高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)005向量p

1、 05.05. 平平面面向向量量和和空間向量及其運(yùn)算空間向量及其運(yùn)算知知識(shí)識(shí)要要點(diǎn)點(diǎn) 2.向量的概念 (1)向量的基本要素大小和方向.(2)向量的表示:幾何表示法AB;字母表示：a a；坐標(biāo)表示法 a a=j j=(,) (3)向量的長(zhǎng)度：即向量的大小，記作a a.(4)特殊的向量：零向量a aO Oa aO O.單位向量 a aOa aO1. x 1 x 2 (5)相等的向量：大小相等，方向相同(1，1)（2，2）(6) 相反向量：a a=-b bb b=-a aa a+b b=0 0 y y 2 1 (7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱(chēng)為平行向量.記作 a ab b.平行向

2、量也稱(chēng)為共線向量. 3.向量的運(yùn)算 運(yùn)算類(lèi)型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì) rrrr ab ba 向量的 加法 1.平行四邊形法則 2.三角形法則 rr ab (x 1 x 2 , y 1 y 2 ) rrrrrr (a b)c a (bc) AB BC AC 向量的 減法 三角形法則 rr ab (x 1 x 2 , y 1 y 2 ) rrrr a b a (b) uuu ruuu r AB BA,OBOAAB rr (a) ()a r 1. a 是 一 個(gè) 向 量 , 滿(mǎn) 數(shù) 乘 向 量 rr 足:|a| a| rr 2.0 時(shí), a與a同向; rr 0 時(shí),a與a異向; r a (x,y)

3、rrr ()a aa rrrr (a b) a b rr =0 時(shí),a 0. r r ab是一個(gè)數(shù) 向 量 的 數(shù) 量 積 rrrr a/b a b r rr r ab ba rrrrr r (a)ba(b)(ab) rrrr 1.a 0或b 0時(shí)， r r ab 0. rrrr a 0且b 0時(shí)， 2.r rr r ag b |a|b|cos(a,b) r r ab x 1x2 y 1 y 2 rrrr rr r (a b)c acbc r 2 r 2 u r a |a| 即|a|= x2 y2 r rr r |ab|a |b| 4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理:e e1，e e2

4、是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù) 1，2，使 a a1e e12e e2. (2)兩個(gè)向量平行的充要條件a ab ba ab b( (b b0 0)x1y2x2y1O. (3)兩個(gè)向量垂直的充要條件a ab ba ab bOx1x2y1y2O. (4)線段的定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)P分有向線段P 1P PP 1P2 所成的比為，即P 2 ， 則 OP 11 OPOP 2 (線段的定比分點(diǎn)的向量公式) 1 11 x y x 1 x 2 x 1 x 2 ,x , 1 1 (線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)當(dāng)1 時(shí)，得中點(diǎn)公式OP（ 2 OP 1 OP 2 ）或 2y 1

5、 y 2 y y 2 y 1. 12 (5)平移公式 設(shè)點(diǎn)P(x，y)按向量 a a（，）平移后得到點(diǎn)P（x，y） ，則 OP OP+a a 或 x x h, y y k. 曲線 yf（x）按向量 a a（，）平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：yf（x) (6)正、余弦定理 正弦定理： abc 2R.余弦定理：a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC. sin Asin BsinC （7）三角形面積計(jì)算公式： 設(shè)ABC 的三邊為 a，b，c，其高分別為 ha，hb，hc，半周長(zhǎng)為 P，外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R，r. S=1/2aha=1/2bhb=1/2

6、chcS=PrS=abc/4R S=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinAS=PP aP bP c海倫公式 S=1/2（b+c-a）ra如下圖=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb 注：到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)有4 個(gè)，一個(gè)是內(nèi)心，其余3 個(gè)是旁心. A AA A cb c cD a B CF b b E FO DE r FI rC B r a aE C a a a B 1圖圖2圖3B圖4 I N C 圖 1 中的 I 為 SABC的內(nèi)心， S=Pr圖 2 中的 I 為 SABC的一個(gè)旁心，S=1/2（b+c-a）ra 附：三角形的五個(gè)“心”； 重心：三角形

