2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第十章　§10.6　二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布VIP

§10.6二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布課標(biāo)要求1.理解二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.2.借助正態(tài)曲線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.1.二項(xiàng)分布(1)伯努利試驗(yàn)只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).(2)二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~B(n，p).(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差①若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).②若X~B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).2.超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min3.正態(tài)分布(1)定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝1σ2πe-(x-μ)22σ2，x∈R，其中μ∈R，(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；②曲線在x＝μ處達(dá)到峰值1σ③當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X~N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布當(dāng)n＝1時(shí)的特殊情形.(√)(2)若X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布.(√)(3)從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球的盒中有放回地任取一個(gè)球，連取3次，則取到紅球的個(gè)數(shù)X服從超幾何分布.(×)(4)當(dāng)μ取定值時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”.(×)2.已知隨機(jī)變量ξ~B(4，p)，若E(ξ)＝2，則P(ξ＝3)等于()A.12 B.C.18 D.答案B解析因?yàn)殡S機(jī)變量ξ~B(4，p)，由E(ξ)＝2，得4p＝2，解得p＝12所以P(ξ＝3)＝C43×123.在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品的個(gè)數(shù)，則P(X＝1)＝.

答案1解析由題意得P(X＝1)＝C34.已知隨機(jī)變量X~N(μ，σ2)，若P(X<2)＝0.2，P(X<3)＝0.5，則P(X<4)的值為.

答案0.8解析因?yàn)閄~N(μ，σ2)，P(X<3)＝0.5，所以μ＝3，所以P(X>4)＝P(X<2)＝0.2，所以P(X<4)＝1－0.2＝0.8.1.若X~N(μ，σ2)，則X的均值與方差分別為E(X)＝μ，D(X)＝σ2.2.“恰好發(fā)生k次”與“有指定的k次發(fā)生”不同：恰好發(fā)生k次的概率P＝Cnkpk(1－p)n－k，有指定的k次發(fā)生的概率P＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n3.“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”的區(qū)別：有放回抽取問題對(duì)應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問題對(duì)應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時(shí)，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來處理.4.超幾何分布有時(shí)也記為X~H(n，M，N)，其均值E(X)＝nMN，方差D(X)＝nM題型一二項(xiàng)分布例1(2024·大慶模擬)2024年7月12日，國(guó)家疾控局會(huì)同教育部、國(guó)家衛(wèi)生健康委和體育總局制定并發(fā)布了《中小學(xué)生超重肥胖公共衛(wèi)生綜合防控技術(shù)導(dǎo)則》，其中一級(jí)預(yù)防干預(yù)技術(shù)的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖飲料，足量飲水”，某中學(xué)準(zhǔn)備發(fā)布健康飲食的倡議，提前收集了學(xué)生的體重和飲食習(xí)慣等信息，其中學(xué)生飲用含糖飲料的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：學(xué)校有14的學(xué)生每天飲用含糖飲料不低于500毫升，這些學(xué)生的肥胖率為13；而每天飲用含糖飲料低于500毫升的學(xué)生的肥胖率為(1)若從該中學(xué)的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，求該生肥胖的概率；(2)現(xiàn)從該中學(xué)的學(xué)生中任意抽取三名學(xué)生，記X表示這三名學(xué)生中肥胖的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)設(shè)“學(xué)生每天飲用含糖飲料不低于500毫升”為事件A，則P(A)＝14，P(A)＝3設(shè)“學(xué)生肥胖”為事件B，則P(B|A)＝13，P(B|A)＝2由全概率公式可得P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|A)P(A)＝13×14＋所以從該中學(xué)的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，該生肥胖的概率為14(2)由題意可知，X~B3，14，且X的可能取值為0，1，2P(X＝0)＝C30×14P(X＝1)＝C31×14P(X＝2)＝C32×14P(X＝3)＝C33×14所以X的分布列為X0123P272791X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×14思維升華二項(xiàng)分布問題的解題關(guān)鍵(1)定型：①在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.