數學秋季人教版教案八年級1三角形的邊角關系

1、第第 1 1 講講三角形的邊角關系三角形的邊角關系 教學內容教學內容 佳一動態(tài)數學思維秋季人教版，八年級第 1 講“三角形的邊角關系”. 教學目標教學目標 知識技能知識技能 1.結合具體實例，使學生掌握三角形邊角關系定理及推論；并掌握三角形的高、中線、角 平分線以及外角等概念及性質. 2.通過觀察、操作、想象、推理、交流等活動，提高同學們推理能力和有條理地表達能力. 數學思考數學思考 1.通過合作探索理解并掌握三角形邊角關系的一些性質， 培養(yǎng)學生抽象概括與觀察類推的 能力. 2.以學生為課堂的主體，讓學生以自主探究、合作交流、分析討論、概括總結等來調動其 學習積極性和主動性. 問題解決問題解決

2、 1.運用三角形的有關知識解決相應的數學問題. 2.在探究活動中，學會與人合作并能與他人交流思維的過程和探索的結果. 情感態(tài)度情感態(tài)度 在解決與三角形有關的問題時，鍛煉學生推理，歸納的能力. 教學重點和難點教學重點和難點 教學重點教學重點 三角形邊角的關系，三角形的重要線段，三角形的內角和定理以及三角形的外角定理. 教學難點教學難點 難點：三角形的重要線段的掌握. 教與學互動設計教與學互動設計 動畫多媒體語言課件 第一課時第一課時 教學路徑 導入： 學生活動方案說明 老師：同學們，在前幾次課中表現的非常好。希望大家繼續(xù)加油！ 我們今天學習一種大家非常熟悉的平面圖形，你們認識下面這幾個圖形 嗎？

3、 學生： 。 。 。 學生相互探 運用生活 討 的實際問 題來激起 學習的興 趣 老師：同學們，說的非常好。本節(jié)課我們將要繼續(xù)研究三角形，同學們， 你能用你所知道的三角形的知識解下面這道題嗎？ (課件出示) 小穎的媽媽是某公司的一名工程師，她制作一個零件的 形狀如圖所示，按規(guī)定BAC=90，B=21，C=20，檢查工人量 得BDC=130，就斷定這個零件不合格，你能運用所學的知識說出其 中的道理嗎？ 小穎（點擊頭像出示） ：連接 AD 并延長（動畫展示） ，如圖（1）所示. 因為1=3+C，2=4+B， 所以1+2=3+C+4+B=（3+4）+C+B=BAC+B+C. 所以1+2=90+21+

4、20=131，即BDC=131. 由于零件中BDC=130，所以可以斷定這個零件不合格. 小萍： （點擊頭像出示）延長 CD 交 AB 于 E（動畫展示） ，如圖（2）所示， 因為1=C+A，CDB=1+B， 所以BDC=C+A+B=20+90+21=131. 由于零件中BDC=130，所以可以斷定這個零件不合格. 老師：同學們，我們現在各小組交流討論一下，關于三角形我們都學過 教師引導學 哪些內容嗎？ （同學們討論，然后讓同學們說，最后老師總結一下） 回顧 1.三角形的概念 定義：由_直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三 角形.（下一步：在橫線上填上：不在同一條） 2.三角形的分類

5、 按角分： 銳角三角形 三角形直角三角形 鈍角三角形 生復習（如 果三角形的 外角，三角 形的角平分 線，三角形 的高還沒有 學，可以由 老師當做新 課講解） 按邊分： 三邊都不相等的三角形 三角形底邊和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等邊三角形 3.三角形的重要線段 在三角形中，最重要的三種線段是三角形的中線、三角形的角平分線、 三角形的高. 說明： （1）三角形的三條中線的交點在三角形的_ _部.（下一步：在 橫線上填上：內） （2）三角形的三條角平分線的交點在三角形的_部.（下一 步：在橫線上填上：內） （3）_三角形的三條高的交點在三角形的內部；_三 角形的三條高的交點是三角形的頂點

