2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第三章　§3.5　指對(duì)同構(gòu)問題VIP

§3.5指對(duì)同構(gòu)問題重點(diǎn)解讀把一個(gè)等式或不等式通過變形，使左右兩邊結(jié)構(gòu)、形式完全相同，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行處理，找到這個(gè)函數(shù)模型的方法就是同構(gòu)法.同構(gòu)法主要解決含有指數(shù)、對(duì)數(shù)混合的等式或不等式問題.題型一雙變量地位同等同構(gòu)例1若對(duì)0<x1<x2<a都有l(wèi)nx2x1x1x2<2x2－2x1成立，A.1 B.2 C.e D.2e答案B解析由lnx2x1x1x2<2x2－2x1，0<x得x1x2(lnx2－lnx1)<2x2－2x1，則lnx2－lnx1<2即lnx2－lnx1<2有l(wèi)nx2＋2x2<lnx1＋2令f(x)＝lnx＋2x(x>0)，則f(x2)<f(x1)所以f'(x)＝1令f'(x)>0?x>2，令f'(x)<0?0<x<2，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)，所以當(dāng)0<x1<x2<2時(shí)，f(x2)<f(x1)恒成立，所以0<a≤2，故a的最大值為2.思維升華含有地位同等的兩個(gè)變量x1，x2或x，y或a，b的等式或不等式，如果進(jìn)行整理(即同構(gòu))后，等式或不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性解決.跟蹤訓(xùn)練1若0<x1<x2<1，則下列不等式正確的是()A.x1lnx1<x2lnx2 B.x1lnx1>x2lnx2C.x2lnx1<x1lnx2 D.x2lnx1>x1lnx2答案C解析令f(x)＝xlnx，則f'(x)＝1＋lnx，當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)的正負(fù)不能確定，故x1lnx1與x2lnx2的大小不能確定，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；令g(x)＝lnxx，則g'(x當(dāng)0<x<1時(shí)，g'(x)＝1-lnxx2>0，則g(x)在(0，1因?yàn)?<x1<x2<1，所以g(x1)<g(x2)，即lnx1x1<lnx2x2，即x2lnx1<x1lnx2題型二指對(duì)同構(gòu)法的理解指對(duì)同構(gòu)的常用形式(1)積型：aea≤blnb，一般有三種同構(gòu)方式：①同左構(gòu)造形式：aea≤lnbelnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xex；②同右構(gòu)造形式：ealnea≤blnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xlnx；③取對(duì)構(gòu)造形式：a＋lna≤lnb＋ln(lnb)(a>0，b>1)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x＋lnx.(2)商型：eaa≤①同左構(gòu)造形式：eaa≤elnblnb，構(gòu)造函數(shù)②同右構(gòu)造形式：ealnea≤blnb，構(gòu)造函數(shù)③取對(duì)構(gòu)造形式：a－lna≤lnb－ln(lnb)(a>0，b>1)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x－lnx.(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有兩種同構(gòu)方式：①同左構(gòu)造形式：ea±a>elnb±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex±x；②同右構(gòu)造形式：ea±lnea>b±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x±lnx.例2(1)(多選)若ea＋a>b＋lnb(a，b為變量)成立，則下列選項(xiàng)正確的是()A.a>lnb B.a<lnbC.ea>b D.ea<b答案AC解析方法一由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋a>elnb＋lnb，令f(x)＝ex＋x，則f(a)>f(lnb)，因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，所以a>lnb，即ea>b.方法二由ea＋a>b＋lnb，可得ea＋lnea>b＋lnb，令g(x)＝x＋lnx，則g(ea)>g(b)，因?yàn)間(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以ea>b，即a>lnb.(2)(2025·宜春模擬)在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)、形式相同的兩個(gè)式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式.若關(guān)于a的方程aea－2＝e4和關(guān)于b的方程b(lnb－2)＝e3λ－1(a>0，b>e2)可化為同構(gòu)方程，則ab的值為.答案e8解析對(duì)aea－2＝e4兩邊取自然對(duì)數(shù)，得lna＋a＝6，①對(duì)b(lnb－2)＝e3λ－1兩邊取自然對(duì)數(shù)，得lnb＋ln(lnb－2)＝3λ－1，即lnb－2＋ln(lnb－2)＝3λ－3，②因?yàn)榉匠挞佗跒閮蓚€(gè)同構(gòu)方程，所以3λ－3＝6，解得λ＝3，設(shè)F(x)＝lnx＋x且x>0，則F'(x)＝1x＋1>0所以F(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故F(x)＝6的解只有一個(gè)，所以a＝lnb－2，則ab＝b(lnb－2)＝e3×3－1＝e8.