解方程與不等式幾何證明幾何作圖及推理分式與其他綜合解答題-2025年中考數(shù)學(xué)沖刺搶分押題秘籍（廣州專用）VIP

PAGE1猜押04廣東廣州卷中考數(shù)學(xué)17-20題（解答題）猜押考點(diǎn)1年廣州真題考情分析押題依據(jù)難度解方程與不等式2024年廣東廣州卷第16題2022年考方程組，2023年考不等式組，2024年考分式方程，2025年可能考查含參方程或不等式。方程與不等式是代數(shù)核心，2024年第15題考查方程思想，強(qiáng)調(diào)解法多樣性易幾何證明2024年廣東廣州卷第18題2022年考全等證明，2023年考平行四邊形判定，2024年考矩形性質(zhì)，2025年可能考查菱形或圓的切線證明。幾何證明題占比穩(wěn)定，2024年第22題以航天為背景，凸顯學(xué)科育人價(jià)值易幾何作圖及推理2024年廣東廣州卷第18題2023年考坐標(biāo)系中作圖，2024年考三角形中尺規(guī)作圖，2025年可能考查菱形或圓的切線證明。幾何證明題占比穩(wěn)定，2024年第18題以三角形為背景易分式與其他綜合2024年廣東廣州卷第19題2022年考分式化簡(jiǎn)，2023年考整式化簡(jiǎn)，2024年考因式分解應(yīng)用，2025年可能考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用。代數(shù)應(yīng)用題占比提升，2024年第23題需建立函數(shù)模型，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模易題型一解方程與不等式1．（2025·廣東廣州·一模）解方程：．【答案】，【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程——配方法【分析】此題主要考查了解一元二次方程的方法靈活運(yùn)用，熟練運(yùn)用方法是解答此題的關(guān)鍵．運(yùn)用公式法求解即可．【詳解】解：，∴，配方得：，∴或，解得：，．2．（2025·廣東廣州·一模）解不等式組：【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求不等式組的解集【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式的方法是解題的關(guān)鍵．分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得：解不等式②得：此不等式組的解集為．3．（2025·廣東廣州·一模）解不等式組：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求不等式組的解集【分析】本題考查解一元一次不等式組，先分別解不等式組中的一元一次不等式，再由“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解”求不等式組的解集即可得到答案，熟練掌握一元一次不等式組解集的求法步驟是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：由①得；由②得；不等式組的解集為：．4．（2025·廣東廣州·一模）解不等式組：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求不等式組的解集【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式組．解出每個(gè)不等式，再求公共解集即可．【詳解】解：，解不等式①，，，得；解不等式②，，，得，則不等式組的解集為．5．（2025·廣東深圳·一模）（1）解方程：（2）計(jì)算：【答案】（1）；（2）2【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、解一元二次方程——配方法、特殊三角形的三角函數(shù)【分析】題考查了公式法解一元二次方程、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則及運(yùn)算順序是解此題的關(guān)鍵．（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、絕對(duì)值的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：，∴，∴，則，．（2）解：原式．6．（2025·廣東潮州·模擬預(yù)測(cè)）（1）解方程：（2）計(jì)算：【答案】（1），；（2）【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程——配方法、特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算【分析】本題考查了解一元二次方程、特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟練掌握配方法解一元二次方程、特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．（1）利用配方法解方程即可；（2）先代入特殊角的三角函數(shù)值，再根據(jù)零指數(shù)冪、二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：（1），，，，，解得：，；（2）．7．（2025·廣東佛山·一模）（1）解方程：；（2）已知是銳角，求證：．【答案】（1）或；（2）見解析【知識(shí)點(diǎn)】求證同角三角函數(shù)關(guān)系式、解分式方程（化為一元一次）【分析】本題考查了解分式方程，證明同角三角函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）利用換元法解分式方程即可；（2）利用平方差公式將化簡(jiǎn)，再結(jié)合即可得證．【詳解】（1）解：設(shè)，則原方程化為，方程兩邊同時(shí)乘得，解得，．經(jīng)檢驗(yàn)，，都是方程的解．當(dāng)時(shí)，，解得：當(dāng)時(shí)，，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，或都是原分式方程的解．∴原分式方程的解為或．（2）證明：∵；又；∴．8．（2025·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2）【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、解分式方程（化為一元一次）【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解答本題的關(guān)鍵．（1）先逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，再算加減；（2）兩邊都乘以化為整式方程求解，然后驗(yàn)根即可．【詳解】解：（1）；（2），兩邊都乘以，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是分式方程的解．9．（2025·江西·二模）（1）計(jì)算：；（2）解方程：．