6、；_ _三角形的三條高所在直線 的交點在三角形的外部.（下一步：在橫線上分別填上：銳角 直角 鈍 角） 4.三角形三邊的關系 定理：三角形任意兩邊的和 _第三邊. 推論：三角形任意兩邊的差第三邊. （下一步：在橫線上分別填上：大于 小于） 說明：運用“三角形中任意兩邊的和大于第三邊”可以判斷三條線段能 否組成三角形；判斷三條線段能否組成三角形也可以直接檢驗較小的兩 邊的和是否大于第三邊. 5.三角形各角的關系 定理：三角形的內角和是_度； 推論： （1）當有一個角是 90時，其余的兩個角的和為 90. （2）三角形的任意一個外角_和它不相鄰的兩個內角的和. （3）三角形的任意一個外角_任意一個

7、和它不相鄰的內角. （下一步：在橫線上分別填上：180等于 大于） 說明：任一三角形中，最多有三個銳角，最少有兩個銳角；最多有一個 鈍角；最多有一個直角. 老師：同學們，你能利用三角形所學的知識解決下面的問題嗎？讓我們 來試試. 探究類型之一探究類型之一三角形的計數三角形的計數 例 1如圖，平面上有 A、B、C、D、E 五個點，其中 B、C、D 及 A、E、 C 分別在同一條直線上，那么以這五個點中的三個點為頂點的三角形有 （） A.4 個 B.6 個 C.8 個 D.10 個 學生獨立完成此題. 師指定學生講解，并總結解決此類題的方法. 師：這類型題目只要我們牢牢記?。喊凑找欢ǖ捻樞騺頂挡拍?/p>

8、保證不重 不漏 解析：解析：連接 AB，AD，BE，DE（用動畫展示） ，如圖. 滿足條件的三角形有ABE, ADE, BCE, ECD, ABC, ACD, BED, ABD. 答案答案: :在括號中出示答案在括號中出示答案 C C 老師總結：分類討論是三角形的計數中常見的思路方法. 老師：同學們，下面讓我們再來看看怎么利用三角形的三邊關系來解決 問題吧. 探究類型之二探究類型之二三角形的三邊關系三角形的三邊關系 類似性問題 2現有 3 cm，4 cm，7 cm，9 cm長的四根木棒，任取其中 三根組成一個三角形，那么可以組成的三角形的個數是（） A.1 B.2 C.3 D.4 學生獨立完成

9、本題，老師指定學生講解，其他同學指正. 課件出示解析：運用“三角形中任意兩邊的和大于第三邊”可以判斷三 條線段能否組成三角形， （下一步）也可以利用檢驗較小的兩邊的和是 否大于第三邊來判斷三條線段能否組成三角形. 課件出示答案 B 老師總結： 利用三角形的三邊關系來確定三條線段能否組成三角形. 師：讓我們來看看怎么做下面這道題？ 例 2邊長為整數， 周長為 20 的等腰三角形的個數是4 （換顏色出 現） . 師：三角形的周長等于三角形三邊長的和.因為等腰三角形的周長固定 和這個三角形的邊長整數，我們能得到什么呢？ 學生：能求出一邊長的取值范圍，進而能確定這邊可能的取得整數值. 師： 如果我們設

10、三角形的三邊長分別為 a,b,c,那你能得到什么他們三者 滿足什么關系？ 分類討論 生 1：三角形的三邊長分別為 a,b,c,a+b+c=20， 生 2：利用三角形三邊的關系我們能得到三個不等式。 師：同學們，說得非常好。我們會發(fā)現只通過這兩個條件我們找到一邊 的取值范圍還是很大？那我們還能怎么做呢？ 師：我們是不是可以假定 a,b,c 的大小關系，設 abc，這樣我們是 能得到一個相對來說更小的一個范圍呢？ 學生獨立計算，然后找學生說說自己的答案，然后找其他同學指正，最 后老師點評. 課件出示解析：根據三角形的周長及三角形的三邊關系建立不等式和方 程，求出三角形中一邊長的范圍，再求出其正整數

