湖南省永州市寧遠(yuǎn)縣第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)模擬預(yù)測(cè)卷（二）(含詳解)

2025年數(shù)學(xué)模擬預(yù)測(cè)卷（二）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C．?RP?Q 2．已知，則（

）A．1 B． C． D．3．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．定義“真指數(shù)”（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B． C． D．6．在△ABC中，角所對(duì)的邊分別為．已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．7．已知軸截面是正三角形的圓錐，其內(nèi)接圓柱的下底面在圓錐底面內(nèi)，上底面圓在圓錐的側(cè)面上，若圓柱與圓錐的側(cè)面積之比為，則此圓柱與圓錐的體積之比為（

）A． B．或 C．或 D．或8．過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，線段，的中點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，記點(diǎn)，到軸距離分別為，，則（

）A． B．C．軸 D．若，則二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)，則（

）A．的最大值是 B．在上單調(diào)遞增C． D．在上有兩個(gè)零點(diǎn)10．如圖，在邊長(zhǎng)為的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．若平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B．存在滿足C．存在滿足D．若是棱的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積是11．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，是上位于第二象限內(nèi)一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，.為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，則（

）A．點(diǎn)在以為直徑的圓上 B．橢圓的離心率為C．橢圓的方程為 D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．隨機(jī)變量，若，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為．13．甲、乙、丙三人練習(xí)傳球，每次傳球時(shí)，持球者會(huì)等可能地傳給另外兩人中的任意一位，若第一次由甲開(kāi)始傳球，則經(jīng)過(guò)四次傳球后，球回到甲手中的概率為14．設(shè),為常數(shù)，，若對(duì)任意的，函數(shù)在區(qū)間上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15．（13分）已知函數(shù).（1）設(shè)，求曲線的斜率為2的切線方程；（2）若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.16．（15分）在平面四邊形中，，，將沿翻折至，其中為動(dòng)點(diǎn).(1)設(shè)，（?。┳C明：平面；（ⅱ）求三棱錐的體積；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.17．（15分）已知雙曲線（）的左，右焦點(diǎn)分別為，且，圓與的漸近線相切．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若上兩點(diǎn)滿足（），且四邊形的面積為，求的值．18．（17分）某運(yùn)動(dòng)員為了解自己的運(yùn)動(dòng)技能水平，記錄了自己1000次訓(xùn)練情況并將成績(jī)（滿分100分）統(tǒng)計(jì)如下表所示.成績(jī)區(qū)間頻數(shù)100200300240160(1)求上表中成績(jī)的平均值及上四分位數(shù)（同一區(qū)間中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)該運(yùn)動(dòng)員用分層隨機(jī)抽樣的方式從的訓(xùn)練成績(jī)中隨機(jī)抽取了6次成績(jī)，再?gòu)倪@6次成績(jī)中隨機(jī)選2次，設(shè)成績(jī)落在區(qū)間的次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)對(duì)這1000次訓(xùn)練記錄分析后，發(fā)現(xiàn)某項(xiàng)動(dòng)作可以優(yōu)化.優(yōu)化成功后，原低于80分的成績(jī)可以提高10分，原高于80分的無(wú)影響，優(yōu)化失敗則原成績(jī)會(huì)降低10分，已知該運(yùn)動(dòng)員優(yōu)化動(dòng)作成功的概率為．在一次資格賽中，入圍的成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)是80分.用樣本估計(jì)總體的方法，求使得入圍的可能性變大時(shí)的取值范圍.19．（17分）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：,記（表示從中任取兩個(gè)作乘積再求所有乘積的和，如）.(1)求，的值；(2)為互不相同的自然數(shù)，求；(3)求的值.參考答案與解析1.D因?yàn)椋?RP?Q=(?∞,0)∪(0,1)∪(1,2)∪(2,+∞)，所以Q?2.A∵，.故選A．3.B因?yàn)椋?，所以，，，所以向量在向量上的投影向量?故選B.4.B因?yàn)?，所以，，所以，，因?yàn)?，所以，，所以，，所以“”是“”的必要不充分條件.故選B.5.C對(duì)于A，取，，即左邊等于；右邊，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，，即左邊等于；右邊等于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于恒成立，所以在上恒成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，取，，即左邊等于；右邊等于，故D錯(cuò)誤.故選C.6.D因?yàn)樵凇鰽BC中，成等差數(shù)列，所以，又，所以，設(shè)所成等比數(shù)列的公比為，則，.在△ABC中由正弦定理可得，整理可得，，又，即，整理可得，所以解得，故，于是，所以.故選D.7.C設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為x，圓錐底面半徑為R，由圓錐的軸截面是正三角形，可得圓錐的高為.如圖，由，可得，所以.因?yàn)?，即，解得或．又，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選C．8.C設(shè)，,直線的方程.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)分別為,所以，根據(jù)中位線性質(zhì)，則，，由拋物線的定義可得，，同理，，故A,B錯(cuò)誤；設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，則，故，同理可得.聯(lián)立直線AB與拋物線方程,得，故，故，則，故軸,故C正確；

