列分式有意義：（1）（2）（3）2當(dāng)為何值時，下列分式的值為零：（1）（2）3解下列不等式（1）（2）（二）分式的基本性質(zhì)及有關(guān)題型1分式的基本性質(zhì)：2分式的變號法則：題型一：化分?jǐn)?shù)系數(shù)、小數(shù)系數(shù)為整數(shù)系數(shù)【例1】不改變分式的值，把分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1）（2）題型二：分?jǐn)?shù)的系數(shù)變號【例2】不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的首項的符號變?yōu)檎?（1）（2）（3）題型三：化簡求值題【例3】已知：，求的值.提示：整體代入，轉(zhuǎn)化出.【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.練習(xí)：1不改變分式的值，把下列分式的分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1）（2）2

29、已知：，求的值.3已知：，求的值.4若，求的值.5如果，試化簡.（三）分式的運算題型一：通分【例1】將下列各式分別通分.（1）； （2）；（3）； （4）題型二：約分【例2】約分：（1）；（3）；（3）.題型三：分式的混合運算【例3】計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）題型四：化簡求值題【例4】先化簡后求值（1）已知：，求分子的值；（2）已知：，求的值；（3）已知：，試求的值.題型五：求待定字母的值【例5】若，試求的值.練習(xí)：1計算（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.2先化簡后求值（1），其中滿足.（2）已知，求的值.3已知：，試求、的值.4當(dāng)為何整

30、數(shù)時，代數(shù)式的值是整數(shù)，并求出這個整數(shù)值.（四）、整數(shù)指數(shù)冪與科學(xué)記數(shù)法題型一：運用整數(shù)指數(shù)冪計算【例1】計算：（1）（2）（3）（4）題型二：化簡求值題【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.題型三：科學(xué)記數(shù)法的計算【例3】計算：（1）；（2）.練習(xí)：1計算：（1）（2）（3）（4）2已知，求（1），（2）的值.（一）分式方程題型分析題型一：用常規(guī)方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）；（2）；（3）；（4）提示易出錯的幾個問題：分子不添括號；漏乘整數(shù)項；約去相同因式至使漏根；忘記驗根.題型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）； （2）提示：（1）換元法，設(shè)；（2）裂項法，.

31、【例3】解下列方程組題型三：求待定字母的值【例4】若關(guān)于的分式方程有增根，求的值.【例5】若分式方程的解是正數(shù)，求的取值范圍.提示：且，且.題型四：解含有字母系數(shù)的方程【例6】解關(guān)于的方程提示：（1）是已知數(shù)；（2）.題型五：列分式方程解應(yīng)用題練習(xí)：1解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）（5）6）（7）2解關(guān)于的方程：（1）；（2）.3如果解關(guān)于的方程會產(chǎn)生增根，求的值.4當(dāng)為何值時，關(guān)于的方程的解為非負(fù)數(shù).5已知關(guān)于的分式方程無解，試求的值.（二）分式方程的特殊解法一、交叉相乘法例1解方程：二、化歸法例2解方程：三、左邊通分法例3：解方程：四、分子對等法例4解方程：五、觀察比較法例5解

32、方程：六、分離常數(shù)法例6解方程：七、分組通分法例7解方程：例1若分式方程無解，求的值。例2若關(guān)于的方程不會產(chǎn)生增根，求的值。例3若關(guān)于分式方程有增根，求的值。例4若關(guān)于的方程有增根，求的值。分式求值問題全解1. 字母代入法例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求的值.【解析】 仔細觀察已知條件，雖然出現(xiàn)的字母很多，但都可以用一個字母代替： a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一個字母代替其它字母來實現(xiàn)代數(shù)式的化簡= = = = =【探討】 當(dāng)已知條件中不同的字母都可以用一個字母表示時，第一個要想到的方法就是字母帶入法，因為最后的結(jié)果一定是由有理數(shù)或者某個字母表示，所以用這

33、種方法能不能得到正確結(jié)果就在于自己的分式化簡能力了。2. 設(shè)值代入法 例2. 已知，求證：【解析】這道題也可以用字母代入法，可以得到，代入后分式的分子分母中有分式，化簡麻煩。我們用一種新的代入方式，考慮到、連等，讓它們都等于k 則 x=ak y=bk z=ck 代入得 = = =【探討】 當(dāng)遇到連等式，可以采用以下三種方式來運用這個條件 設(shè) 則（1）， （2）設(shè) 則x=ak y=bk z=ck （3）設(shè) 則 其中3. 整式代入法例3. 已知：，求分式的值.【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本來就比較復(fù)雜，會增加我們化簡的負(fù)擔(dān)。將條件化簡成乘積形式，得 ，再將分式稍化簡變?yōu)?，可以發(fā)現(xiàn)分子分母

34、中只有(a-b)和ab這兩項，所以可以用ab代替b-a 【探討】用整式代入法，能夠很大程度地化簡代數(shù)式，比字母代入法更優(yōu)越，但要善于觀察代數(shù)式的組成部分，比如這題，代數(shù)式就含有ab和a-b這兩項，剛好條件也適當(dāng)變形能得到a-b與ab的關(guān)系，題目很快就解出來了。4. 變形代入法 這類題是用代入法最需要技巧的，我們分以下五類題型來分析怎么變形再代入。例4（方程變形）. 已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc0，求的值.【解析】 對已知條件作形變往往要比對代數(shù)式做形變簡單得多，因為代數(shù)式比條件復(fù)雜，而且給代數(shù)式做形變漫無目的，往往得不到想要的結(jié)果。 這道題已知條件是兩個等式，三個字母，所以