③在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.(2)定參：確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率.跟蹤訓(xùn)練1某校為了解本校學(xué)生課間進(jìn)行體育活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取了50名男生和50名女生，通過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：50名女生中有10人課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)，50名男生中有20人課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng).(1)請(qǐng)補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷性別與課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)是否有關(guān)聯(lián)；性別體育活動(dòng)合計(jì)課間不經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)男女合計(jì)(2)以樣本的頻率作為概率的值，在全校的男生中任取4人，記其中課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)的人數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2＝n(ad-bc)2(a＋b)(解(1)依題意，列出2×2列聯(lián)表如下：性別體育活動(dòng)合計(jì)課間不經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)男302050女401050合計(jì)7030100零假設(shè)為H0：性別與課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)相互獨(dú)立，即性別與課間是否經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)無關(guān).因?yàn)棣?＝100×(30×10-20×根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為性別與課間是否經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.(2)由題意得，50名男生中課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)的頻率為2050所以在本校男生中隨機(jī)抽取1人為課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)者的概率為25由題意得X~B4，則P(X＝k)＝C4k25k1-254-k，k＝可得P(X＝0)＝C40×25P(X＝1)＝C41×25P(X＝2)＝C42×25P(X＝3)＝C43×25P(X＝4)＝C44×25X的分布列為X01234P812162169616X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝np＝4×25X的方差為D(X)＝np(1－p)＝4×25×1-題型二超幾何分布例2為了進(jìn)一步推動(dòng)智慧課堂的普及和應(yīng)用，A市現(xiàn)對(duì)全市中小學(xué)智慧課堂的應(yīng)用情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：經(jīng)常應(yīng)用偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用合計(jì)農(nóng)村40城市60合計(jì)10060160從城市學(xué)校中任選一個(gè)學(xué)校，偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用智慧課堂的概率是14(1)補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為智慧課堂的應(yīng)用與區(qū)域有關(guān)？(2)在經(jīng)常應(yīng)用智慧課堂的學(xué)校中，按照農(nóng)村和城市的比例抽取5個(gè)學(xué)校進(jìn)行分析，然后再從這5個(gè)學(xué)校中隨機(jī)抽取2個(gè)學(xué)校所在的地域進(jìn)行核實(shí)，記其中農(nóng)村學(xué)校有X個(gè)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：χ2＝n(ad-bc)2(a＋b)(α0.10.050.005xα2.7063.8417.879解(1)設(shè)城市學(xué)校共有x所，因?yàn)閺某鞘袑W(xué)校中任選一個(gè)學(xué)校，偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用智慧課堂的概率是14所以x-60解得x＝80，即城市學(xué)校有80所，補(bǔ)全列聯(lián)表如下：經(jīng)常應(yīng)用偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用合計(jì)農(nóng)村404080城市602080合計(jì)10060160零假設(shè)為H0：智慧課堂的應(yīng)用與區(qū)域無關(guān)，χ2＝n＝160≈10.667>7.879，所以根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為智慧課堂的應(yīng)用與區(qū)域有關(guān).(2)在經(jīng)常應(yīng)用智慧課堂的學(xué)校中，農(nóng)村和城市的比例是2∶3，所以抽取的樣本中有2個(gè)是農(nóng)村學(xué)校，3個(gè)是城市學(xué)校，再從樣本中抽取2個(gè)，則X的可能取值為0，1，2.P(X＝0)＝C2P(X＝1)＝C2P(X＝2)＝C2所以X的分布列為X012P331X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×310＋1×35＋2×思維升華(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的分布列.(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型.