費(fèi)馬點(diǎn)最值模型-2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型專練

費(fèi)馬點(diǎn)最值模型

費(fèi)馬點(diǎn)定義

“費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn)。

若給定△ABC的話，從這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離之和比從其它點(diǎn)算起的都要小。這

個(gè)特殊點(diǎn)對(duì)于每個(gè)給定的三角形都只有一個(gè)。

費(fèi)馬點(diǎn)的結(jié)論及證明

【結(jié)論】1、費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最短2、費(fèi)馬點(diǎn)連接三頂點(diǎn)所成夾角皆為：120。

【證明】：如圖一，在AABC內(nèi)任取一點(diǎn)P,連接PA、PB、PC

如圖二，將小APB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60。得到△EQB,則△EQB=AAPB

連接PA,VZPBQ=60°,PB=PQ,

/.△QPB是等邊三角形，貝UPB=QP=BQ,Z1=Z2=6O°.

PA+PB+PC=EQ+QP+PC>ECO

如圖三,當(dāng)且僅當(dāng)E、Q、P、C四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)乙EQB=CPB=120。

AAPB=APC=BPC=120°,PA+PB+PC取到最小值EC.

.?.點(diǎn)P是4ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小

真題精煉

1.1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,求平

面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為

?費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處

從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂

點(diǎn)）

當(dāng)小ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，

如圖1,將小APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△A'P'C,連接PP,

由PC=P'C,^PCP'=60°?可知△PCP'為①三角形,故PP'=PC,又P'A'=PA,故PA+PB+PC

=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知，當(dāng)B,P,P,A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為A'B,此時(shí)的P

點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有/APC=NBPC=NAPB=_____更；

已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).如圖3,若/BACN120。，則該

三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④___<點(diǎn).

⑵如圖4,在△ABC中三個(gè)內(nèi)角均小于120。,且AC=3,BC=4,/ACB=30。,已知點(diǎn)P為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)，，求P

A+PB+PC的值;

圖4

⑶如圖5,設(shè)村莊A,B,C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知.AC=4km,BC=2痘km,zACB=60。.現(xiàn)欲建一

中轉(zhuǎn)站P沿直線向A,B,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A,B,C的鋪設(shè)成本分別為a元/km,a元/

km,V2a元/km,選取合適的P的位置,可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.（結(jié)果用含a的式子表示）

2.如圖，在△ABC中,./-ACB=90",ZBXC=30°,AB=2.若點(diǎn)P是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，貝！I△A8CPA+PB+PC的最小

值為

B

3.兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD,如圖所示，若Na=30。,，則對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)P到A,

B,C三點(diǎn)距離之和的最小值是.

4.已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如果△48c是銳角（或直角）三角形，則其

費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足乙APB=乙BPC=^CPA=120°..例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn).

若.ABAC=47,BC=2V3?P^AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，貝UPA+PB+PC=若AB=2V3,BC=2,AC=4,P為AABC

的費(fèi)馬點(diǎn)則PA+PB+PC=

5.請(qǐng)回答下列各題：

⑴問題背景：如圖1,將4ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ABC,DE與BC交于點(diǎn)P可推出結(jié)論：PA+PC

=PE.

⑵問題解決:如圖2,在△MNG中,MN=6,ZM=75°,MG=4a.點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到△MNG

三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是.

M

NG

圖2

6.已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△4BC的費(fèi)馬點(diǎn)(Fermatpoint)

,已經(jīng)證明:在三個(gè)內(nèi)角均小于120。的AABC中，當(dāng)乙4PB=AAPC=乙BPC=120。時(shí),P就是△4BC的費(fèi)馬點(diǎn)，

若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為血的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF=_

7如圖1,在RtAABC中,/BAC=90。，AB=AC,點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD,把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

得至I」AE,連接CE,DE.點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF

(1)求證:CF=^AD.

(2)如圖2所示,在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)BD=2CD時(shí)，分別延長(zhǎng)CF,BA,相交于點(diǎn)G,猜想AG與BC存在

的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論.

(3)在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，在線段AD上存在一點(diǎn)P,使PA+PB+PC的值最小，當(dāng)PA+PB+PC的值取得最小值

時(shí)，AP的長(zhǎng)為m,請(qǐng)直接用含m的式子表示CE的長(zhǎng).