7、三條中線交點(diǎn). 外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一 點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點(diǎn). 已知O 是ABC 的內(nèi)切圓，若 BC=a，AC=b，AB=c 注：s 為ABC 的半周長(zhǎng),即 a bc 2 則：AE=s a=1/2（b+c-a）BN=sb=1/2（a+c-b） FC=s c=1/2（a+b-c） 綜合上述：由已知得，一個(gè)角的鄰邊的切線長(zhǎng)，等于半周長(zhǎng)減去對(duì)邊（如圖4）. abcab 特例：已知在 RtABC，c 為斜邊，則內(nèi)切圓半徑 r=（如圖 3）. 2abc 在ABC 中，有下列等式成

8、立tan AtanBtanC tan AtanBtanC. tan Atan B 證明：因?yàn)锳 B C,所以tanA B tanC，所以 tanC，結(jié)論！ 1tan Atan B AC2BD AB2BC 在ABC 中，D 是 BC 上任意一點(diǎn)，則AD BDDC. BC 2 A 證明：在ABCD 中，由余弦定理，有AD2 AB2BD22 ABBDcosB AB2BC2AC2 在ABC 中，由余弦定理有cosB ，代入，化簡(jiǎn) 2ABBC B D C AC2BD AB2BC 可得，AD BDDC（斯德瓦定理） BC 2 圖 5 若 AD 是 BC 上的中線，ma 若 AD 是 BC 上的高，ha 2

9、 a 12 2b2 2c2a2； 若 AD 是A 的平分線，t a 其中p為半周長(zhǎng)；bc ppa， 2bc ppapbpc，其中p為半周長(zhǎng). ABC 的判定：c2a2b2ABC 為銳角A + B 2 2 c2a2b2ABC 為直角A + B = c2a2b2ABC 為鈍角A + B 2 222 附：證明：cosC a b c ，得在鈍角ABC 中，cosC 0 a2b2c2 0,a2b2c2 2ab 平行四邊形對(duì)角線定理：對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和. a b2a b2 2(a2b2) 空間向量空間向量 1 1空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向

10、量 注：空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量注：空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示 向量一般用有向線段表示向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量 2 2空間向量的運(yùn)算空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下 OB OA AB a bBA OAOB a bOP a(R) 運(yùn)算律：加法交換律：運(yùn)算律：加法交換律：a b b a加法結(jié)合律：加法結(jié)合律：(a b)

11、c a (b c)數(shù)乘分配律：數(shù)乘分配律：(a b) a b 3 3 共線向量共線向量 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量a平行于平行于b記作記作a /b 當(dāng)我們說(shuō)向量當(dāng)我們說(shuō)向量a、b共線（或共線（或a/b）時(shí)，表示）時(shí)，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線 4 4共線向量定理及其推論：共線向量定理及其推論： 共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b（b0），），a

12、/b的充要條件是存在實(shí)數(shù)的充要條件是存在實(shí)數(shù) ，使，使a b. . 推論：推論：如果如果l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn) A A 且平行于已知非零向量且平行于已知非零向量a的直線，的直線，那么對(duì)于任意一點(diǎn)那么對(duì)于任意一點(diǎn) O O，點(diǎn)點(diǎn) P P 在直線在直線l上的充要條件是存上的充要條件是存 在實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù) t t 滿(mǎn)足等式滿(mǎn)足等式OP OA ta其中向量其中向量a叫做直線叫做直線l的方向向量的方向向量. . uuu r rrr 5 5向量與平面平行：已知平面向量與平面平行：已知平面和向量和向量a，作，作OA a，如果直線，如果直線OA平行于平行于或在或在內(nèi)，那么我們說(shuō)向量?jī)?nèi)，那么我們說(shuō)向量a平行平行