11、解，進而求出滿足條 件的等腰三角形的個數. 課件出示答案： 設三角形的三邊長分別為 a,b,c 且 abc,a+b+c=20，則 a7,又由 b+ca 得 a10,所以 7a10,所以 a 可能的整數值為 7,8,9. （下一步）所以（a,b,c）為（9,9,2） ， （9,8,3）,(9,7,4),(9,6,5),(8,8,4),(8,7,5),(8,6,6),(7,7,6),其中 等腰三角形有（9,9,2） ， （8，8, 4） ， （8, 6，6） ， （7，7,6）. 師：前面我們研究在一個圖形中到底有幾個三角形，還有三角形的三邊 關系.同學們，我們是不是該研究三角形的角之間有什么關系

12、了？ 探究類型之三三角形的內角和定理 例 3已知三角形三個內角的度數分別是 x，y，z，且 x+ yz，則這個 三角形是（） A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形 學生獨立完成本題，老師指定學生講解，其他同學指正. 師：注意強調三角形的內角和為 180，是在求跟三角形有關的角的度 數時經常要使用的隱含條件. 課件出示解析： 根據三角形內角和定理， 得 x+y+z=180.(下一步)結合 x+yz， 求得 z 的取值范圍,進而可以判斷三角形的形狀. 課件出示答案： 解： 因為已知三角形的三個內角度數分別為 x，y，z， 所以 x+y+z=180，又 x+yz，所以 18

13、0-z90， 所以這個三角形是鈍角三角形.故選 C. 老師總結：利用三角形內角和為 180建立等量關系是解決三角形跟角 有關問題的一個隱含條件. 老師：同學們，你們能應用三角形的有關角的知識解決下面這道題嗎? 讓我們來看看. 例 4如圖（1） ，有一個五角星形 ABCDE 的圖案， （1）你能說明A+ B+C+D+E=180嗎？ 探究多種解 法 （下一步出示） （2）當 A 點向下移動到 BE 上如圖（2），上述結論是 否仍然成立？（3）當 A 點移到 BE 的另一側如圖（3），上述結論是 否仍然成立？請說明理由. 老師：同學們，這道題跟我們所學的三角形有什么關系？你發(fā)現了什 么？你有什么思路

14、嗎？ 找同學說說自己的解題思路，最后由老師講解. 課件出示方法一： （1）連接 CD（做動畫）.將A,B,C,D,E 的和轉化為ACD 的 內角和. 課件出示答案： 解： （1）以題圖（1）為例，說明如下： 方法一：如圖，連接 CD，設 BD 與 EC 相交于點 F,如圖. 在BEF 中， B+E+3=180 在CDF 中，1+2+4=180， 所以B+E+3=1+2+4 所以B+E=1+2 在ACD 中，A+ACD+ADC=180， 即A+ACF+1+ADF+2=180， 所以A+ACF+ADF+B+E=180. 方法二：課件出示解析：利用三角形內角和定理和三角形外角的性質來 求即可. 課件

15、出示答案:解：以題圖（1）為例，說明如下：設CE 與 BD、AD 相交 于 F,如圖. 在BEF 中，B+E+1=180. 因為2=A+C，1=2+D, 所以1=A+C +D， 所以A+B+C+D+E=180. 下一步（下一步（2 2） （3 3） ： 在老師的指導下，同學們自己完成（2）和（3）. 老師總結： （1）在我們解決一些新問題時，往往需要我們將其轉化為比 較熟悉的問題，再加以解決. （2）本例中出現的“對頂三角形” （如圖） ，有如下結論：1+2 3+4. 第二課時第二課時 教學路徑學生活動學生方案 老師：我們前面主要研究三角形的內角之間的關系，我們接下來研 究怎么利用三角形的外角

16、的性質來解決問題.同學們， 你還記得什么 是三角形的外角？三角形的外角有什么性質? 老師找同學回答. 老師： 同學們回答的非常好， 我們都記住三角形的外角概念及性質， 接下來我們看看同學們對三角形的外角知識的運用是不是也很熟練 呢？看下面的題. 探究類型之四探究類型之四三角形的外角和三角形的外角和 例 5如圖，ABC 中，A，B，C 的外角分別記為， ，若：=3 ：4 ：5，則A ：B ：C =（） A.3 ：2 ：1 B.1 ：2 ：3 C.3 ：4 ：5 D.5 ：4 ：3 找學生獨立解題，老師指定學生說說自己的解題步驟，其他同學指 正. 師：注意強調三角形的內角和為 360，是在求跟三角