8如圖,在菱形ABCD中,NB=60。,點(diǎn)PABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，若PA=6,PB=8,PC=10,則菱形ABC

D的面積等于.

9.我們以前遇到過這樣的問題：在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且24=2,PB=W,PC=1,求NBPC的度數(shù).

思路是：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖①）,連接PP',可得△PPB是等邊三角形,

而△PP'A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），由此得到乙BPC=4AP'B=150。，，運(yùn)用類似的思想方法解

決以下問題：如圖②，RtAABCABC中，NBC4=90°,AC=BC=1,在Rt△48c內(nèi)部有一點(diǎn)Q,連接QA,QB,

QC,則V2QA+QB+QC的最小值是

圖①圖②

10.如圖1,已知拋物y=-弋（久+3）（x-4百）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

（1）寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo).

⑵若點(diǎn)P為AOBC內(nèi)一點(diǎn)求OP+BP+CP的最小值.

11.【閱讀材料】平面幾何中的費(fèi)馬問題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾彳惠費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：給

定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C,求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)P的位置，費(fèi)馬問題有多種不同

的解法，最簡(jiǎn)單快捷的還是幾何解法.如圖1,我們可以將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△BDE，連接PD，可得

ABPD為等邊三角形，故PD=PB,由旋轉(zhuǎn)可得DE=PC,因PA+PB+PC=PA+PD+DE,由兩點(diǎn)之間線段最短可知，PA

+PB+PC的最小值與線段AE的長(zhǎng)度相等.

【解決問題】如圖2,在直角三角形ABC內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P,ZABAC=90°,^ACB=30。，連接PA,PB,PC,

若AB=3,求PA+PB+PC的最小值

12在△4BC中,ABAC=90°,AB=AC,,以B為圓心,BC為半徑逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到BE,使4E||BC,交AC

于點(diǎn)F,過C作CCM1BE交AE于點(diǎn)G.

(1)若.AB=遍，求AE的長(zhǎng).

⑵點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，在線段AD上存在一點(diǎn)P，使PA+PB+PC的值最小，此時(shí)AP的長(zhǎng)為m,請(qǐng)直

接用含m的式子表示PA+PB+PC的最小值.

A

Pi

1如圖,AABC和AADE者B是等腰直角三角形/BAC=NDAE=90°,AB=AC=4,O為AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線B

C上運(yùn)動(dòng)，連接0E,則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，線段0E的最小值為（）

A.-B.-C.1D.V2

22

【答案】D

【解析】如圖，取AB的中點(diǎn)Q，連接DQ,

?.zBAC=zDAE=90°,

.,.zBAC-zDAC=zDAE-zDAC,

即NBAD=NCAE.

?.AB=AC=4,0為AC的中點(diǎn)

.-.AQ=AO.

在AAQD和AAOE中，

AQ=AO

{zQAD=ZOAE,<

AD=AE

."AQD當(dāng)AOE(SAS),

.-.QD=OE.

??點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)QD^BC時(shí),QD最小.

???MBO是等腰直角三角形，

.-.zABC=45o.

-.QD±BC,

."QBD是等腰直角三角形,

■■-QD=^-QB.

1

QB=^AB=2,

.QD=<2,

二線段OE的最小值是V2

故選D.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】瓜豆原理（軌跡與最值）：軌跡為直線

2.1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,求平面

上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱

為"費(fèi)馬點(diǎn)"或"托里拆利點(diǎn)"，該問題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問題.

⑴下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從"直角"和"等邊"中選擇填空，

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短"和"三角形兩邊之和大于第三邊"中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形

的某個(gè)頂點(diǎn)）

當(dāng)AABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，

如圖1,將3PC繞，點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AA'P'C,連接PP1,

圖I圖2圖3

由PC=P'C,NPCP'=60°,可知-PCP'為①三角形，故PP'=PC,又P'A'=PA,故PA+PB+PC=PA*PB

+PP'>A'B,

由②可知，當(dāng)B,P,P',A在同一條直線上時(shí),PA+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為A'B,此時(shí)的P點(diǎn)為該

三角形的"費(fèi)馬點(diǎn)"，且有NAPC=NBPC=NAPB=③;

已知當(dāng)SBC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，"費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).如圖3,若NBAC2120。,則

該三角形的"費(fèi)馬點(diǎn)"為④一點(diǎn).

