北京市房山區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）（通用）

1、房山區(qū)2020學(xué)年度第一期末期末檢測(cè)高三數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用交集定義直接求解【詳解】集合，B0，1，2，3，AB0，1，2故選：C【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算法則，先求出z，由此利用復(fù)數(shù)的定義能求出z的虛部【詳解】,故的虛部為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的虛部的求法，是基礎(chǔ)題，解題

2、時(shí)要認(rèn)真審題，注意復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的合理運(yùn)用3.等差數(shù)列中，若，為的前項(xiàng)和，則（ ）A. 28B. 21C. 14D. 7【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列下角標(biāo)性質(zhì)求得，再利用求和公式求解【詳解】等差數(shù)列中，若，則則故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等數(shù)列的前n項(xiàng)公式，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，熟練運(yùn)用等差數(shù)列下角標(biāo)性質(zhì)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題4.從年起，北京考生的高考成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)門(mén)統(tǒng)一高考成績(jī)和考生選考的3門(mén)普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績(jī)構(gòu)成等級(jí)性考試成績(jī)位次由高到低分為、，各等級(jí)人數(shù)所占比例依次為：等級(jí)，等級(jí)，等級(jí)，等級(jí)，等級(jí)現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級(jí)性考試的學(xué)生中抽取人作為樣本

3、，則該樣本中獲得或等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為（ ）A. 55B. 80C. 90D. 110【答案】D【解析】【分析】利用抽樣比求解【詳解】設(shè)該樣本中獲得或等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為，則 故選：D【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的定義與應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題5.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】將三視圖還原，利用三棱錐體積公式求解【詳解】三視圖還原為如圖所示的三棱錐：側(cè)面底面，且為等腰三角形，為直角三角形，故體積 故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及錐體體積，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題6.若點(diǎn)在角的終邊上，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【

4、解析】【分析】先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用任意角的三角函數(shù)的定義求出tan 的值,再利用二倍角公式求解【詳解】即為，則 故選：D【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，以及二倍角公式，屬于容易題7.已知雙曲線方程為，點(diǎn)，分別在雙曲線的左支和右支上，則直線的斜率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用直線的斜率與漸近線比較求解【詳解】由題雙曲線的漸近線斜率為，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，滿足題意，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，交雙曲線為同一支，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查漸近線斜率，是基礎(chǔ)題8.設(shè)，均為單位向量，則“與夾角為”是“”的（ ）A. 充分而不必要條件B.

5、 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用平方法求出向量夾角，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由“|平方得|2+|2+23，即1+1+23，得21，則cos，則與夾角，即“與夾角為”是“|”的充分必要條件，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合充分條件和必要條件的定義結(jié)合向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵9.如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，總有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（ ）A. 兩個(gè)點(diǎn)B. 線段C. 圓的一部分D. 拋物線的一部分【答案】B【解析】【分析】先找到一個(gè)

6、平面總是保持與垂直，取B1B的中點(diǎn)E，CB的中點(diǎn)F，連接AE，EF，在正方體ABCDA1B1C1D1中，可得AF面DMD1， MD1平面AEF即可得出【詳解】如圖，先找到一個(gè)平面總是保持與垂直，取B1B的中點(diǎn)E，CB的中點(diǎn)F，連接AE，EF，AF,在正方體ABCDA1B1C1D1中，易證DMAF，AF，則有AF面DMD1，同理MD1AE，則MD1平面AEF又點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平面的基本性質(zhì)得：點(diǎn)P的軌跡為面AEF與面BCC1B1的交線段EF故選：B【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定與正方體的幾何特征、軌跡的求法、平面的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象力屬于基礎(chǔ)題10.已知某