【答案】（1）3；（2）【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、零指數(shù)冪、解分式方程（化為一元一次）【分析】本題考查了零次冪，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，解分式方程，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)零次冪，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，進(jìn)而進(jìn)行實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算即可；（2）乘以公分母，去分母，化為整式方程，進(jìn)而求解即可，注意最后要檢驗(yàn)．【詳解】解：（1）；（2）方程兩邊乘得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)．所以，原分式方程的解為．10．（2025·廣東中山·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：．（2）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】（1）5（2），數(shù)軸見解析【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、在數(shù)軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集、特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算【分析】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的化簡(jiǎn)，解不等式組，掌握這些知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．（1）先算出負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的化簡(jiǎn)，最后進(jìn)行加減運(yùn)算；（2）解不等式①，得，解不等式②，得，最后借助數(shù)軸求出這個(gè)不等式組的解集．【詳解】解：（1）；（2），解不等式①得，，解不等式②得，，把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)如圖：原不等式組的解集為．題型二幾何證明11．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連結(jié)．已知．求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行內(nèi)錯(cuò)角相等、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等邊對(duì)等角【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，先根據(jù)平行線性質(zhì)得出，然后根據(jù)證明，得出，最后根據(jù)等邊對(duì)等角即可得證．【詳解】證明：（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在和中，．12．（2025·廣東清遠(yuǎn)·一模）如圖，是等腰直角三角形，經(jīng)過點(diǎn)E，過點(diǎn)B作，過點(diǎn)D作，若，，求的面積．【答案】34【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定義、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，求出的長(zhǎng)，由三角形面積公式可得出答案．本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，在中，由勾股定理得：，∴．13．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查全等三角形的判定與平行線的判定，先證，得出，則，再由平行線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】證明：在和中，，∴，∴，∴，∴．14．（2025·廣東廣州·一模）如圖，已知，，求證：．【答案】證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：在與中，∴∴15．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知：如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，連接、求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】用SAS證明三角形全等（SAS）、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，解題關(guān)鍵是正確識(shí)別圖形，熟練找出和的全等條件．根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，，然后根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行證明即可．【詳解】證明：四邊形為正方形，，，在和中，，∴16．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)，在上，，，．求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)，可推出，再利用證得，從而得到．【詳解】解：，，即，在和中，，．17．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如題圖所示，在中，，的垂直平分線分別交，于D，E兩點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、用勾股定理解三角形、已知正弦值求邊長(zhǎng)【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，利用正弦值求邊長(zhǎng)，勾股定理，利用垂直平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)一步求出，再利用勾股定理求出，再利用正弦函數(shù)建立等式求解即可．【詳解】解：∵垂直平分，∴，．∵，∴．∴．∴在中，，∴在中，．即．18．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，是邊上的高，求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】利用兩角對(duì)應(yīng)相等判定相似、直角三角形的兩個(gè)銳角互余【分析】本題考查了相似三角形的判定，垂直的定義，余角的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，由相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，∵是邊上的高，∴，∴，∴，∴．19．