思維升華利用恒等式x＝lnex和x＝elnx，通過冪轉(zhuǎn)指或冪轉(zhuǎn)對(duì)進(jìn)行等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，然后由構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究.跟蹤訓(xùn)練2(多選)對(duì)不等式ax＋eax>ln(bx)＋bx進(jìn)行指對(duì)同構(gòu)時(shí)，可以構(gòu)造的函數(shù)是()A.f(x)＝lnx＋x B.f(x)＝xlnxC.f(x)＝x＋ex D.f(x)＝x答案AC解析由恒等式x＝lnex可得ax＝lneax，所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可變形為lneax＋eax>ln(bx)＋bx，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝lnx＋x，可得f(eax)>f(bx).同理，由恒等式x＝elnx可得bx＝eln(bx)，所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可變形為ax＋eax>ln(bx)＋eln(bx)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x＋ex，可得f(ax)>f(ln(bx)).題型三同構(gòu)法的應(yīng)用例3(1)設(shè)實(shí)數(shù)k>0，對(duì)于任意的x>1，不等式kekx≥lnx恒成立，則k的最小值為.答案1解析由kekx≥lnx得kxekx≥xlnx，即kxekx≥elnx·lnx，令f(x)＝xex，則f(kx)≥f(lnx).因?yàn)閒'(x)＝(x＋1)ex，所以f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)閗x>0，lnx>0，所以kx≥lnx，即k≥ln令h(x)＝lnxx(x>1)，則h'(x)當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，所以h(x)max＝h(e)＝1e，即k所以k的最小值為1e(2)(2025·衡陽模擬)已知m是方程xeex－2＋(e－1)lnx＝2的一個(gè)根，則e2-me-1＋(e－1)lnm等于A.1 B.2 C.3 D.5答案B解析xeex－2＋(e－1)lnx＝2?eelnx＋x－2＋elnx＋x－2＝x＋lnx＝elnx＋lnx，設(shè)f(t)＝et＋t，則f'(t)＝et＋1>0恒成立，故f(t)單調(diào)遞增，由f(elnx＋x－2)＝f(lnx)得elnx＋x－2＝lnx，即(e－1)lnx＝2－x.因?yàn)閙是方程xeex－2＋(e－1)lnx＝2的一個(gè)根，所以(e－1)lnm＝2－m，所以m＝e所以e2-me-1＋(e－1)lnm＝m＋(e－1)lnm＝m＋2－m思維升華常見的同構(gòu)函數(shù)有：①f(x)＝lnxx；②f(x)＝xlnx；③f(x)＝xex；④f(x)＝其中①④可以借助lnxx＝lnxelnx＝tet，②③可以借助xex＝(lnex)ex＝跟蹤訓(xùn)練3(1)(2024·呂梁模擬)若關(guān)于x的不等式ea＋x·lnx<x2＋ax對(duì)?x∈(0，1)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(－∞，0] B.[－1，0]C.[－1，＋∞) D.[0，＋∞)答案C解析由ea＋x·lnx<x2＋ax在(0，1)上恒成立，可得lnxx<a＋xea＋x即lnxelnx<a＋xea當(dāng)a≥0時(shí)，lnxeln不等式lnxelnx<a＋xe當(dāng)a<0時(shí)，令f(x)＝x則f(lnx)<f(a＋x)在(0，1)上恒成立，f'(x)＝1-xex，當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在(－∞，又當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，lnx∈(－∞，0)，a＋x∈(－∞，1)，所以只需lnx<a＋x在(0，1)上恒成立，即a>lnx－x在(0，1)上恒成立.令g(x)＝lnx－x，0<x<1，則g'(x)＝1-xx即g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，其中g(shù)(1)＝ln1－1＝－1，故a≥g(1)＝－1，所以－1≤a<0.綜上，a≥－1.(2)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a，b均為大于1的實(shí)數(shù)，若aea＋1＋b<blnb，則()A.b<ea＋1 B.b>ea＋1C.ab<e D.ab>e答案B解析由aea＋1＋b<blnb，可得aea＋1<blnb－b＝b(lnb－1)＝blnbe，即ealnea<b設(shè)f(x)＝xlnx，可得f(ea)<fb因?yàn)閍>1，可得ea>e，又因?yàn)閎(lnb－1)>0，b>1，所以lnb>1，即b>e，所以be>1易知當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)＝lnx＋1>0，可得函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以ea<be，即b>ea＋課時(shí)精練[分值：45分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共10分)1.