7、校運(yùn)動(dòng)會(huì)男生組田徑綜合賽以選手三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的綜合積分高低決定排名具體積分規(guī)則如表1所示，某代表隊(duì)四名男生的模擬成績(jī)?nèi)绫?表1 田徑綜合賽項(xiàng)目及積分規(guī)則項(xiàng)目積分規(guī)則米跑以秒得分為標(biāo)準(zhǔn)，每少秒加分，每多秒扣分跳高以米得分為標(biāo)準(zhǔn)，每多米加分，每少米扣分?jǐn)S實(shí)心球以米得分為標(biāo)準(zhǔn)，每多米加分，每少米扣分表2 某隊(duì)模擬成績(jī)明細(xì)姓名100米跑（秒）跳高（米）擲實(shí)心球（米）甲乙丙丁根據(jù)模擬成績(jī)，該代表隊(duì)?wèi)?yīng)選派參賽的隊(duì)員是：（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】由得分規(guī)則計(jì)算甲乙丙丁四人各項(xiàng)得分進(jìn)行判斷即可【詳解】由題，甲各項(xiàng)得分為：100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；擲實(shí)心球

8、60+15=75；則總分為45+64+75=184乙各項(xiàng)得分為：100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；擲實(shí)心球60-5=55，則總分為80+70+55=205丙各項(xiàng)得分為：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；擲實(shí)心球60+10=70，則總分為65+66+70=201丁各項(xiàng)得分為：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；擲實(shí)心球60+5=65，則總分為55+62+65=182,綜上，乙得分最多故選：B【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)據(jù)分析及決策問(wèn)題，理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11.已知兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓的方程為_(kāi)【答案】【解析】分

9、析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求圓心為（1，1），求兩點(diǎn)間距離公式求AB的長(zhǎng)并得出半徑為，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可【詳解】直徑的兩端點(diǎn)分別為（0，2），（2，0），圓心為（1，1），半徑為，故圓方程為（x1）2+（y1）2=2故答案為（x1）2+（y1）2=2【點(diǎn)睛】在確定圓的方程時(shí)，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程需要靈活選擇，一般情況下易于確定圓或半徑時(shí)選擇標(biāo)準(zhǔn)方程，給出條件是幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，兩種形式都可以此題選擇標(biāo)準(zhǔn)形式較簡(jiǎn)單12. 函數(shù)f(x)(x1)(xa)是偶函數(shù)，則f(2)_【答案】3【解析】由f(x)f(x)，得a1，f(2)3.13.已知數(shù)列滿足，且其前項(xiàng)和滿足，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合上述條件的數(shù)列的通項(xiàng)

10、公式 _【答案】或（答案不唯一）【解析】【分析】判斷數(shù)列的特征，從數(shù)列的性質(zhì)入手考慮解答【詳解】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且nN*，an+1an，說(shuō)明數(shù)列是遞增數(shù)列；，說(shuō)明數(shù)列項(xiàng)為負(fù)數(shù)；故數(shù)列的通項(xiàng)公式或（答案不唯一）故答案為：或（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查14.已知，若的最小正周期為_(kāi)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，則_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用周期公式求解周期，利用函數(shù)取最大值得值【詳解】由題，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，則函數(shù)在取最大值，故，又 故答案為：， 【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的最值，熟記函數(shù)性質(zhì)是關(guān)鍵，是基

11、礎(chǔ)題15.已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是_；若函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）分段求值域，再求并集可得f（x）的值域；（2）轉(zhuǎn)化為f（x）在上與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，分離a求值域可得實(shí)數(shù)a的取值范圍【詳解】（1）當(dāng)a1時(shí)，即當(dāng)x1時(shí)，f（x），當(dāng)x1時(shí)，f（x）2-x1，綜上所述當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是，（2）由無(wú)解，故f（x）在上與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則有一個(gè)零點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，屬于中檔題，16.已知矩形中，當(dāng)每個(gè)取遍時(shí)，的最小值是_

12、，最大值是_【答案】 (1). 0 (2). 【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，向量坐標(biāo)化求模長(zhǎng)的最值即可【詳解】建立如圖所示坐標(biāo)系： ,則由題意若使模長(zhǎng)最大，則 不妨設(shè)為則當(dāng)時(shí)模長(zhǎng)最大為當(dāng)時(shí)模長(zhǎng)最小值為0故答案為：0； 【點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)化的應(yīng)用，建立坐標(biāo)系是關(guān)鍵，考查推理能力，考查計(jì)算與推理能力，是難題三、解答題共6題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。17.如圖，在平面四邊形中，.（1）求的值；（2）求，的值.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系得，利用兩角和的正弦及內(nèi)角和定理展開(kāi)求解即可（2）利用正弦定理得，再利用余弦定理求解【詳解】