由,則，則，再由，故，則或（舍去），故，故，則，故D錯(cuò)誤.故選C.9.AC由于，且，所以的最大值是，故A正確；因?yàn)椋栽谏喜皇菃握{(diào)遞增的，故B錯(cuò)誤；由于，故，故C正確；若，則，即，可得，，解得，，所以在上恰有個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選AC.10.ABD如圖：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接,則，又，所以，所以共面，又，所以，相交，因?yàn)?，，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平?因?yàn)椋?，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平?又平面，相交，所以平面平面.因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)軌跡為線段，且.故A正確.對(duì)于B：設(shè)點(diǎn)C關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與平面的交點(diǎn)時(shí),等號(hào)成立，所以B正確.對(duì)于C：如圖：因?yàn)?，且，，所以不存在點(diǎn)滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：如圖：連接，取其中點(diǎn)，連接.因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則.所以為外接圓圓心.過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，則三棱錐外接球的球心一定在該垂線上.設(shè)三棱錐外接球的半徑為，連接，設(shè)，則，連接，所以，所以，解得，所以，所以三棱錐外接球的表面積為，故D正確.故選ABD.11.ACD如圖所示，因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為直徑的圓上，故A正確；由圓的性質(zhì)可知，.設(shè)，則.因?yàn)辄c(diǎn)A為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以為的中位線，則，且，所以.又，則為等腰直角三角形，所以.因?yàn)闉榈闹形痪€，則，即，解得，所以，.在中，，則，整理得.又，則，所以，故B錯(cuò)誤；由，得，所以，，故橢圓的方程為，故C正確；由上可知，，.因?yàn)?，所以，則，所以，故D正確.故選ACD.

12.-5因?yàn)殡S機(jī)變量，正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，由，可得，即，解得．所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.13.設(shè)事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，那么由題意可知，又，所以，構(gòu)造等比數(shù)列.因?yàn)榈谝淮斡杉讉髑?，可認(rèn)為第次傳球在甲，即，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故，則.14.由，則，又，當(dāng)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)，，如圖，此時(shí)，而，要使在區(qū)間上恰有4個(gè)根，則，則.15.【解】（1）當(dāng)時(shí)，，其中，則，令，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去），又此時(shí)，則切線方程過(guò)點(diǎn)，結(jié)合切線方程斜率為2，則切線方程為，即.（2）由題可得定義域?yàn)?，，因?yàn)槭堑臉O小值點(diǎn)，則，則，若，令；令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得是的極大值點(diǎn)，不滿足題意；若，令，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得是的極大值點(diǎn)，不滿足題意；若，則，在上單調(diào)遞減，無(wú)極值，不滿足題意；若，令，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得是的極小值點(diǎn)；綜上，是的極小值點(diǎn)時(shí)，.16.【解】（1）（?。┰谥?，，，所以.因?yàn)?，，所以，所?又因?yàn)?，平面，，所以平?（ⅱ）.（2）如圖，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角的平面角為，則，，，.所以.易知，平面的法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，則.設(shè)，設(shè)，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí),等號(hào)成立），即.直線與平面所成角的正弦值的最大值為.17.【解】（1）由題意得，解得.∵雙曲線的漸近線方程為，∴，解得，所以，故雙曲線方程為.（2）由同向可知，直線,與E均有兩個(gè)交點(diǎn).設(shè)直線方程，它與E的另一個(gè)交點(diǎn)記為C.由雙曲線的對(duì)稱性可知，，故△面積等于△面積，∴四邊形的面積等于△面積.設(shè)，聯(lián)立，得，，△面積，整理得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，，故均在軸上方或下方，不妨令，此時(shí)，解得，或.作出圖象如下.此時(shí)反向，故舍去；同理可得也不滿足要求，當(dāng)時(shí)，可驗(yàn)證得同向，符合題意，若，由，解得或.由于，所以，，故，若，同理可得.綜上，.18.【解】（1）依題意，，，上四分位數(shù)落在區(qū)間，且等于.（2）由樣本數(shù)據(jù)可知，訓(xùn)練成績(jī)?cè)赱50,60)∪[70,80),之內(nèi)的頻數(shù)之比為2:1，由分層隨機(jī)抽樣的方法得，從訓(xùn)練成績(jī)?cè)谥须S機(jī)抽取了6次成績(jī)，在[50,60)∪[70,80)之內(nèi)的抽取4次，在之內(nèi)的抽取了2次，∴可取的值有：0，1，2，，，，則分布列為：012.（3）（方法一）設(shè)事件分別表示動(dòng)作優(yōu)化前成績(jī)落在區(qū)間，，，則互斥，所以動(dòng)作優(yōu)化前，在一次資格賽中，入圍的概率，設(shè)事件B為“動(dòng)作優(yōu)化成功”，則，動(dòng)作優(yōu)化后，在一次資格賽中，入圍事件為：，且事件相互互斥，所以在一次資格賽中入圍的概率，故，由解得，又因?yàn)?所以的取值范圍是.（方法二）因?yàn)槿雵某煽?jī)標(biāo)準(zhǔn)是80分，所以進(jìn)行某項(xiàng)動(dòng)作優(yōu)化前，該運(yùn)動(dòng)員在資格賽中入圍的概率為：，進(jìn)行某項(xiàng)動(dòng)作優(yōu)化后，影響該運(yùn)動(dòng)員入圍可能性變化的是落在區(qū)間或的成績(jī)，當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)作優(yōu)化成功，落在這兩個(gè)區(qū)間的成績(jī)才能符合入圍標(biāo)準(zhǔn)，所以進(jìn)行優(yōu)化后，該運(yùn)動(dòng)員在資格賽中入圍的概率，由，得，又因?yàn)?所以的取值范圍是.19.【解】（1）由定義可得，因?yàn)椋?，由定義可得.因?yàn)?，所?（2）不妨設(shè)，由定義得，