⑵如圖4,在AABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120。,且AC=3,BC=4/ACB=30°,已知點(diǎn)為AABC的"費(fèi)馬點(diǎn)"，求PA

+PB+PC的值；

⑶如圖5,設(shè)村莊A,B,O的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC=4km,BC=243km,ZACB=60。.現(xiàn)欲建一

中轉(zhuǎn)站P沿直線向A,B,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜,已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A,B,C的鋪設(shè)成本分別為a元/km,a

元/km,V2a元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.（結(jié)果用含a的式子表示）

【答案】（1）①等邊;②兩點(diǎn)之間線段最短;③120。;④A.

（2）5

（3）2V13GI

【解析】Q）解:〔?PC=P'C,ZPCP'=6O°,

."PCP為等邊三角形；

PP'=PC,NP’PC=NPPC=60",

又P'A'=PA,故PA+PB+PC=PA+PB+PP>AB,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)B,P,P',A在同一條直線上時(shí)，

PA+PB+PC取最小值，最小值為A'B,此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的"費(fèi)馬點(diǎn)”

.?.zBPC+zP'PC=180o,zA,P,C+zPP,C=180o,

.?.zBPC=120o,zA'P'C=120o,

又“APC學(xué)A'P'C,

ZAPC=NAP,C=120°,

NAPB=360°-NAPC-NBPC=120°

ZAPC=NBPC=NAPB=120°;

NBAC>120°,

.■.BC>AC,BC>AB,

.-.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AO,

，三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小.

又?.已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí),"費(fèi)馬點(diǎn)"為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).

，該三角形的"費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A,

綜上,正確答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120。；@A.

⑵將AAPC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AA'P'C,連接PP',具體如下圖所示：

由(1)可知當(dāng)B,P,P',A在同一條直線上時(shí),PA+PB+PC取最小值，最小值為A'B,-.zACP=zA'CP',

???NACP+NBCP=NA'CP'+NBCP=ZACB=30",

X-.zPCP'=60°

NBCA'=^ACP+NBCP+ZPCP'=90",

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：.AC=A(=3,

，由勾股定理得：AB=JBC2+AC2=V42+32=5,

.■.PA+PB+PC最小值為5,

(3)1,總的鋪設(shè)成本^PA-a+PB-a+PC-V2a=a(PA+PB+&PC)

，當(dāng)PA+PB+&PC最小時(shí)，總的鋪設(shè)成本最低，

將AAPO繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AAPC,連接PP',A'B

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：P'C=PC,NPCP'=NACA'=90°PA'=PA,A'C=AC=4km

PP,=V2PC,

PA+PB+五PC=PZ'+PB+PP；當(dāng)B,P,P',A在同一條直線上時(shí),

P/+PB+PP'取最小值，即PH+PB+/PC取最小值為A'B,

過點(diǎn)A，作A，H，BC,垂足為Hz

???ZACB=60°,為C/'=90°,

??.NA,CH=30。，

>i/

：.AH=-AC=2km,

2

???HC=y/AC2-AH2=V42-22=2V3(fcm),

BH=BC+CH=2V3+2舊=4V3(fcm),

A,B=7AH2+BH?=J(4A/3)2+22=2g(km)

PA+PB+&PC的最小值為2713km

總的鋪設(shè)成本=PA-a+PB-a+PC-42a=a(PA+PB+V2PC)=2舊研元)

因此正確答案為：

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)模型

3.如圖，在AABC中,NACB=90°/BAC=30°,AB=2.若點(diǎn)P是AABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為

【答案】V7

【解析】以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)AAPB至!>APB,旋轉(zhuǎn)角是60。,連接BB\PP',如圖所示,

貝UNPAP'=60°,AP=AP',PB=P'B',

."APP'是等邊三角形，

AP=PP：

PA+PB+PC=PP'+PB+PC,

???PP'+P'B'+PC>CB：

：.PP'+PB+PC的最小值就是CB'的值,

，AP=PC,

..PA+PC+PB=2PA+PB,

.NDCE=30°,DE=3cm,

，BC=CD=2DE=6cm,

CE=yJCD2-DE2=3V3cm.