設(shè)x>0，y>0，若ex＋lny>x＋y，則下列選項(xiàng)正確的是()A.x>y B.x>lnyC.x<y D.x<lny答案B解析不等式ex＋lny>x＋y等價(jià)于ex－x>y－lny，令f(x)＝ex－x，則f(lny)＝elny－lny＝y(tǒng)－lny，∴不等式ex－x>y－lny等價(jià)于f(x)>f(lny)，∵f'(x)＝ex－1，∴當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f'(x)>0，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴若y∈(1，＋∞)，則lny∈(0，＋∞)，由f(x)>f(lny)有x>lny；若y∈(0，1]，則lny≤0，由x>0，有x>lny.綜上所述，x>lny.2.若關(guān)于x的不等式ex＋x＋ln1x≥mx＋lnm恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為(A.2 B.e C.3 D.e2答案B解析由題意得，m>0，x>0，不等式等價(jià)于ex＋x≥mx＋ln(mx)恒成立，即ex＋lnex≥mx＋ln(mx)恒成立，令f(x)＝x＋lnx，則不等式轉(zhuǎn)化為f(ex)≥f(mx)，因?yàn)閒'(x)＝1＋1x>0所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以ex≥mx，則exx≥令g(x)＝exx，則g'(x)＝e則當(dāng)0<x<1時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)有最小值，即g(x)min＝g(1)＝e，則m≤e，則m的最大值為e.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)3.(2025·邯鄲模擬)已知a>0，b∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若b＋eb＝a＋lna，則a－b的值可以是()A.－1 B.1 C.2 D.3答案BCD解析設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋ex，則f(x)在R上是增函數(shù)，所以b＋eb－(a＋lna)＝b＋eb－(lna＋elna)＝f(b)－f(lna)＝0，所以b＝lna，即a＝eb，所以a－b＝eb－b，令g(x)＝ex－x，則g'(x)＝ex－1，當(dāng)x<0時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(0)＝1，從而a－b≥1，結(jié)合選項(xiàng)，選項(xiàng)BCD符合題意.4.(2024·鹽城模擬)若不等式ax－exlna<0在x∈[2，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的值可以為()A.3e B.2e C.e D.2答案BCD解析由題意得a>0，由ax－exlna<0得xex設(shè)f(x)＝xex，則f'(x當(dāng)x<1時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，又f(0)＝0，f(1)＝1e，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝xe所以f(x)＝xexxex<lnaelna，即f(x)<f(ln對(duì)于A，當(dāng)a＝3e時(shí)，lna＝ln3＋1>2，根據(jù)圖象可得f(x)<f(lna)在[2，＋∞)上不恒成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)a＝2e時(shí)，lna＝ln2＋1∈(1，2)，根據(jù)圖象可得f(x)<f(lna)在[2，＋∞)上恒成立，B正確；對(duì)于C，當(dāng)a＝e時(shí)，lna＝1，根據(jù)圖象可得f(x)<f(lna)在[2，＋∞)上恒成立，C正確；對(duì)于D，當(dāng)a＝2時(shí)，lna＝ln2，又f(ln2)＝ln2eln2＝12ln2，f因?yàn)?×12ln2－3×2e2＝ln且22>e，e2>6，即ln22>1，6e所以3×12ln2－3×2e2＝ln2即f(ln2)>f(2)，根據(jù)圖象可得f(x)<f(lna)在[2，＋∞)上恒成立，D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)5.(2025·長春模擬)不等式xex＋alnxxa≥0(a<0)對(duì)?x∈(1，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a答案[－e，0)解析由xex＋alnxxxex≥－alnxxa＝－alnx·e－a令f(x)＝xex(x>0)，則f'(x)＝(x＋1)ex>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)閍<0，x∈(1，＋∞)，則－alnx>0，則f(x)≥f(－alnx)，可得x≥－alnx，即a≥－xlnx對(duì)?x∈(1，＋∞)令g(x)＝xlnx，則g'(x)＝ln由g'(x)＝0可得x＝e，故當(dāng)1<x<e時(shí)，g'(x)<0，當(dāng)x>e時(shí)，g'(x)>0，所以g(x)在(1，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g(e)＝e，得a≥-xlnx又a<0，所以－e≤a<0.6.(2025·渭南模擬)已知實(shí)數(shù)x1，x2滿足ex1＝4x1，lnx2＝2x答案4解析由e可得x1ex1＝4，故x1由lnx2＝2x22，可得x22可得elnx22·lnx22＝4，令f(x)＝xex，則f(x1)＝f(lnx22f'(x)＝(x＋1)ex，當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增.由f(x1)＝f(lnx22)得x1＝ln所以e因?yàn)閤1ex1＝4，所以x1x2