第四章_6控制系統(tǒng)根軌跡分析舉例

1、2020年7月7日，星期二，第5節(jié)控制系統(tǒng)根軌跡分析方法，2020年7月7日，星期二，2，通過使用根軌跡，可以分析和校正閉環(huán)系統(tǒng)的性能，并且可以通過給定的參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)位置；分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)參數(shù)；對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行更正。2020年7月7日，星期二，3，1。條件穩(wěn)定系統(tǒng)分析，開環(huán)極點(diǎn)：0，-4，-6，零點(diǎn)：實(shí)軸上的根軌跡間隔：解根據(jù)畫根軌跡的步驟，我們可以得到：2020年7月7日星期二，4，分離角(點(diǎn))，2020年7月7日星期二，5，入射角：與虛軸的交點(diǎn)(略)。此時(shí)的增益值：從圖中可以看出，當(dāng)和，系統(tǒng)是穩(wěn)定的(為什么？)；當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)

2、定時(shí)。左圖是用Matlab工具繪制的。2020年7月7日，星期二，6，2。開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的暫態(tài)性能分析和確定，當(dāng)開環(huán)根軌跡的增益或其他開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，可以清楚地看到閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置和暫態(tài)性能的變化。以二階系統(tǒng)為例：開環(huán)傳遞函數(shù)為，閉環(huán)傳遞函數(shù)為，共軛極點(diǎn)為：在S平面上的分布如圖所示：閉環(huán)極點(diǎn)的張角為：故稱阻尼角。斜線稱為等阻尼線。我們知道，閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要性能指標(biāo)是超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。這些性能指標(biāo)與閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系如下：2020年7月7日，星期二，8。上述結(jié)論也適用于具有主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)。以下示例：示例4-12單元反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是：如果需要閉環(huán)單元階躍響應(yīng)的最大過沖，請(qǐng)嘗試確定開

3、環(huán)放大系數(shù)。解決方法：首先畫根軌跡為右。從圖中可以看出，根軌跡和虛軸的交點(diǎn)是j5，-j5，當(dāng)臨界增益不變時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。星期二，2020年7月7日，9，這是一個(gè)三階系統(tǒng)。從根軌跡可以看出，隨著增加，優(yōu)勢(shì)極變得更加突出。因此，二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)可用于近似計(jì)算。在根軌跡圖上畫兩條與實(shí)軸成0角的直線，并在a點(diǎn)和b點(diǎn)與根軌跡相交。那么a點(diǎn)和b點(diǎn)就是閉環(huán)共軛的主導(dǎo)極點(diǎn)，系統(tǒng)的超調(diào)量為18%。通過尋找點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，我們可以確定此時(shí)的根軌跡增益，然后得到開環(huán)放大系數(shù)k，星期二，2020年7月7日，10。由于閉環(huán)極點(diǎn)的和等于開環(huán)極點(diǎn)的和，其他閉環(huán)極點(diǎn)是：2020年7月7日，星期二，11。特別指出開

4、環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)根軌跡形狀的影響值得注意。一般來說，在開環(huán)傳遞函數(shù)中，在S的左半平面上加一個(gè)極點(diǎn)會(huì)使原根軌跡向右移動(dòng)。從而降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性并增加系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間。星期二，2020年7月7日，12，推薦使用的MATLAB參考書：現(xiàn)代控制工程，由緒子勝子，陸博英翻譯，電子工業(yè)出版社的Matlab控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，由歐陽黎明編寫，國防工業(yè)出版社，3。用MATLAB繪制根軌跡，2020年7月7日，星期二，13，編號(hào)=001；%開環(huán)傳遞函數(shù)分子系數(shù)，降低的功率排列den=1.320%開環(huán)傳遞函數(shù)分母系數(shù)，降低的功率安排r=rlocus(num，den)；示例系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：嘗試用Matlab繪制系統(tǒng)的

5、根軌跡。打開Matlab，創(chuàng)建一個(gè)m文件，并輸入以下程序片段：星期二，2020年7月7日，14，例4-13。眾所周知，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是(1)畫出系統(tǒng)的根軌跡；(2)計(jì)算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍；(3)針對(duì)斜率輸入計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解決方案：(1)繪制根軌跡：2020年7月7日，星期二，15，找到拍攝角度：并得到它。系統(tǒng)有三個(gè)根軌跡，一個(gè)從原點(diǎn)開始，結(jié)束于開環(huán)零點(diǎn)-1；另外兩個(gè)分別從原點(diǎn)的出射角開始，以-3和無窮大的零點(diǎn)結(jié)束。會(huì)議和分離，星期二，2020年7月7日，16，當(dāng)用于尋找與虛擬軸的交點(diǎn)的系統(tǒng)的特征方程是Routh表時(shí)，根軌跡和虛擬軸之間的交點(diǎn)可以從輔助方程中找到。(2)根據(jù)勞斯表，系

6、統(tǒng)是穩(wěn)定的。(3)系統(tǒng)包含三個(gè)積分環(huán)節(jié)，屬于類型系統(tǒng)，類型系統(tǒng)對(duì)斜率輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。例4-14已知單元反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是(1)畫出系統(tǒng)的根軌跡；(2)計(jì)算增益k值時(shí)，系統(tǒng)的阻尼比為，計(jì)算此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)特征根；(3)分析K對(duì)系統(tǒng)性能的影響，找到系統(tǒng)最小阻尼比對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。星期二，2020年7月7日，18，當(dāng)阻尼角，代表角度的直線為OB，其方程為，代入特征方程后，得到實(shí)部和虛部分別為零，并有解。從圖中可以看出，當(dāng)直線ob與圓相切時(shí)，系統(tǒng)的阻尼比和特征根為。星期二，2020年7月7日，19，對(duì)于分離點(diǎn)，我們可以從振幅條件中看到，對(duì)于收斂點(diǎn)，我們可以從根軌跡圖中看到，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)不相等的

7、負(fù)實(shí)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)是過阻尼的。當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)時(shí)，其瞬態(tài)響應(yīng)是欠阻尼的。同時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)不相等的負(fù)實(shí)極點(diǎn)，瞬態(tài)響應(yīng)被過阻尼。星期二，2020年7月7日，20，坐標(biāo)原點(diǎn)作為根軌跡圓的切線，該切線是直線OB，直線OB和負(fù)實(shí)軸之間的夾角的余弦是系統(tǒng)的最小阻尼比。從上面可以看出，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)是。例4-16:已知單元反饋系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；2020年7月7日，星期二，22，解答：從根軌跡圖來看，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：單元反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：2020年7月7日，星期二，23，總結(jié)，條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析臨界穩(wěn)定增益的確定；開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)阻尼角和等阻尼線的瞬態(tài)性能分析和確定：超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間和閉環(huán)極點(diǎn)之間的關(guān)系；根據(jù)性能指標(biāo)，確定二