BE=(6+3Vcm

BD=<BE2+DE2=(3V6+3?cm,

?nc3V6+3V2

??BO=----2----cm

tan^ABD=tanNCBD=—BE=2-V3,

AO=BO-tan^ABD=3^~3^cm,

2

過點(diǎn)A作AMJ_AP,且使"1\/^=30。,連接BM,

如圖所示：

..MP=2AP,

要使2AP+PB的值為最小，則需滿足PB+PM為最小，根據(jù)三角不等關(guān)系可得:

PB+PM>BM.

所以當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線時(shí),PB+PM取最小，

即為BM的長(zhǎng)，如圖所示：

...OM=WA0=9五：屜cm,

■■BM=BO+OM=6V2cm,

.?2AP+PB的最小值為6/cm,即AP+PC+PB的最小值為6夜cm.

故答案為6V2cm.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】線段和的最小值

4.即PA+PB+PC的最小值就是CB'的值，

?.NBAC=30°,NBAB'=60°,AB=2,

.■.^CAB'=^,AB'=2,AC=AB^=2^=43,

故答案為：V7

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】利用三邊關(guān)系解決的最短問題

5.兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD,如圖所示，若za=30°,則對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)P至!JA,B,

【解析】???紙條的對(duì)邊平行，即ADIIBC,ABIIDC,

.?四邊形ABCD是平行四邊形，

■:兩張紙條的寬度都為3cm,

=ABx3=BCx3,

四邊形ABCD

「?AB=BC,

.?四邊形ABCD是菱形，

過點(diǎn)D作DELBC于點(diǎn)E,連接AC,交BD于點(diǎn)。

如圖所示：

..BO=DO=1BD,AO=OC,AC±BD,

6.已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)，如果AABC是銳角（或直角）三角形，則其

費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn),且滿足NAPB=NBPC=NCPA=120。.例如:等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)若AB=

AC=V7,BC=2W,P為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)則PA+PB+PC=;gAB=2V3,BC=2,AC=4,

P為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC=.

【答案】5;2V7

【解析】如圖，過A作ADLBC,垂足為D.

過B,C分另U作NDBP=NDCP=30°廁PB=PC.P為3BC的費(fèi)馬點(diǎn)，

???AB=AC=布,BC=2V3,

BD=DC=\BC=V3,

PDV3

,?.PD=1,

,?.PB=2PD=2,

???AD=<AB2-BD2=J(V7)2-(V3)2=2,

.?.PA=AD-PD=1,

.".PA+PB+PC=5.

如圖：

???AB=243,BC=2,AC=4,

AB2+BC2=16,AC2=16,

AB2+BC2=AO2,

.△ABC是直角三角形，且NABC=90°,

BC_1

AC-2’

..NBAC=30°.

將AAPC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。狷到AAPC,連接PP1,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得rAPC%APC,

，AP'=AP,PC=P'C',AC=AC'/CAC'=NPAP'=60°,

."APP'是等邊三角形，

.?PP'=PA,

PA+PB+PC=BP+PP'+PC'.

四點(diǎn)共線時(shí),PA+PB+PC的值最小，最小值為BC'的長(zhǎng)，即P為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)。

???NBAC=30。,""'=60",

ZBAC=9O°,

BC'=JAB2+AC^=VAB2+AC2=J（2V3）2+42=2V7.

故答案為：5,2V7

7請(qǐng)回答下列各題：

（1）問題背景:如圖L將SBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得至SADE,DE與BC交于點(diǎn)P可推出結(jié)論:PA+PC=PE.

圖1

⑵問題解決:如圖2,在AMNG中,MN=6/M=75）MG=46點(diǎn)O是^MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O至IkMNG三個(gè)

頂點(diǎn)的距離和的最小值是.

【答案】（1）證明見解析.

（2）2V29

【解析】（1）如圖L在BC上截取BG=PD,

BGC

D

圖1

在AABG和AADP中，

AB=AD

{/B=ND,

BG=PD

.“ABG學(xué)ADP(SAS),

，AG=AP,BG=DP,

，GC=PE.

:NGAP=NBAD=60°,

「.△AGP是等邊三角形，

.■.AP=GP,

.?.PA+PC=GP+PC=GC=PE,

;.PA+PC=PE.

(2)如圖2:以MG為邊作等邊三角形AMGD,以O(shè)M為邊作等邊AOME,連接ND,作DF^NM,交NM的延長(zhǎng)線

于F.

