廣東省廣州市2024~2025學(xué)年 高二下冊第一次月考數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/廣東省廣州市2024_2025學(xué)年高二下冊第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知，則“為純虛數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知是定義在上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)且，則（

）A．3 B． C． D．03．若，則（

）A． B． C． D．4．已知向量，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．設(shè)數(shù)列的前項之積為，滿足，則（

）A． B． C． D．6．若、都有恒成立，則（

）A． B．C． D．7．在四面體中，，且與所成的角為.若該四面體的體積為，則它的外接球半徑的最小值為（

）A． B．2 C．3 D．8．已知雙曲線的兩焦點分別為、，過右焦點作直線交右支于、點，且，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)滿足，則（

）A．拿走，這組數(shù)據(jù)的方差變大 B．拿走，這組數(shù)據(jù)的方差變大C．拿走，這組數(shù)據(jù)的方差減小 D．拿走，這組數(shù)據(jù)的方差減小10．若函數(shù)的圖象上至少存在兩個不同的點P，Q，使得曲線在這兩點處的切線垂直，則稱函數(shù)為“垂切函數(shù)”．下列函數(shù)中為“垂切函數(shù)”的是（

）A． B． C． D．11．已知、是橢圓的左、右兩個頂點，為右焦點，、是橢圓上異于、的任意兩點，為坐標(biāo)原點，則（

）A．直線、的斜率之積為B．若直線過點，則直線、的斜率之積為C．若直線過點，則直線、的斜率之積為D．若三角形的面積為，則直線、的斜率之積為三、填空題（本大題共3小題）12．某中學(xué)舉行數(shù)學(xué)解題比賽，其中7人的比賽成績分別為：70，97，85，90，98，73，95，則這7人成績的上四分位數(shù)與極差之和是．13．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，已知，，則的內(nèi)切圓半徑r的最大值為.14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓被稱為阿氏圓.如圖，在長方體中，，點在棱上，，動點滿足，若點在平面內(nèi)運(yùn)動，則點對應(yīng)的軌跡的面積是；為的中點，則三棱錐體積的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．某學(xué)校為提高學(xué)生對《紅樓夢》的了解，舉辦了"我知紅樓"知識競賽，現(xiàn)從所有答卷卷面成績中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，并作出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)所在區(qū)間的組中值；(3)若落在中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是52，方差是6；落在中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是64，方差是3，求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)和方差.16．已知a，b，c是中三內(nèi)角A，B，所對的邊，設(shè)面積為，，．（1）求角A的值;（2）若的面積為，求的周長．17．在多面體中，已知，，且，．

(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．18．在數(shù)列中，，都有，，成等差數(shù)列，且公差為.(1)求，，，；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)是否存在，使得，，，成等比數(shù)列.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19．已知雙曲線C：的兩個焦點是，，頂點，點M是雙曲線C上一個動點，且的最小值是.(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)點P是y軸上異于C的頂點和坐標(biāo)原點O的一個定點，直線l過點P且平行于x軸，直線m過點P且與雙曲線C交于B，D兩點，直線AB，AD分別與直線l交于G，H兩點.若O，A，G，H四點共圓，求點P的坐標(biāo).