（2025·廣東廣州·一模）如圖，中，已知、分別是、的中點(diǎn)，求證：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】與三角形中位線有關(guān)的證明、利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等判定相似、利用平行判定相似【分析】本題考查考查相似三角形的判定，中位線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．方法一：利用先得出，再結(jié)合即可證明；方法二：先證明是的中位線，得出，即可證明．【詳解】證明：方法一：、分別是、的中點(diǎn)，，，，，；方法二：、分別是、的中點(diǎn)，，．20．（2025·廣東江門·一模）如圖，是的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)A在上，且，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，交直線于點(diǎn)D，連接．證明：．【答案】見詳解【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題主要考查圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，連接，根據(jù)等邊對(duì)等角得，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)圓周角定理得出，證出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】證明：如圖，連接，，，∵是的切線，∴，即，∵是的直徑，，，，，又，，，．題型三幾何作圖及推理21．（2025·廣東廣州·一模）在平面內(nèi)，給定不在同一直線上的點(diǎn)，，，如圖所示．若點(diǎn)是的外心，圓為的外接圓，的平分線交圓于點(diǎn)，連接，．(1)尺規(guī)作圖：作出圓及角平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．請(qǐng)證明：；(2)過點(diǎn)作，垂足為，作，垂足為，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接．若，求直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)直線與圓有個(gè)公共點(diǎn)．【知識(shí)點(diǎn)】證明某直線是圓的切線、作角平分線(尺規(guī)作圖)、畫圓(尺規(guī)作圖)、判斷直線和圓的位置關(guān)系【分析】（1）作線段，的垂直平分線，相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫圓，再作的平分線，交圓于點(diǎn)，則圓和即為所求；由角平分線的定義可得，由圓周角定理得，，可得，則；（2）連接，由題意得，，則，進(jìn)而可得，即，可知為圓的直徑．根據(jù)題意以及角平分線的定義可得，則，進(jìn)而可得，則可得為圓的切線，從而可知直線與圓有個(gè)公共點(diǎn)．【詳解】（1）解：作線段，的垂直平分線，相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫圓，再作的平分線，交圓于點(diǎn)，則圓和即為所求，為的平分線，，，，，；（2）解：連接，，，，，，，，，，，，為圓的直徑，，，為的平分線，，，，，，，，，為圓的半徑，為圓的切線，直線與圓有個(gè)公共點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是尺規(guī)作圖—作垂直平分線、作圓、作角平分線、等邊對(duì)等角、角平分線的定義、證明圓的切線、直線與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作圖的方法．22．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在中，，點(diǎn)P是的中點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：以線段為直徑作，交于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)連接，求證：是的切線．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理、畫圓(尺規(guī)作圖)、證明某直線是圓的切線【分析】（1）作的垂直平分線，垂足為O，以O(shè)為圓心，為半徑作即可；（2）連接，，．證明即可．【詳解】（1）解：如圖所示，，為所求

（2）證明：如圖，連接，，為直徑，，點(diǎn)為斜邊上的中線，，，，，，，是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，圓周角定理，切線的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．23．（2025·廣東廣州·一模）如圖，中，．(1)尺規(guī)作圖：作，使圓心在邊上，且與，所在直線相切（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)4【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、作角平分線(尺規(guī)作圖)、切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】（1）結(jié)合角平分線的性質(zhì)以及切線的判定與性質(zhì)，作的平分線，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫圓，則即為所求．（2）設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，可得，，進(jìn)而可得，則設(shè)的半徑為，則，，，求出的值即可．【詳解】（1）解：如圖，作的平分線，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫圓，則即為所求．（2）設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，，，，，．設(shè)的半徑為，則，，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意，的半徑為4．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．24．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在等腰中，，，沿射線折疊，使點(diǎn)A恰好落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D處，射線與腰交于點(diǎn)E．