10-Fourier變換及其應用

1、1、偏微分方程教程第7章Fourier變換及其應用，2，1 Fourier變化及其性質【知識點提示】Fourier變換的定義及其性質及其逆變換。 【重、難點提示】求解函數(shù)的Fourier變換及其逆變換，特別是逆變換。 【教學目的】熟悉Fourier變換的定義和性質，能夠很好地解開特定特殊函數(shù)的Fourier變換及其逆變換。 3、Fourier變換線性偏微分方程，特別是在常數(shù)線性偏微分方程的研究中非常重要。 對于求解各種數(shù)學物理方程式有普遍的意義。 本章系統(tǒng)地介紹Fourier變換的基本知識及其演算性質。 最后利用Fourier變換及其逆變換解決一些典型數(shù)學物理方程的解問題。 4、在學習常微分方

2、程解時介紹了Laplace變換，把常數(shù)系數(shù)的線性常微分方程求解與函數(shù)方程求解及其函數(shù)方程解進行Laplace變換逆運算. 其他形式的積分變換有木有能否使常數(shù)系數(shù)的線性偏微分方程特別是3種典型的數(shù)學物理方程的求解變得簡單，這就是我們從此往后介紹的Fourier變換。如果是5，5，1.1 Fourier變換定義7.1，那么任意的積分都有意義，我們將其稱為Fourier變換，或者標記為定理7.1 (Fourier積分定理)，則由于是(1.1)、(1.2)、6，證：所以包含參照變量的積分對一致收斂，并且在能夠證明簡單易懂的同樣的事情的另一方面，我們卻有其中的連續(xù)函數(shù)。、1.5 )、8、現(xiàn)在被給予、先取

3、、大到一盞茶、當時、然后固定、取、大到一盞茶、黎曼-勒貝格(Riemann-Lebesgue )正在介紹、大到一盞茶定理證明完成，9，式(1.2 )稱為反轉式，左端的積分表示取Cauchy的主值。 由此定義的變換稱為Fourier反變換，并且因此也可以描述(1.2)，即，一個所屬的函數(shù)在進行Fourier變換之后再進行Fourier反變換，并且返回到該函數(shù)本身，注意：以后反轉Fourier變換我們不需要先深入研究是否滿足上述定理的條件，直接應用它導出問題的形式解，然后通過直接驗證，確定該形式解是“真解”，如果1.0、性質是7.1 (線性性質)，則相對于任意常數(shù)，性質是7.2 如果、性質為7.3

4、 (對稱性質)，則基本性質在使用Fourier變換求解問題之前，先介紹了Fourier變換的基本性質。 如果、以及1.1、性質是7.3 (對稱性質)，則(1.8 )以上的3個性質的證明都可以從Fourier變換及其逆變換的定義中直接導出。 希望讀者用自各兒完成。 如果性質是7.4 (微商性質)，那么(1.9 )、1.2、證明：是假設、知道、事實、反證法也知道，即(1.10 )成立。 由于使用了自由(1.10 )、分支構造積分公式，1.3，如果推論7.1小，則(1.11 )、注意：這個性質指示了微商運算被變換成傅立葉變換然后被變換成乘積運算，所以可以使用傅立葉變換來使常數(shù)系數(shù)的常微分方程簡化為函

5、數(shù)方程， 能夠將偏微分方程簡化為常微分方程的Fourier變換是解常系數(shù)的線性偏微分方程的重要工具。1.4，性質7.5 (乘法多項式)，因為，所以，也就是說，知識(1.12 )成立。(1.12 )，有函數(shù)，1.5，推論7.2 如果是(1.13 )，性質7.6 (伸縮性質)，則為非零常數(shù)，并且，(1.14 )，1.6，證：不失一般性，則.由定義7.1、有、1.7、性質7.7 (日式榻榻米嵌入性質)，則、證：富比尼定理、有、(1.15 )、(1.16 )、1.8、進而若為Fubini定理、性質7.8 (Plancherel定理) 下面舉例說明利用Fourier變換的定義和基本性質求出幾個具體函數(shù)的

6、Fourier變換的方法。 求例1定徑套、例2定徑套、2.0、解：定義7.1，知道。 例3定徑套，求。 解：由性質7.1、性質7.6得到。 在對、例4高斯函數(shù)、的Fourier變換、2.1、積分應用Cauchy定理來改變積分路徑后，可以從、解：定義得到7.1、(圖7-1 )、并行指令、2.2、圖7-1，然后得到、2.3、例5設定、解： 為了消除高維空間的Fourier變換高維空間的常系數(shù)線性偏微分方程，我們需要介紹高維空間的Fourier變換.定義7.2，被稱為積分、意義，如果是該Fourier變換，則稱為、2.5、定理7.2，而函數(shù)、 對于具有表示Fourier逆變換的一維Fourier變換的性質7.1-7.