跟蹤訓(xùn)練2(2024·聊城模擬)隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及、大數(shù)據(jù)的驅(qū)動(dòng)，線上線下相結(jié)合的新零售時(shí)代已全面開啟，新零售背景下，即時(shí)配送行業(yè)穩(wěn)定快速增長(zhǎng).某即時(shí)配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高客戶滿意度，在其A，B兩個(gè)分公司的客戶中各隨機(jī)抽取10位客戶進(jìn)行了滿意度評(píng)分調(diào)查(滿分100分)，評(píng)分結(jié)果如下：分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.(1)求抽取的這20位客戶評(píng)分的第一四分位數(shù)；(2)規(guī)定評(píng)分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機(jī)抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改進(jìn)建議，設(shè)被抽到的3人中分公司B的客戶人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)將抽取的這20位客戶的評(píng)分從小到大排列為62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94.因?yàn)?0×25%＝5，所以抽取的這20位客戶評(píng)分的第一四分位數(shù)為73＋77(2)由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，所以上述不滿意的客戶共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.所以X的所有可能取值為1，2，3.P(X＝1)＝C2P(X＝2)＝C2P(X＝3)＝C2所以X的分布列為X123P331X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×310＋2×35＋3×題型三正態(tài)分布例3(1)(多選)(2024·南京模擬)已知三個(gè)密度函數(shù)fi(x)＝1σi2πe-(x-μi)22σi2(xA.μ1＝μ2>μ3B.σ1＝σ2<σ3C.若X~N(1，σ12)，P(X<2)＝0.7，則P(0<X<2)D.若X~N(μ2，σ22)，Y~N(μ3，σ32)，則存在實(shí)數(shù)x0，使得P(X<x0)＝P(Y答案BCD解析根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對(duì)稱，且μ越大曲線越靠近右邊，則μ1<μ2＝μ3，故A錯(cuò)誤；又σ越小數(shù)據(jù)越集中，曲線越瘦高，則σ1＝σ2<σ3，故B正確；X~N(1，σ12)，P(X<2)＝0.7，則P(1<X<2)＝0.7－0.5＝0.2，所以P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4，故若X~N(μ2，σ22)，Y~N(μ3，σ32)，μ2＝μ3，則存在實(shí)數(shù)x0＝μ2＝μ3，使P(X<x0)＝P(Y<x0)(2)(多選)(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入(單位：萬元)情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值x＝2.1，樣本方差s2＝0.01，已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8，0.12)，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(x，s2)，則()(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.8413)A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8答案BC解析依題可知，x＝2.1，s2＝0.01，所以Y~N(2.1，0.12)，故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.8413，所以C正確，D錯(cuò)誤；因?yàn)閄~N(1.8，0.12)，所以P(X<1.8＋0.1)≈0.8413，所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.8413＝0.1587，而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)<P(X>1.8＋0.1)≈0.1587，所以B正確，A錯(cuò)誤.思維升華解決正態(tài)分布問題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)對(duì)稱軸為x＝μ.(2)標(biāo)準(zhǔn)差為σ.(3)分布區(qū)間.利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x＝0.跟蹤訓(xùn)練3(2024·洛陽質(zhì)檢)某教學(xué)研究機(jī)構(gòu)從參加高考適應(yīng)性考試的20000名優(yōu)秀考生中隨機(jī)抽取了200人對(duì)其數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行了整理分析，作出了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，求得這200名考生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為x＝110.據(jù)此估計(jì)這20000名優(yōu)秀考生數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s；(2)根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這20000名優(yōu)秀考生的數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中參數(shù)μ和σ可以分別用(1)中的x和s來估計(jì).記考生本次考試的各科總成績(jī)?yōu)閅，若Y＝5X－10，試估計(jì)這20000名優(yōu)秀考生中總成績(jī)Y∈[600，660]的人數(shù).另：6≈2.4；若X~N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.解(1)抽取的200名考生數(shù)學(xué)成績(jī)的方差估計(jì)值為s2＝(80－110)2×0.02＋(90－110)2×0.09＋(100－110)2×0.22＋(110－110)2×0.33＋(120－110)2×0.24＋(130－110)2×0.08＋(140－110)2×0.02＝150.