89圓錐曲線中定值模型（精講）（原卷版）

8.9圓錐曲線中定值模型【題型解讀】【知識(shí)必備】定值問題就是證明一個(gè)量與其中的變化因素?zé)o關(guān)，這些變化的因素可能是直線的斜率、截距，也可能是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等，這類問題的一般解法是使用變化的量表達(dá)求證目標(biāo)，通過運(yùn)算求證目標(biāo)的取值與變化的量無關(guān)．當(dāng)使用直線的斜率和截距表達(dá)直線方程時(shí)，在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系，把雙參數(shù)問題化為單參數(shù)問題解決．【題型精講】【題型一斜率為定值】例1（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為E，P為直線x＝eq\f(5,4)a上的任意一點(diǎn)，且(eq\o(PF,\s\up7())＋eq\o(PE,\s\up7()))·eq\o(EF,\s\up7())＝2．(1)求橢圓C的方程；(2)過F且垂直于x軸的直線AB與橢圓交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，動(dòng)直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且M，N位于直線AB的兩側(cè)，若始終保持∠MAB＝∠NAB，求證：直線MN的斜率為定值．【跟蹤精練】1.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，離心率等于eq\f(1,2)，它的一個(gè)短軸端點(diǎn)恰好是拋物線x2＝8eq\r(3)y的焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，已知P(2，3)，Q(2，－3)是橢圓上的兩點(diǎn)，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．①若直線AB的斜率為eq\f(1,2)，求四邊形APBQ面積的最大值；②當(dāng)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足∠APQ＝∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值？請(qǐng)說明理由．【題型二距離為定值】例2（2022·青島高三模擬）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，且過點(diǎn)A(2，1)．(1)求C的方程；(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．【跟蹤精練】1.如圖，已知橢圓C：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1，點(diǎn)B是其下頂點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線交橢圓C于另一點(diǎn)A(A點(diǎn)在x軸下方)，且線段AB的中點(diǎn)E在直線y＝x上．(1)求直線AB的方程；(2)若點(diǎn)P為橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且直線AP，BP分別交直線y＝x于點(diǎn)M、N，證明：|OM|·|ON|為定值．【題型三面積為定值】例3（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左右頂點(diǎn)，|AB|＝4eq\r(2)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)若P是橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，AP∥OM，BP∥ON，則△OMN的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由．【題型精練】1.（2022·山西太原五中高三期末）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距為2，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為2eq\r(2)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率存在的直線l與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，若點(diǎn)P在橢圓上，請(qǐng)判斷△OMN的面積是否為定值．【題型四數(shù)量積為定值】例4（2022·湖北模擬）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及該常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【題型精練】1.（2022·德陽(yáng)三模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1上一點(diǎn)E在第一象限，若|OE|＝eq\f(\r(7),2)．(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)橢圓C兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－2，0)，B(2，0)，過點(diǎn)M(0，－1)的直線l交橢圓C于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)P，若直線AD與直線MB相交于點(diǎn)Q，求證：eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))為定值．【題型五角度為定值】例5（2022·湖北模擬）已知點(diǎn)M(x0，y0)為橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1．上任意一點(diǎn)，直線l：x0x＋2y0y＝2與圓(x－1)2＋y2＝6交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的離心率及左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)求證：直線l與橢圓C相切；(3)判斷∠AFB是否為定值，并說明理由．【題型精練】1.（2022·德陽(yáng)三模）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,3)，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A為橢圓C上一點(diǎn)，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝eq\f(8,3)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過A1，A2分別作x軸的垂線l1，l2，橢圓C的一條切線l：y＝kx＋m與l1，l2分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：∠MF1N為定值．【題型六參數(shù)為定值】例6（2022·湖北模擬）已知拋物線C：y2＝2px經(jīng)過點(diǎn)P(1，2)，過點(diǎn)Q(0，1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，eq\o(QM,\s\up6(→))＝λeq\o(QO,\s\up6(→))，eq\o(QN,\s\up6(→))＝μeq\o(QO,\s\up6(→))，求證：eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)為定值．【題型精練】1.（2022·德陽(yáng)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右準(zhǔn)線為直線，動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線分別交橢圓及直線于點(diǎn)，如圖，當(dāng)兩點(diǎn)分別是橢圓的右頂點(diǎn)及上頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（其中為橢圓的離心率），且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如果是的等比中項(xiàng)，那么是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由．【題型七與定值有關(guān)的結(jié)論】方法技巧與定值有關(guān)的結(jié)論1.若點(diǎn)A,B是橢圓C：上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C上與A,B不重合的點(diǎn),則；2.若點(diǎn)A,B是雙曲線C：上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線C上與A,B不重合的點(diǎn),則.3.設(shè)點(diǎn)是橢圓C：上一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn),若,則直線AB斜率為定值；4.設(shè)點(diǎn)是雙曲線C：一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是雙曲線C上不同于P的兩點(diǎn),若,直線AB斜率為定值；5.設(shè)點(diǎn)是拋物線C：一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是拋物線C上不同于P的兩點(diǎn),若,直線AB斜率為定值.6.設(shè)是橢圓上不同3點(diǎn),B,C關(guān)于x軸對(duì)稱,直線AC,BC與x軸分別交于點(diǎn),則.7.點(diǎn)A,B是橢圓C：上動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則=（即點(diǎn)O到直線AB為定值）8.經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)A1和A2的切線,與橢圓上任一點(diǎn)的切線相交于P1和P2,則.9.過橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn),弦MN的垂直平分線交x軸于P,則.10.點(diǎn)為橢圓(包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點(diǎn),過引軸、軸的平行線,交軸、軸于,交直線于,記與的面積為,則：.例7（2022·湖北模擬）設(shè)常數(shù)且,橢圓：,點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）