2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第十章　§10.7　概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題VIP

§10.7概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題重點解讀有關(guān)概率、統(tǒng)計與其他知識相交匯的考題，能體現(xiàn)“返璞歸真，支持課改；突破定勢，考查真功”的命題理念，是每年高考的必考內(nèi)容.近幾年將概率、統(tǒng)計問題與數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合，成為創(chuàng)新問題.題型一概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題例1(2025·廣州模擬)將4個面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4的一個正四面體在桌面上連續(xù)獨立地拋n次(n為正整數(shù))，設(shè)X為與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的次數(shù)，p(0<p<1)為拋正四面體一次與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的概率.(1)當(dāng)n＝5時，若正四面體的質(zhì)地是均勻的，求X的數(shù)學(xué)期望和方差；(2)若正四面體有瑕疵，即p≠12①設(shè)pn是拋擲正四面體n次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率，求證：pn＝p＋(1－2p)pn－1(n≥2)；②求拋擲正四面體n次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)次的概率.(1)解因為正四面體的質(zhì)地是均勻的，p為拋擲正四面體一次與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的概率，所以p＝24進(jìn)一步得，X~B5，所以E(X)＝np＝5×12D(X)＝np(1－p)＝5×12×1所以X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為52和5(2)①證明因為pn是拋正四面體n次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率，所以pn－1是拋正四面體(n－1)次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率，當(dāng)n≥2時，當(dāng)在前(n－1)次拋擲試驗中正四面體與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次時，第n次拋擲的結(jié)果必須出現(xiàn)奇數(shù)，才可以保證前n次拋擲中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次，所以pn＝pn－1(1－p)，當(dāng)在前(n－1)次拋擲試驗中正四面體與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)次時，第n次拋擲的結(jié)果必須出現(xiàn)偶數(shù)，才可以保證前n次拋擲中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次，所以pn＝(1－pn－1)p，由互斥事件概率的加法公式得pn＝pn－1(1－p)＋(1－pn－1)p＝p＋pn－1(1－2p)，即pn＝p＋pn－1(1－2p)(n≥2).②解設(shè)pn－x＝(1－2p)(pn－1－x)，結(jié)合①所得關(guān)系，則x＝12即pn－12＝(1－2p)pn-1-1又p1－12＝p－1所以數(shù)列pn-12是首項為p－12，公比為所以pn－12＝p-12(1－2所以pn＝1-(1-2p)n2(n∈所以拋擲正四面體n次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)次的概率為1－pn＝1＋(1-2p)n2(思維升華概率問題與數(shù)列的交匯，綜合性較強(qiáng)，主要有以下類型：(1)求通項公式：關(guān)鍵是找出概率Pn或均值E(Xn)的遞推關(guān)系式，然后根據(jù)構(gòu)造法(一般構(gòu)造等比數(shù)列)，求出通項公式.(2)求和：主要是數(shù)列中的倒序相加法求和、錯位相減法求和、裂項相消法求和.(3)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限.跟蹤訓(xùn)練1(2024·黃山質(zhì)檢)學(xué)校食堂為了減少排隊時間，從開學(xué)第1天起，每餐只推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學(xué)每天中午都會在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，若他前1天選擇了米飯?zhí)撞?，則第2天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?3；若他前1天選擇了面食套餐，則第2天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?3.