(1)尺規(guī)作圖：作出射線（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖形中，連接，若，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】作角平分線(尺規(guī)作圖)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、折疊問題、已知正切值求邊長(zhǎng)【分析】題目主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解三角形，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意作的平分線即可；（2）過點(diǎn)C作，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出，再由三角形外角的性質(zhì)得出，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，再由正切函數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：作的平分線，交于點(diǎn)E，射線即為所求；（2）過點(diǎn)C作，如圖所示：∵等腰中，，沿射線折疊，使點(diǎn)A恰好落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D處，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．25．（2025·廣東茂名·一模）如圖：在平行四邊形中，點(diǎn)F在上，且．(1)用直尺和圓規(guī)作的平分線交于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖的痕跡保留在圖中），(2)求證：四邊形為菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識(shí)點(diǎn)】作角平分線(尺規(guī)作圖)、利用平行四邊形的性質(zhì)證明、證明四邊形是菱形【分析】（1）因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃校?，故，以點(diǎn)A為圓心，為半徑，畫弧，分別與、交于點(diǎn)和，再以點(diǎn)和為圓心，大于為半徑畫弧，交于一點(diǎn)，然后連接A和這個(gè)交點(diǎn)，并延長(zhǎng)交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)，即可作答．（2）由尺規(guī)作的角平分線的過程可得，，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，然后證明，進(jìn)而可得四邊形為平行四邊形，再由可得四邊形為菱形；此題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）證明：由尺規(guī)作的角平分線的過程可得，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形．26．（2025·廣東·二模）如圖，在中，，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上．(1)作的平分線（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識(shí)點(diǎn)】同位角相等兩直線平行、三角形的外角的定義及性質(zhì)、作角平分線(尺規(guī)作圖)、等邊對(duì)等角【分析】（1）根據(jù)角的平分線的基本作圖，規(guī)范求作即可．（2）利用角的平分線定義，等邊對(duì)等角，三角形外角性質(zhì)，平行線的判定，證明即可．【詳解】（1）解：根據(jù)角的平分線的基本作圖，畫圖如下：

則即為所求．（2）證明：∵，∴，∵的平分線，∴∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的基本作圖，平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和作圖是解題的關(guān)鍵．27．（2025·廣東東莞·一模）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）(2)在第一問的基礎(chǔ)上，若，，，求的值．【答案】(1)見解析(2)12【知識(shí)點(diǎn)】求反比例函數(shù)解析式、作垂線(尺規(guī)作圖)、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了基本作圖，解直角三角形，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）以點(diǎn)為圓心，大于點(diǎn)到距離的一半為半徑畫弧，交于點(diǎn)、，再分別以點(diǎn)、為圓心，大于為半徑，在的另一側(cè)畫弧交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，即為所求；（2）根據(jù)題意可求得，結(jié)合，，可求得，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)即可求得的值．【詳解】（1）解：以點(diǎn)為圓心，大于點(diǎn)到距離的一半為半徑畫弧，交于點(diǎn)、，再分別以點(diǎn)、為圓心，大于為半徑，在的另一側(cè)畫弧交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，如下圖即為所求，（2）解：，，，，，，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，．28．（2025·廣東深圳·一模）如圖，四邊形中，為對(duì)角線，．(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)已知，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作菱形，頂點(diǎn)分別在邊上（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．【答案】(1)證明見詳解(2)作圖見詳解【知識(shí)點(diǎn)】作垂線(尺規(guī)作圖)、證明四邊形是平行四邊形、證明四邊形是菱形【分析】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，作線段的垂直平分線，菱形的判定，熟練的利用菱形的判定進(jìn)行作圖是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)四邊形兩組對(duì)角分別相等，四邊形是平行四邊形，證明即可；（2）根據(jù)“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”，做的垂直平分線，分別交于點(diǎn)，即可畫出菱形．【詳解】（1）解：∵四邊形中，，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：如圖，做的垂直平分線，分別交于點(diǎn)，四邊形就是所求作的菱形．29．（2024·廣東廣州·二模）如圖，在中．(1)利用尺規(guī)作圖，在邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)到的距離（的長(zhǎng)）等于的長(zhǎng)；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(2)畫出（1）中的線段．若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)作圖見詳解(2)作圖見詳解，【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、作垂線(尺規(guī)作圖)、作角平分線(尺規(guī)作圖)、全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線，垂線，考查了角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）由點(diǎn)到的距離的長(zhǎng)）等于的長(zhǎng)知點(diǎn)在平分線上，再根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖即可得；（2）根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖即可得，先對(duì)運(yùn)用勾股定理求得，可得，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解方程即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)P即為所求：（2）解：如圖，線段即為所求：在中，由勾股定理得：，

