高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(文)壓軸題沖關(guān)系列

1、壓軸題沖關(guān)系列(三) (時(shí)間：45 分鐘分?jǐn)?shù)：60 分) 1(2015貴州七校聯(lián)考)已知中心在原點(diǎn) O，左焦點(diǎn)為 F1(1,0)的橢圓 C 的左頂點(diǎn) 7 為 A，上頂點(diǎn)為 B，F(xiàn)1到直線 AB 的距離為 7 |OB|. (1)求橢圓 C 的方程； x2y2x2y2 (2)若橢圓 C1方程為：m2n21(mn0)，橢圓 C2方程為：m2n2(0，且 1)，則稱(chēng)橢圓C2是橢圓 C1的 倍相似橢圓已知C2是橢圓 C 的 3 倍相似橢圓，若 橢圓 C 的任意一條切線 l 交橢圓 C2于兩點(diǎn) M，N，試求弦長(zhǎng)|MN|的取值范圍 x2y2 解：(1)設(shè)橢圓 C1方程為a2b21(ab0)， xy 直線 A

2、B 方程為b1， a |bab|7 F1(1,0)到直線 AB 距離為 d 22 7 b， a b 化為 a2b27(a1)2， 又 b2a21，解得：a2，b 3. x2y2 橢圓 C1方程為 4 3 1. x2y2 (2)橢圓 C1的 3 倍相似橢圓 C2的方程為12 9 1. 若切線 m 垂直于 x 軸，則其方程為 x2，易求得|MN|2 6. 若切線 m 不垂直于 x 軸，可設(shè)其方程為 ykxm. 將 ykxm 代人橢圓 C1方程，得 (34k2)x28kmx4m2120， 48(4k23m2)0，即 m24k23，(*) 記 M，N 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2) 將

3、 ykxm 代人橢圓 C2方程，得 (34k2)x28kmx4m2360， 4m2368km x1x2，x x ， 34k2 1 2 34k2 |x1x2| x1x224x1x2 4 312k29m2 34k2 4 6 ， 234k 24 6 1k |MN| 1k2|x1x2| 234k 1 2 6134k2 34k23， 14 11 ， 34k23 1 即 2 62 614 2， 34k2 綜合，得弦長(zhǎng)|MN|的取值范圍為2 6，4 2 x2y22 2(2015廣西三市模擬)已知橢圓 C：a2b21(ab0)的離心率為 2 ，以原點(diǎn) 為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線 xy 20 相切

4、(1)求橢圓 C 的方程； (2)若過(guò)點(diǎn) M(2,0)的直線與橢圓 C 相交于兩點(diǎn) A， B， 設(shè) P 為橢圓上一點(diǎn)， 且滿足OA 2 5 OBtOP( O 為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)|PAPB| 3 時(shí)，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 c2 解：(1)由題意知，ea 2 ， c2a2b21 2所以 e a2 a2 2，即 a22b2. 又以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線xy 20 相切， 2 b1，則 a22. 11 x2 2故橢圓 C 的方程為 2 y 1. (2)由題意知直線 AB 的斜率存在 設(shè) AB 的方程為 yk(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， ykx2， 由x2 2 2

5、y 1， 得(12k2)x28k2x8k220. 64k44(2k21)(8k22)0， 1 解得 k22， 8k228k2 且 x1x2 2，x1x22.12k12k OB tOP ，OA (x1x2，y1y2)t(x，y) |2 5；當(dāng) t0 時(shí)，不滿足|PAPB 3 當(dāng) t0 時(shí)，解得 xx1x2 8k2 tt12k2， y1y2 kx1x24k4k2 y t t t12k2， 點(diǎn) P 在橢圓x 2 2 y21 上， 8k224k2 t212k222t212k222， 化簡(jiǎn)，得 16k2t2(12k2)， |PAPB |2 5 3 ， 1k2|x 2 5 1x2|3 ， 化簡(jiǎn)，得(1k2

6、)(x1x2)24x 20 1x29 ， (1k2) 64k48k2220 12k22412k2 1 4， 即1k21 42， 16k2t2(12k2)， t2 16k2 12k28 8 12k2， 2t2 6或2 6 33 0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)1，離心率 2 3 為 2 . (1)求橢圓 C 的方程； (2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線 l 與橢圓 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，以AB 為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原 3 點(diǎn)，且線段 AB 的垂直平分線交 y 軸于點(diǎn) P 0，2，求直線 l 的方程 x 解：(1)由題意得 13 a 4b 1， 22 c3 a2 ， a2， 解得 b1. x2 2所以橢圓 C 的方程是 4 y

7、1. (2)解法一：設(shè)直線的方程設(shè)為 ykxt，設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)， ykxt， 聯(lián)立x2 2 4y 1， 消去 y，得 (14k2)x28ktx4t240， 8kt4t24 則有 x1x2，x x ， 14k2 1 2 14k2 04k22t2， 2t y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t， 14k2 y1y2(kx1t)(kx2t)k2x1x2kt(x1x2)t2 2222ktt 44t 4k 2k2 2t 2kt2 . 4k4k4k 因?yàn)橐?AB 為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)， 0x x y y 0.所以O(shè)A OB 1 21 2 t244t24k2 22x1x2y1y2

8、 22 05t 44k ， 14k14k 33 2204k 1t t 2 . 又設(shè) A，B 的中點(diǎn)為 D(m，n)，則 x1x24kt m 2 ， 14k2 y1y2t n 2 . 14k2 因?yàn)橹本€ PD 與直線 l 垂直， 3 2n 1t1 所以 kPDk得 ， m14k22 t 2 1， 由14k 2 5t244k2， t11， 解得3 t25， 3 當(dāng) t5時(shí)，0 不成立 1 當(dāng) t1 時(shí)，k2， 11 所以直線 l 的方程為 y2x1 或 y2x1. 解法二：設(shè)直線的 l 斜率為 k，設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中點(diǎn)為 D(x0，y0)， y1y2x1x2y1y2

9、 所以 k，x 2 ，y0 2 . x1x2 0 2x1 2 y1 4 1， 由題意 2x2 2 4y21， x1x2x1x21y1y2y1y21y0 ，得(y y )(y y )0 0 121244 x1x2x1x24kx0 0， 又因?yàn)橹本€ PD 與直線 l 垂直， 3 y02 所以 x k1. 0 1y0 4kx00， 由3 y 2 k1， x 0 0 y 0 1， 2 解得 x 02k. 設(shè)直線 l 的方程設(shè)為 yy0k(xx0)， 1 得 ykx2k22， 1 2 ykx2k 2， 聯(lián)立 2 消去 y，得 x 2 y 4 1， (14k2)x24k(k21)x(4k21)240， x1x22x04k， 4k2124 x1x2， 214k 224k 1 4 2 1 222 2k y1y2k22k (4k 1) 22 14k 2 1 242k 24k2