已知他開學(xué)第1天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?1)求該同學(xué)開學(xué)第2天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?2)記該同學(xué)開學(xué)第n(n∈N*)天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿镻n.證明：當(dāng)n≥2時，Pn≤1427(1)解設(shè)Ai＝“第i天選擇米飯?zhí)撞汀?i＝1，2)，則Ai＝“第i天選擇面食套餐”根據(jù)題意P(A1)＝23，P(A1)＝P(A2|A1)＝13，P(A2|A1)＝由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(A1)P(A2|A1)＝23×1(2)證明設(shè)An＝“第n天選擇米飯?zhí)撞汀?n＝1，2，…)，則Pn＝P(An)，P(An)＝1－PnP(An＋1|An)＝13，P(An＋1|An)＝由全概率公式，得P(An＋1)＝P(An)P(An＋1|An)＋P(An)P(An＋1|An)＝－13Pn即Pn＋1＝－13Pn＋2所以Pn＋1－12＝－1因為P1－12＝16，所以Pn-可得Pn＝12＋16×-13n當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時，Pn＝12＋16×-1當(dāng)n為正偶數(shù)時，Pn＝12－16×13綜上所述，當(dāng)n≥2時，Pn≤1427題型二概率、統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù)的綜合問題例2(2024·龍巖模擬)某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級，分別對應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95].根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為A等品，其他產(chǎn)品稱為B等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)長期檢測結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11，用樣本平均數(shù)x作為μ的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計該芯片為A等品的概率(保留小數(shù)點后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表；②參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.9973)(2)①從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在[45，55)和[85，95]的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85，95]的芯片件數(shù)為η，求η的分布列和數(shù)學(xué)期望；②該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件A等品芯片的利潤是m(1<m<24)元，一件B等品芯片的利潤是ln(25－m)元，根據(jù)(1)的計算結(jié)果，試求m的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤最大.解(1)由題意，估計從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為x＝10×(0.01×50＋0.025×60＋0.04×70＋0.015×80＋0.01×90)＝69，即μ≈x＝69，σ≈s≈11，所以X~N(69，112)，因為質(zhì)量指標(biāo)值X近似服從正態(tài)分布N(69，112)，所以P(X≥80)＝1-P(69-11<X<69＝0.15865≈0.16，所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為A等品的概率約為0.16.(2)①(0.01＋0.01)×10×100＝20，所以質(zhì)量指標(biāo)值在[45，55)和[85，95]的芯片總件數(shù)為20，質(zhì)量指標(biāo)值在[85，95]的芯片件數(shù)為10，故η的所有可能取值為0，1，2，3，所以P(η＝0)＝C10P(η＝1)＝C10P(η＝2)＝C10P(η＝3)＝C10隨機(jī)變量η的分布列為η0123P215152所以η的數(shù)學(xué)期望E(η)＝0×219＋1×1538＋2×1538＋3②設(shè)每箱產(chǎn)品中A等品有Y件，則每箱產(chǎn)品中B等品有(100－Y)件，每箱產(chǎn)品的利潤為Z元，由題意知Z＝mY＋(100－Y)ln(25－m)＝[m－ln(25－m)]Y＋100ln(25－m)，由(1)知，每箱產(chǎn)品中A等品的概率為0.16，所以Y~B(100，0.16)，所以E(Y)＝100×0.16＝16，E(Z)＝E((m－ln(25－m))Y＋100ln(25－m))＝[m－ln(25－m)]E(Y)＋100ln(25－m)＝16[m－ln(25－m)]＋100ln(25－m)＝16m＋84ln(25－m)，令f(x)＝16x＋84ln(25－x)(1<x<24)，由f'(x)＝16－8425-x＝0，得x＝794∈(1，又當(dāng)x∈1，794時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈794，24時，f'(x)<0所以當(dāng)x＝794時，f(x)取得最大值即當(dāng)m＝794時，每箱產(chǎn)品利潤最大思維升華在概率與統(tǒng)計的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率.