2020高三數學 附加題速成教材3素材 理（通用）

1、2020高三理科班數學附加題速成教材3空間向量（一）基礎知識1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量；注：空間的一個平移就是一個向量；向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量；空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示2. 空間向量的運算：空間向量的加法、減法與數乘向量運算：;；向量的數量積：已知向量，則叫做的數量積，記作，即運算律：加法交換律： 加法結合律： 數乘分配律： （4）（5）（交換律）（6）（分配律）3.共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數使；推論：空間一點位于平面內的充分必要條件是存在有序實數對，使 或對

2、空間任一點，有或 上面式叫做平面的向量表達式如：已知A(1，0，1)，B(4，4，6)，C(2，2，3)，D(10，14，17)，求證：A，B，C，D共面。A(1，0，1)，B(4，4，6)， C(2，2，3)，D(10，14，17)，=(3，4，5)，=(1，2，2)，=(9，14，16)，令x(3，4，5)y(1，2，2)，則x=2， y=3。=2+3，A，B，C，D共面。4.空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組，使；若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底；推論：設是不共面的四點，

3、則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數，使5.空間直角坐標系：（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量 都叫坐標向量通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；6空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序實數組，使，有序實數組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標如：在空間直角坐標系O-xyz中，點P(2，3，4)關于

4、yOz面的對稱點坐標為（-2，3，4）； 關于z軸的對稱點坐標為（2，3，-4）；關于原點的對稱點坐標為（-2，-3，-4）；點P在xOz面的射影的坐標為。7.表示空間平面： 如：已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：（1）線段AB的中點坐標和長度；（2，1，），（2）到A、B兩點距離相等的點P（x，y，z）的坐標滿足的條件 4x+4y6z+3=0；求到M，N兩點距離相等的點的坐標x、y、z滿足的條件 （二）基本計算1.坐標運算律：（1）若，則， ，；若，則 ，2.平面法向量：若= （x，y，z）是平面的法向量，如果無其它條件限制，有無數個，而與內兩相交直線垂直 , 故只能列出關于x、y

5、、z的兩個方程，因此只能求出其中的兩個，為方便，我們這里設法向量=（x，y，1），當然也可以設法向量為=（x，2，z）、=（0，y，z）等。如：已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的法向量解：設，則且，即=0，且=0，即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，=z（，1，1）評：一般情況下求法向量用待定系數法由于法向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個自由度，可把的某個坐標設為1，再求另兩個坐標平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量3.利用空間向量求角（1）求線線角：設異面直線AB、CD所成的角為，則有cos = | cos，|（2）求線面角：，設直線A

6、B與平面所成的角為，是的法向量，則有sin = | cos，|注意：得到的角是法向量與直線的夾角，并不是直線和平面成的角；斜線與平面成角為，或（3）求二面角：（如圖3）設二面角為，分別是的法向量，則有cos= cos， ，cos=，但不能據的符號判斷二面角是鈍角，還要根據圖形辨別；4.利用空間向量求距離（1）求線線距離：設是與異面直線a、b都垂直的向量，Aa，Bb，異面直線a、b間的距離為d，則d = （2）求點面距離：設是平面的法向量，PQ是的斜線，Q，點P到平面的距離為d， (即在方向上投影的絕對值)（3）求線面距離和求面面距離，都可轉化為求點面距離。5. 如圖，在棱長為1的正方體中，E,

7、F分別為和的中點（1）求異面直線和所成的角的余弦值；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值； （3）若點在正方形內部或其邊界上，且平面，求的最大值、最小值（1）， （2）平面BDD1的一個法向量為設平面BFC1的法向量為取得平面BFC1的一個法向量所求的余弦值為；（3）設（），由得， 當時，當時，；提醒：本題如果消去而保留，其中，則可以避免出現(xiàn)誤將的范圍錯寫成；根源在于表示直線，且僅限于四邊形ABCD內，典型例題：ABCDEFA1B1C1D11已知E、F分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中點，求：（1）A1D與EF所成角的大??；（2）A1E與平面B1FB所成角的余弦值； （

8、3）平面B1FE與平面B1B D所成的銳二面角的余弦值說明 正方體是最簡單、特殊的空間幾何體，建立空間直角坐標系，運用空間向量的夾角與線線角大小的聯(lián)系解決線與線所成角；運用平面的法向量與直線的方向向量的夾角解決線與面所成角；運用兩個平面的法向量夾角的關系解決二面角的大小要注意，平面的法向量一般通過待定系數法求出，但有時也可直接通過圖形找到，從而減少計算量2如圖，四邊形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MAPB，PBAB2MA（1）求直線BD與平面PCD所成的角的大??；ABCDPOM（2）求平面PMD與平面ABCD所成的二面角（銳角）的余弦值解 （1）；（2）PDCBAE3在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E為PD的中點（1）求直線AC與PB所成角的余弦值；（2）在側面PAB內找一點N，使NE面PAC說明 當棱錐有一條側棱與底面垂直時，便于建立空間直角坐標求線與線所成角轉化為直線的方向向量的夾角，這兩者并不等同，要注意其聯(lián)系與區(qū)別；掌握利用向量的數量積來說明直線垂直，進而證明線面或面面垂直4如圖，在平行六面體ABCD