???AMGD和AOME是等邊三角形，

.QE=OM=ME/DMG=NOME=60°,MG=MD,

.'.zGMO=zDME,

在AGMO和9ME中，

OM=ME

{ZGMO=NDME,,

MG=MD

.-.△GMO^DME(SAS),

，OG=DE,

..NO+GO+MO=DE+OE+NO,

二當(dāng)D、E、0、M四點(diǎn)共線時(shí),N0+G0+M0值最小，

???NNMG=75。，

NGMD=60°,

ANNMD=135°,

NDMF=45。，

???MG=4Vx

.-.MF=DF=4,

.-.NF=MN+MF=6+4=10,

ND=7NF2+DF2=V102+42=2V29,

..MO+NO+GO最小值為2V29

故答案為：2V29

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)性質(zhì)綜合應(yīng)用

8.已知點(diǎn)P是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫AABC的費(fèi)馬點(diǎn)(Fermatpoint)

，已經(jīng)證明:在三個(gè)內(nèi)角均小于120。的MBC中，當(dāng)NAPB=NAPC=NBPC=120°時(shí),P就是MBC的費(fèi)馬點(diǎn)，若點(diǎn)P是腰

長(zhǎng)為夜的等腰直三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF=.

【答案】V3+1

【解析】如圖:

等腰RbDEF中，DE=DF=V2,

過點(diǎn)D作DMLEF于點(diǎn)M,過E、F分別作NMEP=NMFP=30。.

就可以得到滿足條件的點(diǎn)P了.

根據(jù)特殊直角三角形求出PE=PF=^,PM=1,DM=^.

.".PD+PE+PF=PM-DM+2PE=V3+1.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】費(fèi)馬點(diǎn)

9.如圖1,在RtMBC中/BAC=9(r,AB=AC,點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD把AD綠點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得

到AE,連接CE,DE點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接OF.

(1)求證:CF=yAD.

⑵如圖2所示,在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)BD=2CD時(shí)，分別延長(zhǎng)CF,BA,相交于點(diǎn)G,鸚鵡AG與BC存在

的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論.

⑶在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，在線段AD上存在一點(diǎn)P,使PA+PB+PC的值最小，當(dāng)PA+PB+PC的值取得最小

值時(shí)，AP的長(zhǎng)為m,請(qǐng)直接用含m的式子表示CE的氏

【答案】(1)證明見解析.

(2)案=3隹證明見解析.

3+V3

(3)CE=-----m.

2

【解析】(1)；NBAC=NDAE=90。,

..NBAD=NCAE,

在AABD和AACE中,

AB=AC

{^BAD=ZCAE,

AD=AE

."ABD當(dāng)ACE,

..NABD=NACE,

?.AB=AC/BAC=90°,

..NABD=NACB=45°,

..NECD=NACB+NACE=90。,

.；F是DE的中點(diǎn),

1

??.CF=：DE,

「AD=AE/DAE=90。，

」.DE二V2AD,

CFAD.

2

(2)=3應(yīng)，理由如下:

如答圖1所示，連接AF、DG,DG交AC于點(diǎn)M.

由(1)知，AF=CF=DF=lDE,

NFAC=ZFCA,

.NGAC=90°,

.-.zFAG=zFGA,AF=GF,

??GF=DF=CF,

NFGD=NFDG/FDC=NFCD,

.?.zFDG+zFDC=90°,

ANGDC=90。，

?.NB=45°/ACD=45°,

.-.BD=GD,CD=MD,zAMG=45°,

?.zCAG=90°,

MG=42AG,

BD=2CD,

.BD=DG=2CD=2MG,

：.BC=3MG=3魚叫即筆=3V2.

⑶

如答圖2所示，當(dāng)AD，BC時(shí),

存在點(diǎn)P在AD上，使得PA+PB+PC的值最?。ㄙM(fèi)馬定理）.

且NAPB=NAPC=NBPC=120°

AP=m,BP=CP,

.?.zBPD=zCPD=60°,

設(shè)AD=x^(]PD=x-m,BD=x=AE,

，四邊形ADCE為正方形則CE=AD=BD=x,

又由(1)可知CF=^-AD,

當(dāng)四邊形ADCE為正方形且F為DE中點(diǎn)時(shí)，

則有CF=強(qiáng)

.■在&BPD中,BD=V3PDBP：x=V3(x—m),

.?.x=-3-+-V-3-m,

2

貝(jCE=萼爪.