故估計(jì)這20000名考生數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為150，標(biāo)準(zhǔn)差s＝150＝56≈5×2.4＝12.(2)由(1)知μ可用x＝110來估計(jì)，σ2可用s2＝150來估計(jì).故X~N(110，150).σ＝150＝56≈12.又P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝P≈0.9545-0.68272＝0.1359故P(122≤X≤134)≈0.1359.又Y＝5X－10，所以P(600≤Y≤660)＝P(600≤5X－10≤660)＝P(122≤X≤134)≈0.1359.故這20000名優(yōu)秀考生中總成績(jī)?cè)赱600，660]的人數(shù)約為20000×0.1359＝2718.課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.已知隨機(jī)變量ξ~B6，23，則P(ξ＝2)等于A.1243 B.C.20243 D.答案C解析由題意可知P(ξ＝2)＝C62×232.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3，σ2)，P(X≤5)＝0.55，則P(X<1)等于()A.0.45 B.0.55C.0.1 D.0.9答案A解析因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3，σ2)，所以P(X≤5)＝P(X≥1)＝0.55，所以P(X<1)＝1－P(X≥1)＝1－0.55＝0.45.3.數(shù)學(xué)老師從6道題中隨機(jī)抽3道檢測(cè)學(xué)生，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格.某學(xué)生只能正確求解其中的4道題，則該學(xué)生能及格的概率為()A.45 B.C.35 D.答案A解析由題意知抽取3道題該學(xué)生不及格的情況只有只對(duì)一道題一種情況，則只答對(duì)一道題的概率為P＝C41C4.數(shù)軸上一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)，每隔1秒向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，已知向右移動(dòng)的概率為25，向左移動(dòng)的概率為35，共移動(dòng)8次，則質(zhì)點(diǎn)位于－2的位置的概率是(A.254C.C83答案D解析依題意此實(shí)驗(yàn)滿足8重伯努利實(shí)驗(yàn)，設(shè)向左移動(dòng)次數(shù)為X，則X~B8，35，從原點(diǎn)O出發(fā)，共移動(dòng)8次，最后質(zhì)點(diǎn)位于－2，則需向右移動(dòng)3次，向左移動(dòng)5次，所以質(zhì)點(diǎn)位于－2的位置的概率為P(X＝5)5.從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，抽到的女生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為()A.32 B.C.95答案A解析抽到的女生人數(shù)X可能為0，1，2，3，P(X＝0)＝C7P(X＝1)＝C7P(X＝2)＝C7P(X＝3)＝C7所以E(X)＝0×112＋1×512＋2×512＋36.泊松分布是一種描述隨機(jī)現(xiàn)象的概率分布，在經(jīng)濟(jì)生活、事故預(yù)測(cè)、生物學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，泊松分布的概率分布列為P(X＝k)＝λkk！e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，λ是泊松分布的均值.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，當(dāng)n很大且p很小時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，其中λ＝np，即X~B(n，p)，P(X＝i)＝e-np(np)ii！(n∈N*)參考數(shù)據(jù)：A.99% B.97%C.92% D.74%答案C解析由題意得n＝100，p＝0.01，泊松分布可作為二項(xiàng)分布的近似，此時(shí)λ＝100×0.01＝1，所以P(X＝k)＝1k！e－P(X＝0)＝10！e－1＝P(X＝1)＝11！e－1＝P(X＝2)＝12！e－1＝正品率大于97%的概率為P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1e二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.下列判斷正確的是()A.若隨機(jī)變量ξ服從0－1分布，且P(ξ＝0)＝0.35，則P(ξ＝1)＝0.7B.若隨機(jī)變量ξ~B3，12，則D(ξC.若隨機(jī)變量ξ~H(3，3，10)，則E(ξ)＝0.9D.若隨機(jī)變量ξ~N(1，σ2)，P(ξ≤3)＝0.8，則P(ξ<－1)＝0.2答案BCD解析若ξ服從0－1分布，則P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)＝0.65，故A錯(cuò)誤；若隨機(jī)變量ξ~B3，12，則D(ξ)＝3×12×若隨機(jī)變量ξ~H(3，3，10)，則E(ξ)＝3×310＝0.9若隨機(jī)變量ξ~N(1，σ2)，P(ξ≤3)＝0.8，則P(ξ<－1)＝P(ξ>3)＝1－0.8＝0.2，故D正確.8.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(6，4)，且P(2<X<10)＝m，P(4<X<8)＝n，則()A.P(7<X<9)>P(1<X<3)B.E(2X＋1)＝13C.P(4<X<10)＝mD.D(2X＋1)＝8答案ABC解析隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(6，4)，則μ＝6，σ＝2，P(7<X<9)＝P(3<X<5)>P(1<X<3)，A正確；E(X)＝μ＝6，則E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝13，B正確；由P(2<X<10)＝m，P(4<X<8)＝n，得P(6<X<10)＝m2，P(4<X≤6)＝n2，因此P(4<X<10)＝P(4<X≤6)＋P(6<X<10)＝m＋D(X)＝σ2＝4，則D(2X＋1)＝4D(X)＝16，D錯(cuò)誤.三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·南通調(diào)研)已知隨機(jī)變量X~N(4，42).若P(X<3)＝0.3，則P(3<X<5)＝，若Y＝2X＋1，則Y的方差為.