13、r 于平面于平面，記作：，記作：a/通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的 r rrrr r r r 如果兩個(gè)向量如果兩個(gè)向量a,b不共線，不共線，p與向量與向量a,b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x, y使使p xa yb uuu ruuu ruuu r 推論：空間一點(diǎn)推論：空間一點(diǎn)P位于平面位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x, y，使，使MP xMA yMB或?qū)臻g任或?qū)臻g任 uuu ruuuu ruuu ruu

14、u r 一點(diǎn)一點(diǎn)O，有，有OP OM xMA yMB該式叫做平面該式叫做平面MAB的向量表達(dá)式的向量表達(dá)式 6 6共面向量定理：共面向量定理： 7 7 空間向量基本定理：空間向量基本定理： r r r rrrrr 如果三個(gè)向量如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y,z，使，使p xa yb zc uuu ruuu ruuu ruuu r 推論推論: :設(shè)設(shè) O,A,B,CO,A,B,C 是不共面的四點(diǎn)是不共面的四點(diǎn), ,則對(duì)空間任一點(diǎn)則對(duì)空間任一點(diǎn)P P, ,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)都存在唯一的三

15、個(gè)有序?qū)崝?shù)x, y,z, ,使使OP xOA yOB zOC 8 8 空間向量的夾角及其表示：空間向量的夾角及其表示： uuu r r uuu rr r r r r r r 已知兩非零向量已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)，在空間任取一點(diǎn)O，作，作OA a,OB b，則，則AOB叫做向量叫做向量a與與b的夾角，記作的夾角，記作 a,b ； r rr r r r r r r r r r 且規(guī)定且規(guī)定0 a,b ，顯然有，顯然有 a,b b,a ；若；若 a,b ，則稱(chēng)，則稱(chēng)a與與b互相垂直，記作：互相垂直，記作：a b. . 2 uuu r r uu u r rr 9 9向量的模：設(shè)向量的模：

16、設(shè)OA a，則有向線段，則有向線段OA的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：的長(zhǎng)度或模，記作：|a |. . uuu r rr r r r r r r 1010向量的數(shù)量積：向量的數(shù)量積： ab |a|b|cosa,b 已知向量 已知向量AB a和軸和軸l，e是是l上與上與l同方向的單位向量，作點(diǎn)同方向的單位向量，作點(diǎn)A在在 uuuu ruuu r r l上的射影 上的射影 A ，作點(diǎn)，作點(diǎn)B在在l上的射影上的射影 B ，則，則 AB 叫做向量叫做向量AB在軸在軸l上或在上或在e上的正射影上的正射影. . uuuu ruuu ruuuu r r rr r 可以證明可以證明 AB 的長(zhǎng)

17、度的長(zhǎng)度| AB| AB |cos a,e |ae | r r r r r 2 r rr rrr r 1111空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1 1）ae |a |cos a,e （2 2）a b ab 0（3 3）|a | aa 1212空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：空間向量數(shù)量積運(yùn)算律： r r rr rr r r r rr r rr r r r （1 1）(a)b (ab) a(b)（2 2）ab b a（交換律）（交換律）（3 3）a(b c) ab ac（分配律）（分配律） 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 （1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x 軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)）

18、， y 軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸）， z 軸是豎軸（對(duì) 應(yīng)為豎坐標(biāo)）. 令a=(a1,a2,a3),b (b 1 ,b 2 ,b 3 )，則 a b (a 1b1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 )a (a1,a 2 ,a 3)( R)ab a1b1a 2 b 2 a 3b3 ab a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R) a1a 2 a 3 a b a1b1a 2 b 2 a 3b3 0 b1b 2 b 3 a aa a 1 2a 2 2a 3 2 (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：a 2 aa a aa) a1b1a2b2a3b3 ab cos a,b | a |b |22222 a1a2a3 b12b2b3 空間兩點(diǎn)的距離公式：d (x2 x1)2(y2 y1)2(z 2 z1)2. （2）法向量：若向量a所在直線垂直于平面，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面，記作a ，如果a 那么向量a叫做 平面的法向量. （3）用向量的常用方法：利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n 是平面的法向量，AB 是平