答案1．【正確答案】A【詳解】當(dāng)為純虛數(shù)時，設(shè)，則，∴.當(dāng)時，可取，則為純虛數(shù)不成立.綜上得，“為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選A.2．【正確答案】D【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，，所以有，由為偶函數(shù)可得，故有，，即，，故，所以周期，且.故.故選D.3．【正確答案】C【詳解】因為，所以，所以同號，即，從而，所以．故選C.4．【正確答案】D【詳解】由，得，由，得，則，因此，在上的投影向量為.故選D.5．【正確答案】C【詳解】由，得，即，解得，當(dāng)時，，顯然，則，因此數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，，則，所以.故選C.6．【正確答案】A【詳解】顯然不滿足等式，所以，，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故，A對B錯；，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，即，CD都錯.故選A.7．【正確答案】B【詳解】依題意，可將四面體補(bǔ)形為如圖所示的直三棱柱.因為與所成的角為，所以或.設(shè)，外接球半徑記為，外接球的球心如圖點.易知平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，于是，所以.在中，，在中，由余弦定理得，顯然當(dāng)時，外接球的半徑會更小，此時，所以，所以，故它的外接球半徑的最小值為2.故選B.8．【正確答案】D【詳解】令，由，得，，由雙曲線定義，，在中，，由余弦定理可得，得，整理得，解得，所以，，．在由余弦定理，得，整理得，則．故選D.9．【正確答案】CD【分析】對于A，舉反例說明即可，對于B，C，D，當(dāng)拿走兩個或兩個以上的數(shù)據(jù)時，由數(shù)據(jù)的大小關(guān)系可知只能減小，不可能變大，判斷答案即可.【詳解】對于A，若一組樣本數(shù)據(jù)滿足，且平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差：不會發(fā)生變化；對于BCD，設(shè)平均數(shù)為，由于，拿走的數(shù)量大于或等于，所以，在中，至多有一個為，其余均為正數(shù)，所以拿走兩個或兩個以上的數(shù)據(jù)，只能減小，不可能變大；故B錯誤，CD正確.故選CD.【方法總結(jié)】當(dāng)拿走兩個或兩個以上的數(shù)據(jù)時，由數(shù)據(jù)的大小關(guān)系可知只能減小，不可能變大.10．【正確答案】ACD【詳解】存在,,使成立,A正確．不存在,,使成立,B錯誤．,存在,使得成立,C正確．存在,，使成立,D正確,故選ACD.11．【正確答案】AB【詳解】在橢圓中，，，則，所以，、、，設(shè)點、，則，所以，，其中，對于A選項，，A對；對于B選項，由題意可知，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，B對；對于C選項，當(dāng)直線過點時，，C錯；對于D選項，設(shè)直線、的斜率分別為、，則、，聯(lián)立可得，則，點到直線的距離為，，整理可得，即，解得，D錯.故選AB.12．【正確答案】125【詳解】將7個數(shù)據(jù)從小到大排列為70，73，85，90，95，97，98，因為，所以這7人成績的上四分位數(shù)是97，極差為，故上四分位數(shù)與極差之和是．13．【正確答案】【詳解】已知，由正弦定理可得，又，可求得，，利用余弦定理，可得，所以，又三角形面積，又，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的內(nèi)切圓半徑r的最大值為14．【正確答案】；．【詳解】如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，在平面內(nèi)，設(shè)，則由得，化簡得，所以點軌跡是以為圓心，為半徑的圓，面積為，在長方體中，，，，設(shè)平面的一個法向量是，則，取得，，到平面的距離為，滿足，所以的最小值等于，從而到平面的距離的最小值為，∴三棱錐體積的最小值為．故答案為；．空間距離【方法總結(jié)】求點到平面距離的常用方法：(1)直接法，利用線線垂直、線面垂直、面面垂直等性質(zhì)定理與判定定理，作出垂線段，再通過解三角形求出距離．(2)間接法，利用等體積法、特殊值法等轉(zhuǎn)化求解．(3)向量法，求點P到平面α的距離的步驟：①在平面α內(nèi)取一點A，確定向量eq\o(PA,\s\up6(→）的坐標(biāo)；②確定平面α的法向量n；③代入公式d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→）·n|,|n|)求解．15．【正確答案】(1)0.030(2)79分(3)，【詳解】（1）由，解得；（2）因為，，所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)在內(nèi)，可得，所以樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)為分；（3）樣本數(shù)據(jù)落在的個數(shù)為，落在的個數(shù)為，，總方差.16．【正確答案】（1）；（2）6.【詳解】（1）由得，又，得，，．（2）因為三角形的面積為，所以，則，又，，由余弦定理可得，即，所以，因此的周長為．17．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）如圖，分別取，的中點、，連接、、，則且，

因為且，所以且則四邊形為平行四邊形，所以且，因為，所以，所以，又因為，所以，又因為，、平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面．（2）取的中點為，的中點為，連接，，，如圖所示，

因為，所以，在等腰梯形中，易得，又因為，、平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，過作于點，由平面平面，平面，則平面，連接，則就是直線與平面所成的角，因為平面，所以，由，，得，，是中點，，在等腰梯形中，，所以在等腰中，腰上的高，又因為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．18．【正確答案】(1)3；5；9；13(2)(3)存在，【詳解】（1）由題意，，，成等差數(shù)列，公差為2；，，成等差數(shù)列，公差為4.則，，，.（2）由題意，.當(dāng)，時，，且滿足上式，所以當(dāng)為奇數(shù)時，.當(dāng)時，.所以（3）存在時，使得，，，成等比數(shù)列證明如下：由（2）可得，，，假設(shè)，，成等比數(shù)列，則，化簡得，所以，即，此時，所以當(dāng)時，，，，成等比數(shù)列.19．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）法一：由頂點可得，根據(jù)雙曲線方程可得，解得，進(jìn)而可得方程；法二：由頂點可得，根據(jù)雙曲線定義分析可得解得，進(jìn)而可得方程.法一：設(shè)點，直線：，直線：，，，，聯(lián)立方程直線利用韋達(dá)定理結(jié)合分析求解；法二：由結(jié)合雙曲線的方程可得，，聯(lián)立求解即可.【詳解】（1）（法一）已知雙曲線方程是，由頂點得，所以，設(shè)點，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為，所以，所以，，故雙曲線.（法二）.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為，所以，所以，，故雙曲線.（2）（法一）設(shè)點，，，則直線：，設(shè)