答案0.464解析由題意可知μ＝4，σ＝4，即D(X)＝16，所以D(Y)＝4D(X)＝64，因?yàn)?＋5＝2μ，且P(X<3)＝0.3，所以P(3<X<5)＝1－2P(X<3)＝0.4.10.(2024·煙臺(tái)模擬)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，采用五局三勝制(當(dāng)一人贏得三局時(shí)，該同學(xué)獲勝，比賽結(jié)束).根據(jù)以往比賽成績(jī)，每局比賽中甲獲勝的概率都是p(0<p<1)，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.若甲以3∶0獲勝的概率不低于甲以3∶1獲勝的概率，則p的取值范圍為.

答案2解析甲以3∶0獲勝的概率為p1＝p3，甲以3∶1獲勝的概率為p2＝C32p3(1－p)＝3p3(1－p由題意，p1≥p2，即p3≥3p3(1－p)，解得p≥23所以p的取值范圍為23四、解答題(共27分)11.(13分)某公司在員工招聘面試環(huán)節(jié)準(zhǔn)備了4道面試題，面試者按順序提問，若每位被面試者答對(duì)兩道題則通過面試，面試結(jié)束；若每位被面試者前三道題均答錯(cuò)，則不通過面試，面試結(jié)束.已知李明答對(duì)每道題的概率均為35，且每道題是否答對(duì)相互獨(dú)立(1)求李明沒通過面試的概率；(5分)(2)記李明所答題目的數(shù)量為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(8分)解(1)李明沒通過面試包含前3題有1題答對(duì)，第4題答錯(cuò)和前3題均答錯(cuò)兩種情況，故所求概率為C31×35(2)由題意得X的可能取值為2，3，4，則P(X＝2)＝35×3P(X＝3)＝C21×35×2P(X＝4)＝C31×35故所求分布列為X234P94436所以E(X)＝2×925＋3×44125＋4×12.(14分)臺(tái)風(fēng)是我國(guó)東部沿海地區(qū)夏秋季節(jié)常見的自然災(zāi)害，當(dāng)臺(tái)風(fēng)來臨之際，沿海居民點(diǎn)的居民必須提前進(jìn)行疏散.某地有關(guān)部門為了解居民疏散所需時(shí)間，在當(dāng)?shù)仉S機(jī)抽取了100處居民點(diǎn)進(jìn)行疏散所需時(shí)間的調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如表：疏散時(shí)間t(最接近的時(shí)間，取整數(shù))單位：小時(shí)12131415161718頻率0.040.050.250.350.180.100.03(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，視頻率為概率，估計(jì)這一地區(qū)居民點(diǎn)疏散所需時(shí)間t的均值和方差；(6分)(2)根據(jù)工作安排，需要在疏散時(shí)間超過16小時(shí)的13個(gè)居民點(diǎn)中再抽取5個(gè)進(jìn)行深入調(diào)查，從而尋求縮短疏散時(shí)間的辦法.設(shè)X為抽到的居民點(diǎn)中疏散時(shí)間為18小時(shí)的居民點(diǎn)數(shù)量，求X的分布列.(8分)解(1)∵12×0.04＋13×0.05＋14×0.25＋15×0.35＋16×0.18＋17×0.10＋18×0.03＝15，∴估計(jì)這一地區(qū)居民點(diǎn)疏散所需時(shí)間t的均值為15，∵(12－15)2×0.04＋(13－15)2×0.05＋(14－15)2×0.25＋(15－15)2×0.35＋(16－15)2×0.18＋(17－15)2×0.10＋(18－15)2×0.03＝1.66，∴估計(jì)這一地區(qū)居民點(diǎn)疏散所需時(shí)間t的方差為1.66.(2)∵疏散時(shí)間為17小時(shí)，18小時(shí)兩組的頻率之比為10∶3，∴在疏散時(shí)間超過16小時(shí)的13個(gè)居民點(diǎn)中，疏散時(shí)間為17小時(shí)的有10個(gè)，疏散時(shí)間為18小時(shí)的有3個(gè)，再從這13個(gè)居民點(diǎn)中抽取5個(gè)，X為抽到的居民點(diǎn)中