35、我們可以用一個字母表示其它字母，對已知條件變形得到方程組 a+b+c=0 b=-2c =a+2b+3c=0 a=c用c代替a、b代入到分式中，能很快求解出來=例5（非負(fù)變形）. 已知：，求的值.【解析】觀察已知條件，有平方項，所以可以化成平方的形式 其中 所以=0 =0得再帶入原式很容易求出解。 例6（對應(yīng)變形）. 證明：若a+b+c=0,則 【解析】這題可以用整式代入法，比如用-b-c代替a，但是代數(shù)式a的符號和位置在三個分式中不同，如果用代入得到的分母截然不同，增大化簡的難度。如果將代數(shù)式三個分式的分母化成相同的形式，反而化簡方便，比如：用a=-b-c代入中的a，得到-2bc用b=-a-c

36、代入中的b，得到-2ac用c=-a-b代入中的c，得到-2ab原式=例7（倒數(shù)變形）. 已知求證【解析】已知條件是的形式，不能化簡，如果顛倒分子分母，將改寫成的形式，使得x、y相互獨立，簡化已知條件。寫出變化后的形式， = 所以 = 則，得證。例8（歸類變形）. 已知，且a、b、c互不相等，求證：【解析】已知條件有三個字母，兩個方程，若用a表示b、c，能不能求出b、c的代數(shù)式都是問題。因此我們變形不要太過著急，如果從消元化簡的方式不能變形，就考慮從結(jié)構(gòu)化簡的方式來變形。這道題條件的形式不復(fù)雜，分為整式和分式，將整式歸類，分式歸類：，可以發(fā)現(xiàn)分式形式大致消失了，剩下的是加減形式(a-b)、(b-

37、c)和乘積形式bc將能從已知條件得到的關(guān)系列出來,左邊和左邊相乘，右邊和右邊相乘得，所以【結(jié)論】給已知條件變形是用代入法的前提，變形的目的是化簡已知條件，可以從兩個角度上來化簡： 消元的角度：方程變形、非負(fù)變形-減少字母數(shù)量，方便化簡化簡 結(jié)構(gòu)的角度：對應(yīng)、倒數(shù)、歸類變形-調(diào)整關(guān)系式結(jié)構(gòu)，方便化簡代入的方法多種多樣，在此不可能一一列舉出來，對大部分題目，觀察代數(shù)式，對已知條件適當(dāng)變形再代入是最適用的方法，當(dāng)然也有例外，比如習(xí)題4，代數(shù)式并不是最簡形式，可以先化簡代數(shù)式再代用條件，事辦功倍?！揪毩?xí)】1、已知 的值等于（ ） （設(shè)值代入）a b. c. d. 2、若a2+b2=3ab,則(1+的值

38、等于（ ） （整式代入）a b. 0 c. 1 d. 3、已知：a+b+c=0,abc=8.求證：0. （非負(fù)變形）4、已知：a+b+c=0. 求證： （代數(shù)式歸類變形）5、已知abc=1，求證：（對應(yīng)變形）在學(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生猜測計算的結(jié)果，并請學(xué)生講解計算的過程及依據(jù)，體驗分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系；然后進一步提出“如何用冪的形式表示計算結(jié)果”的問題、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及其運算1負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念：（a0，p是自然數(shù)）2整數(shù)指數(shù)冪：當(dāng)a0時，就是整數(shù)指數(shù)冪，n可以是正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零將下列各式寫成只含正整數(shù)指數(shù)冪的形式：、變式訓(xùn)練1：、變式訓(xùn)練2：、通過變式訓(xùn)練2，學(xué)生同桌討論當(dāng)指數(shù)為負(fù)數(shù)，底數(shù)

39、為分?jǐn)?shù)時的情形，并總結(jié)出判斷正誤：例題講解：例題1 計算：（1）2628；（2）1010110104；（3）512512。例題2 將下列各式寫成只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式：(1) x-3；(2) a-3b4；(3) 2(x+2y)-2；例題3計算：（1）a2aa3；（2）(-a)3a5；3整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：舉例復(fù)習(xí)正整數(shù)指數(shù)冪的其它性質(zhì)，同時思考、驗證整數(shù)指數(shù)冪的相關(guān)運算法則：歸納整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：（1）同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)：aman=am+n;（2）積的乘方性質(zhì)：(ab)m=ambm;（3）冪的乘方性質(zhì)：(am)n=amn;（上述性質(zhì)中a、b都不為0，m、n都為整數(shù)）例題4計算：（1）x-5x2；（2）(2-2)3；（3）1003-3；練習(xí)：1.下列計算正確的是( )a.(a2)3=a5 b.(a2)3=a5 c.()1+(+3.14)0=2 d.a+a2=a12.(1)(a1)2=_(a0)；(2)(a2b)2=_(ab0)；(3)()1=_(ab0).3.填空:(1)52=_；(2)(3a1b)1=_(ab0).4.計算:(1)()2()2; (2)(3)533. (3)a2b2(ab1); (4)()2(xy)2(x1y).6. 我們常用“水滴石穿”來說明一個人只要持之以恒地做某件事，就一