決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，這往往借助于函數(shù)、不等式或數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)去實現(xiàn).跟蹤訓(xùn)練2為提高科技原創(chuàng)能力，搶占科技創(chuàng)新制高點，某企業(yè)銳意創(chuàng)新，開發(fā)了一款新產(chǎn)品，并進(jìn)行大量試產(chǎn).(1)現(xiàn)從試產(chǎn)的新產(chǎn)品中取出了5件產(chǎn)品，其中恰有2件次品，但不能確定哪2件是次品，需對5件產(chǎn)品依次進(jìn)行檢驗，每次檢驗后不放回，當(dāng)能確定哪2件是次品時即終止檢驗，記終止時一共檢驗了X次，求隨機(jī)變量X的分布列與期望；(2)設(shè)每件新產(chǎn)品為次品的概率都為p(0<p<1)，且各件新產(chǎn)品是否為次品相互獨立.記“從試產(chǎn)的新產(chǎn)品中隨機(jī)抽取50件，其中恰有2件次品”的概率為f(p)，問p取何值時，f(p)最大.解(1)根據(jù)題意可知X的可能取值為2，3，4，則P(X＝2)＝C2P(X＝3)＝2C21P(X＝4)＝C2則X的分布列為X234P133所以E(X)＝2×110＋3×310＋4×(2)由題意可得，f(p)＝C502p2(1－p)48(0<p<1f'(p)＝C502[2p(1－p)48－48p2(1－p)＝C5022p(1－p)47(1－25p令f'(p)＝0，解得p＝125因為當(dāng)0<p<125時，f'(p)>0，f(p)當(dāng)125<p<1時，f'(p)<0，f(p)所以當(dāng)p＝125時，f(p)取得最大值課時精練[分值：30分]1.(15分)某種藥材的種植、加工過程受天氣、施肥、管理等因素影響，農(nóng)民按照藥材色澤、大小等將藥材分為上等藥材、中等藥材、普通藥材，并分類裝箱，已知去年生產(chǎn)了8箱藥材，其中上等藥材2箱，中等藥材2箱，其他為普通藥材.(1)若在去年生產(chǎn)的藥材中隨機(jī)抽取4箱，設(shè)X為上等藥材的箱數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(7分)(2)已知每箱藥材的利潤如表：等級上等藥材中等藥材普通藥材利潤(元/箱)40002000－1200今年市場需求增加，某農(nóng)戶計劃增加產(chǎn)量，且生產(chǎn)的上等藥材、中等藥材、普通藥材所占比例不變，但需要的人力成本增加，每增加m(m∈N*)箱，成本相應(yīng)增加(1000m－2000lnm)元，假設(shè)你為該農(nóng)戶決策，你覺得目前應(yīng)不應(yīng)該增加產(chǎn)量？如果需要增加產(chǎn)量，增加多少箱最好？如果不需要增加產(chǎn)量，請說明理由.(8分)解(1)X的可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝C2P(X＝1)＝C2P(X＝2)＝C2X的分布列為X012P343X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×314＋1×47＋2×3(2)按原計劃生產(chǎn)藥材每箱平均利潤為14×4000＋14×2000＋12×(－1200)＝900(則增加m箱藥材，利潤增加為900m元，成本相應(yīng)增加(1000m－2000lnm)元，所以增加凈利潤為900m－1000m＋2000lnm＝2000lnm－100m(m∈N*).設(shè)f(x)＝2000lnx－100x(x∈N*)，則f'(x)＝2000x－100令f'(x)＝0，得x＝20，當(dāng)1≤x<20時，f'(x)>0，當(dāng)x>20時，f'(x)<0，且f(20)>0，所以函數(shù)f(x)在[1，20)上單調(diào)遞增，在(20，＋∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)x＝20時，f(x)取得最大值，所以需要增加產(chǎn)量，增加20箱最好.2.(15分)(2024·福州質(zhì)檢)從一副撲克牌中挑出4張Q和4張K，將其中2張Q和2張K裝在一個不透明的袋中，剩余的2張Q和2張K放在外面.現(xiàn)從袋中隨機(jī)抽出一張撲克牌，若抽出Q，則把它放回袋中；若抽出K，則該撲克牌不再放回，并將袋外的一張Q放入袋中.如此操作若干次，直到將袋中的K全部置換為Q.(1)在操作2次后，袋中K的張數(shù)記為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3分)(2)記事件“在操作n＋1(n∈N*)次后，恰好將袋中的K全部置換為Q”為An，記Pn＝P(An).①在第1次取到Q的條件下，求總共4次操作恰好完成置換的概率；(5分)②試探究Pn＋1與Pn的遞推關(guān)系，并說明理由.(7分)解(1)由題意可知，X的可能取值為0，1，2，則P(X＝0)＝24×1P(X＝1)＝24×24＋P(X＝2)＝24×2所以X的分布列為X012P151所以E(X)＝0×18＋1×58＋2×(2)①記事件E表示“第1次取到Q”，事件F表示“總共4次操作恰好完成置換”，則P(E)＝12依題意，若第一次取到Q，則剩余的3次操作，須將袋中K全部置換為Q，若第二次也取出Q，則第三次和第四次均須取出K，其概率為12×24×24若第二次取出K，則第三次取出Q，第四次取出K，其概率為12×24×34綜上所述，P(EF)＝132所以P(F|E)＝P(即在第1次取到Q的條件下，總共4次操作恰好完成置換的概率為532②Pn＋1＝12n＋設(shè)事件B表示“