17、形有關的角 學生獨立完 的度數時經常要使用的隱含條件 成 課件出示解析： 設=3x,=4x,=5x.(下一步)根據三角形的外角和等于 360列方程，再求A，B，C 的度數. 課件出示答案： 解：設=3x，=4x，=5x，則 3x+4x+5x=360. 解得 x=30. 即=90，=120，=150， 所以A=180-=180-90=90， B=180-=180-120=60， C=180-=180-150=30, 所以A ：B ：C=90：60：30=3：2：1. 老師引導學生說出： （1）三角形的外角和等于 360； （2）方程思想是解決幾何計算問題時常用思想. 類似性問題 5.將一副直角三

18、角板如圖放置，使含 30角的三角板的短直角邊和 含 45角的三角板的一條直角邊重合，則1 的度數為 . 由同學們自己獨立完成，老師請同學回答具體的做題步驟，老師最 后出示答案. 課件出示答案：75. 類似性問題 6.如圖所示，求A+B+C+D+E+F 的度數. 請同學們思考： 1、 此題能用前面所講的例 4 的解題方法來解嗎？ 2、 這道題能利用三角形的外角的性質來解嗎？ 由學生回答問題，老師講評. 學生獨立完 成 探求多種解 法 課件出示解析：方法一：設 BE，CF，AD 相互交于 G，H，K，如圖. HGC=B+C, GHD=D+E, FKH=A+F.又因為HGC， GHD，FKH 是GK

19、H 的外角，所以HGC+GHD+FKH=360. 所以A+F+B+C+D+E=360. 方法二：設 BE，CF，AD 相互交于 G，H，K，如圖. 因為在AFK 中，A+F+4=180, 在BCG 中，B+C+5=180, 在EDH 中，D+E+6=180, 所以A+F+4+B+C+5+D+E+6=1803540. 又因為1+3+2180，14，25，36， 所以A+F+B+C+D+E=360. 探究類型之五探究類型之五三角形與平行線的綜合運用三角形與平行線的綜合運用 例 6如圖，直線 ACBD，連接 AB，直線 AC,BD 及線段 AB 把平面 分成.四部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分.當

20、動點 P 落在某個部分時，連接 PA,PB，構成PAC，APB，PBD 三個角. （提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角的度數是 0） （1）當動點 P 落在第部分時，求證：APB=PAC+PBD； （2） 當動點 P 落在第部分時， APB=PAC+PBD 是否成立 （直 接回答成立或不成立）？ （3）當動點 P 在第部分時，全面探究PAC，APB，PBD 之 間的關系， 并寫出動點 P 的具體位置和相應的結論.選擇其中一種結 論加以證明. （1） 學生自己獨立思考，由學生自己獨立完成此題的（1） ，老師 請同學說說自己的解題思路. 生 1：延長 BP 交直線 AC 于點 E. ACB

21、D，PEA=PBD. APB=PAE+PEA, APB=PAC+PBD. 生 2：過點 P 作 FPAC， PAC=APF. ACBD， FPBD. FPB=PBD.APB=APF+FPB=PAC+PBD. 師：如果在第二部分上述結論是不是成立？說說你的理由. 生：不成立，直接通過畫圖來說明就可以. （3）對于第三問，學生分組討論動點 P 的具體位置都可以在哪里. 會有什么樣的結論. 生 1：動點 P 在射線 BA 的右側 生 2：動點 P 在射線 BA 上 生 3：動點 P 在射線 BA 的左側. 學生獨立完成解題過程，然后找學生說說自己的答案 ,最后老師點 評. （1）解法一：課件出示解析