由作圖知平分，∵，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解得：，∴．30．（2025·廣東深圳·一模）如圖，在中，．(1)按如下步驟用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作圖．（要求：保留作圖痕跡，不寫作法．）①在上取一點(diǎn)，使；②作的平分線交于點(diǎn)；③連接．(2)若，，求出（1）中所作的四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、證明四邊形是菱形、作角平分線(尺規(guī)作圖)【分析】（1）①以A為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，則；②根據(jù)角的平分線的基本作圖，解答即可；③用直尺連接．（2）先證明四邊形是菱形，再過D作交于G，結(jié)合已知，利用菱形的面積公式計(jì)算即可．本題考查了常見的基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，熟練掌握基本作圖，菱形的判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：所求圖形，如圖所示．（2）解：∵根據(jù)作圖，平分，則，又，,∴，∴，又，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形，過D作交于G，又，，∴，，∴菱形的面積為．題型四分式與其他綜合31．（2025·廣東廣州·一模）已知．(1)化簡(jiǎn)；(2)若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，求的值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】分式化簡(jiǎn)求值、根據(jù)反比例函數(shù)的定義求參數(shù)【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）按照分式化簡(jiǎn)的步驟化簡(jiǎn)即可；（2）將點(diǎn)P代入反比例函數(shù)解析式，再整體代入即可的解．【詳解】（1）解：（2）∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，即∴原式32．（2025·廣東廣州·一模）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)化簡(jiǎn)，并選擇一個(gè)適合的正整數(shù)代入求值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】分式化簡(jiǎn)求值、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題考查根的判別式，分式的化簡(jiǎn)求值：（1）根據(jù)方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到，進(jìn)行求解即可；（2）先通分計(jì)算括號(hào)內(nèi)，除法變乘法，化簡(jiǎn)后，代入一個(gè)使分式有意義的值，計(jì)算即可．【詳解】（1）由題可知：解得：；（2）；，且為正整數(shù)，將代入．33．（2025·廣東廣州·一模）已知，(1)化簡(jiǎn)T；(2)若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，求T的值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】分式化簡(jiǎn)求值、分式乘除混合運(yùn)算、求反比例函數(shù)值【分析】本題主要考查了分式的乘除法，分式的化簡(jiǎn)求值，對(duì)于（1），根據(jù)分式的乘除法計(jì)算，并化到最簡(jiǎn)；對(duì)于（2），將點(diǎn)的坐標(biāo)代入關(guān)系式可得，再整體代入求值即可．【詳解】（1）解：；（2）解：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，．即，原式．34．（2025·廣東廣州·一模）已知．(1)化簡(jiǎn)T；(2)若是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，請(qǐng)求出T的值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】分式化簡(jiǎn)求值、把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式【分析】題目主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，理解題意，熟練掌握運(yùn)用這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）將拋物線化為頂點(diǎn)式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入（1）中結(jié)果求解即可．【詳解】（1）解：；（2），∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，代入（1）中結(jié)果得：原式．35．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知(1)化簡(jiǎn)；(2)若在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為反比例函數(shù)上一點(diǎn)，且，求的值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】通過對(duì)完全平方公式變形求值、同分母分式加減法、求反比例函數(shù)值、已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離【分析】本題考查了分式的運(yùn)算，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)同分母相加減的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出，然后根據(jù)完全平方公式求解即可?！驹斀狻浚?）解：；（