【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的對(duì)應(yīng)邊與角

10.如圖，在菱形ABCD中,NB=60°,點(diǎn)P是AABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC,若PA=6,PB=8,PC=10,則菱形AB

CD的面積等于

【答案】50V3+72

【解析】將3PC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60、得到ABP'A,

.BP=BP',NPBP'=60°,

.?.△BPP'為正三角形，

?.?PP，=8,PA=6,PA'=PC=1O,

."APP'是以NAPP為直角的直角三角形.

S&ABP+S^BPC

，

—S^ABP+SXABP

—s,+s,

LBPP^APP

x824-ix6x8

42

=16V3+24,

同理旋轉(zhuǎn)ABAP和△APC如圖，

得S四邊形BPOP"

=—X1O2+-X6X8

42

=25V3+24,

SwXAPCP"

2

--4X62+-X6X8

=9V3+24,

S、“=16V3+24+25V3+24+9V3+24

翊ABCD

=50V3+72.

11我們以前遇到過這樣的問題：在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=2,PB=V3/C=l,求NBPC的度數(shù).

思路是：將ABPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖①）,連接PP',可得WPB是等邊三角形，而A

PP'A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），由此得到NBPC=NAP'B=150°,運(yùn)用類似的思想方法解決以下問

題:如圖②,RfABC中/BCA=90°,AC=BC=L在RtMBC內(nèi)部有一點(diǎn)Q,連接QA,QB,QO,則V2QA+QB+QC的最

小值是

【答案】V5

【解析】將AAQB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到3MN,連接MQ,CN,過點(diǎn)N作NH±CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

.AQ=AM,AB=AN,QB=MN,NQAM=NBAN=90°,

.MQ=&AQ,

?.AC=BC=l,zACB=90°,

???AB=V2XC=V2,NCAB=45°

.-.AN=V2,zCAN=zCAB+zBAN=135°,

.-.zNAH=45°,

-.NH±AH,

.?.zAHN=90°,.-.zHAN=zHNA=45°,

???AH=NH,AN=迎AH=VX

..AH=NH=L，CH=AC+AH=2,

在RbCHN中,.NCHN=90°,

CN=VCW2+NH2=V5,

V2/QA+QB+QC=QM+MN+QC>CN,

，當(dāng)且僅當(dāng)C,Q,M,N四點(diǎn)共線時(shí),

&QA+QB+QC取得最小值，最小值為V5

故答案為：V5

12如圖1,已知拋物y=一9（久+3）。-4舊）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

⑴寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo).

⑵若點(diǎn)P為AOBC內(nèi)一點(diǎn)求OP+BP+CP的最小值.

【答案】Q)A(-3,0),B(4V3,0),C(0,4).

(2)4V7

【解析】(1)主y=-+3)(x-48)=0,

得：=-3,g=4百，

X=Q時(shí),y=一梟3x(-4V3)=4,

.-.A(-3,0),B(4V3,0),C(0,4).

(2)將△BOP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,至△BPO,

則OP=O'P',BO=BO',BP=BP',zPBP'=zOBO,=60o,

."OBO'為正三角形,APBP'為正三角形，

.BP=PP',

OP+BP+CP=OP'+PP'+CP>OC,

?■-0B=4H『O'BO為正三角形，

易知O1(2V3,-6).

:.CfC=J(o-2可+(4+6)2=4A/7

.QP+BP+CP的最小值為4V7

13【閱讀材料】平面幾何中的費(fèi)馬問題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾彳惠?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：給

定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C,求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)P的位置，費(fèi)馬問題有多種不同

的解法，最簡(jiǎn)單快捷的還是幾何解法.如圖1,我們可以將ABPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到ABDE,連接PD,可得

△BPD為等邊三角形，故PD=PB,由旋轉(zhuǎn)可得DE=PC,S

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由兩點(diǎn)之間線段最短可知,PA+PB+PC的最小值與線段AE的長(zhǎng)度相等.

【解決問題】如圖2,在直角三角形ABC內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P,NBAC=9(T,NACB=30。，連接PA,PB,PC若AB=3,

求PA+PB+PC的最小值.B

%?

圖1圖2

【答案】3V7

【解析】解:將MBP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AEBF,連接PF,CE,作EH^CA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

在RbABC中/ACB=