22、：延長BP 交 AC 于點 E，運用平行線的 性質和三角形外角定理. 課件出示答案: 分類討論 ACBD,PEA=PBD. APB=PAE+PEA, APB=PAC+PBD. 解法二：課件出示解析：利用平行線的性質來解題. 課件出示答案： 證明：如圖（2） ，過點 P 作 FPAC(做動畫)，如圖. PAC=APF. ACBD, FPBD. FPB=PBD. APB=APF+FPB=PAC+PBD. （2）課件出示解析： 動畫畫圖 課件出示答案: 由觀察可知：不成立. （3）課件出示解析:運用平行線的性質或三角形外角的性質即可. 課件出示答案： （a）當動點 P 在射線 BA 的右側時，結論是

23、PBD=PAC+APB. （證明）按鈕：如圖（3） ，連接PA,PB（作動畫） ，設PB 交 AC 于 M， 如圖. 證明：如圖（1） ，延長 BP 交直線 AC 于點 E(用動畫)，如圖. ACBD，PMC=PBD. 又 PMC=PAM+APM， PBD=PAC+APB . （b） 當動點 P 在射線 BA 上時， 結論是PBD=PAC+APB 或PAC= PBD+APB 或APB=0，PAC=PBD（任寫一個即可）. （證明）按鈕（證明）按鈕：證明：如圖（4）. 點 P 在射線 BA 上，APB=0. ACBD ，PBD=PAC，PBD=PAC+APB 或PAC= PBD+APB 或APB

24、=0，PAC=PBD. （c）當動點 P 在射線 BA 的左側時，結論是PAC=APB+PBD. （證明）按鈕證明）按鈕：證明： 如圖（5） ，連接 PA，PB(做動畫)，設 PB 交 AC 于 F，如圖. ACBD ，PFC=PBD. PAC=APF+PFA， PAC=APB+PBD. 老師總結：老師總結：解此類探索性命題的關鍵是由圖形提供的信息，探索、 猜想、歸納出點在不同位置上有關角之間的變化規(guī)律. 師：前面講的你都學會了嗎？下面讓我們做幾道練習題來練一練. 類似性問題 1： 1.如圖所示，已知ABC 是直角三角形，且BAC=30，直線EF 與 ABC 的兩邊 AC,AB 分別交于 M,

25、N,那么CME+BNF=（） A.150 B.180 C.135 D.不能確定 學生獨立完成，師指定學生說說自己的解題思路，其他同學指正 3.如圖，在折紙活動中，小明制作了一張ABC 紙片，點 D,E 分別 在邊AB， AC上， 將ABC沿著DE折疊壓平， A與A重合， 若A=75， 則1+2= （） A.150 B.210 C.105 D.75 學生獨立完成，師指定學生說說自己的解題思路，其他同學指正 課件出示解析：ADE 是由ABC 沿 DE 翻折變換而成， AED=AED，ADE=ADE，A=A=75， AED+ADE=AED+ADE=180-75=105， 1+2=360-2105=1

26、50 4.如圖， BDC=98， C=38， B=23， 則A 的度數是 （） A.150 B.210 C.105 D.75 學生獨立完成，老師找學生說說自己的解題思路. 課件出示解析：連接 AD 并延長（作動畫）.利用三角形的外角性質 可得BDC=BAC+B+C. 課堂總結課堂總結 我們對三角形的有關性質有了進一步的理解，希望大家在以后的學 習中能繼續(xù)和老師一起學習. 類似性問題：類似性問題： 1.A 2.B 3.A 解析：ADE 是由ABC 沿 DE 翻折變換而成， AED=AED，ADE=ADE，A=A=75， AED+ADE=AED+ADE=180-75=105， 1+2=360-2105=150故選 A 4. C 5. 75 6.方法一：解：設 BE，CF，AD 相互交于 G，H，K，如圖. HGC=B+C, GHD=D+E, FKH=A+F.又因為HGC， GHD，FKH 是GKH 的外角，所以HGC+GHD+FKH=360. 所以A+F+B+C+D+E=360. 方法二： 解：設 BE，CF，AD 相互交于 G，H，K. 因為在AFK 中，A+F+4=180, 在BCG 中，B+C+5=180, 在EDH 中，D+E+6=180, 所以A+F+4+B+C+5+D+E+6=1803540.又因為1+3+2180， 14，25，36，所以A+F+B+C+D