13、（1），在中，（2）在中，由正弦定理得，即解得，在中，根據(jù)余弦定理，解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題18.某貧困縣在政府“精準(zhǔn)扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展養(yǎng)茶業(yè)該縣農(nóng)科所為了對(duì)比A，B兩種不同品種茶葉的產(chǎn)量，在試驗(yàn)田上分別種植了A，B兩種茶葉各畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)（單位：千克）如下：A：，； B：，；（1）從A，B兩種茶葉畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中各任取1個(gè)，求這兩個(gè)數(shù)據(jù)都不低于的概率；（2）從B品種茶葉的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中任取個(gè)，記這兩個(gè)數(shù)據(jù)中不低于的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為選擇該縣應(yīng)種植茶葉A還是

14、茶葉B？說(shuō)明理由【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，；（3）答案不唯一，見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用古典概型結(jié)合獨(dú)立事件的概率求解（2）利用超幾何分布求解（3）利用平均數(shù)和中位數(shù)大小比較即可【詳解】（1）從A種茶葉畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，不低于55的有11個(gè)，從B種茶葉畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，不低于55的有4個(gè)，設(shè)“所取兩個(gè)數(shù)據(jù)都不低于55”為事件，則（2）的所有可能取值為，的分布列為012期望（3）如果選擇A，可以從A的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)的中位數(shù)或平均值比B高等方面敘述理由如果選擇B，可以從B的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)比A的方差小，比較穩(wěn)定等方面敘述理由【點(diǎn)睛】本題考查古典概型及獨(dú)立事件的概率，考查超幾何分布，理解平均數(shù)

15、中位數(shù)及方差的意義是關(guān)鍵，是中檔題19.如圖，在四棱錐中，平面，為等邊三角形，分別為棱，的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，【解析】【分析】（1）證明和即可證明（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，得，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸如圖建系，求得兩平面的法向量，利用二面角向量公式求解（3）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，且設(shè)，求得平面的法向量，利用得【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，又因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，所以平面（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則易知，因?yàn)闉榈冗吶切危?/p>

16、所以以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸如圖建系，設(shè)平面的法向量，則：，即，令，得平面的一個(gè)法向量，易知平面的一個(gè)法向量為所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為（3）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，且設(shè)，則，則，要使得平面，則，得，所以線段上存在點(diǎn)，使得平面，【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定，考查向量法求解二面角及線面平行問(wèn)題，考查計(jì)算能力，是中檔題20.已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求橢圓的方程以及離心率；（2）若直線與橢圓相切于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)在軸是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1），；（2）存在定點(diǎn)，為【解析】【分析】（1）利用，求解方程（2）設(shè)直線方程為，與橢

17、圓聯(lián)立利用判別式等于0得，并求得切點(diǎn)坐標(biāo)及，假設(shè)存在點(diǎn) ，利用化簡(jiǎn)求值【詳解】（1）由已知得，橢圓的方程為，離心率為；（2）在軸存在定點(diǎn)，為使，證明：設(shè)直線方程為代入得，化簡(jiǎn)得由，得，設(shè)，則，則，設(shè)，則，則假設(shè)存在點(diǎn) 解得 所以在軸存在定點(diǎn)使【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查切線的應(yīng)用，利用判別式等于0得坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,是中檔題21.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)求導(dǎo)得直線的斜率利用點(diǎn)斜式得方程(2)求導(dǎo)構(gòu)造新函數(shù)證明即可【詳解】（1）由，得，則切線方程為.（2），令，故在上單調(diào)遞增. 又，又在上連續(xù)，使得，即，.（*）隨的變化情況如下：極小值. 由（*）式得，代入上式得. 令，故在上單調(diào)遞減.，又，.即.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的集合意義,考查導(dǎo)數(shù)證明不等式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值是解題的關(guān)鍵,考查推理及變形能力,是中檔題22.設(shè)為給定不小于的正整數(shù)，考察個(gè)不同的正整數(shù)，構(gòu)成的集合，若集合的任何兩個(gè)不同的非空子集所含元素的總和均不相等，則稱集合為“差異集合”（1）分別判斷集合，集合是否是“差異集合”；（只需寫(xiě)出結(jié)論）（2）設(shè)集合是“差異集合”，