2025年中考數(shù)學考點過關練：與圓有關的位置關系

第22關與圓有關的位置關系

基礎練

考點1與圓有關的位置關系

1.[2024湖南衡陽一模]已知點A是。0外一點，且。0的半徑為6、則0A的長可能為（）

A.2B.4C.6D.8

2.[2024上海楊浦區(qū)三模]已知點A在半徑為3的圓。上，如果點A到直線a的距離是6,那么圓0與直線a

的位置關系是（）

A相交B相離

C.相切D.無法確定

3.[2024青海西寧二模]已知0O的半徑為8cm,圓心O到直線1上某點的距離為8cm，則直線1與。O的公共點

的個數(shù)為（）

A.OB.1或。

C.0或2D.1或2

4.[2024上海]在4ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,點P在仆ABC內(nèi),分別以A,B,P為圓心畫圓，圓A半徑為1,圓B半

徑為2,圓P半徑為3,圓A與圓P內(nèi)切，圓P與圓B的關系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.外切D.相離

考點2切線的性質(zhì)與判定

5.[2024福建]如圖,已知點A,B在。O上,NAOB=72。,直線MN與。O相切,切點為C,且C為AB的中點，則

ZACM等于（）

6.[2024山西]如圖，已知△ABC以AB為直徑的。O交BC于點D,與AC相切于點A,連接OD.若/AOD=80。,

則NC的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

7.［2024江蘇揚州］如圖，已知兩條平行線I］、I?，點A是-上的定點,ABL2于點B,點C、D分別是》、卜上

的動點，且滿足AC=BD,連接CD交線段AB于點E,BH，CD于點H,則當NBAH最大時,sin/BAH的值為.

第7題圖第8題圖

8.［2024重慶A卷］如圖，以AB為直徑的OO與AC相切于點A,以AC為邊作平行四邊形ACDE,點D,E均在

OO上,DE與AB交于點F,連接CE,與。O交于點G,連接DG.若AB=10,DE=8,則AF=,DG=L

9.［2024四川南充］如圖，在。O中,AB是直徑,AE是弦，點F是AE上一點，通=麻,AE,BF交于點C,點D為

BF延長線上一點，且/CAD=/CDA.

(1)求證:AD是。O的切線；

⑵若BE=4,AD=2V5,求。0的半徑長.

10.［2024陜西］如圖，直線1與。O相切于點A,AB是。O的直徑，點C,D在1上，且位于點A兩側(cè)，連接BC,BD,

分別與OO交于點E,F,連接EF.AF.

(1)求證:NBAF=ZCDB;

(2)若。O的半徑r=6,AD=9,AC=12,求EF的長

B

CAD

考點3三角形的內(nèi)切圓

11.[2024山東濱州]劉徽(今山東濱州人)是魏晉時期我國偉大的數(shù)學家，中國古典數(shù)學理論的奠基者之一，被譽

為“世界古代數(shù)學泰斗”.劉徽在注釋《九章算術》時十分重視一題多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的

推導，他給出了內(nèi)切圓直徑的多種表達形式.如圖,RtAABC中,/C=9(F,AB,BC,CA的長分別為c,a,b,則可以用

含c,a,b的式子表示出△ABC的內(nèi)切圓直徑d,下列表達式錯誤的是)

A.d=a+b-c

C.d=J2(c-a)(c—b)D.d=|(a-b)(c-b)|

12.[2024四川自貢]在RtAABC中,NC=90。,。。是△ABC的內(nèi)切圓,切點分別為D,E,F.

⑴圖1中三組相等的線段分別是CE=CF,AF=,BD=；若AC=3,BC=4廁。。半徑長為,

(2)如圖2,延長AC到點M,使AM=AB,過點M作MN±AB于點N.求證:MN是。O的切線.

13.[2024四川瀘州]如圖,EA,ED是的切線，切點為A,D,點B,C在。O上，若/BAE+NBCD=236。,則/E=

()

A.56°B.60°C.68°D.70°

14.[2024上海閔行區(qū)二模]在RtAABC中,NCAB=9(T,AB=5,AC=12以點A,點B點C為圓心的。A,OB,(DC

的半徑分別為5,10,8、那么下列結(jié)論錯誤的是()

A.點B在。A上

B.?A與。B內(nèi)切

C.OA與。C有兩個公共點

D.直線BC與。A相切

15.[2024山東日照二模]如圖,AB是OO的直徑，半徑OC，AB、P為。O上一動點,M為AP的中點，連接CM.

若0O的半徑為2,則CM的最大值為()

X.2V5+1B.V5+1

C.4D.—+1

2

第15題圖第16題圖

16.[2024陜西西安校級模擬]在△ABC中,/?=90。,/人=60。,：^=4,若0€：與人8相離,則半徑r滿足

()

A.r>2B.r<2

C.0<r<2D,0<r<2A/3

17.[2024四川瀘州校級模擬]如圖，在平面直角坐標系中,人(-1,0)取0,1)](-3,2),若點C是以點P為圓心，1為

半徑的圓上一點，則△ABC面積的最大值為()

42+乎B.2T

18.[2024四川內(nèi)江]如圖，在△ABC中,NABC=6(rBC=8,E是BC邊上一點且BE=2,點1是△ABC的內(nèi)心,BI

的延長線交AC于點D,P是BD上一動點，連接PE、PC,則PE+PC的最小值為.

19.[2024重慶B卷]如圖,AB是。O的直徑,BC是。O的切線，點B為切點.連接AC交。。于點D,點E是。

O上一點，連接BE,DE,過點A作AF〃BE交BD的延長線于點F.若BC=5,CD=3,/F=NADE,則AB的長度是

—；DF的長度是.

c

20J2024四川涼山州］如圖,。M的圓心為M(4,0),半徑為2,P是直線y=x+4上的一個動點，過點P作。M

的切線，切點為Q,則PQ的最小值為.

21.［2024湖北武漢］如圖,△ABC為等腰三角形,0是底邊BC的中點，腰AC與半圓O相切于點D,底邊BC

與半圓O交于E,F兩點.

(1)求證:AB與半圓O相切.

(2)連接OA.若CD=4,CF=2,求sinZOAC的值.

22.［2024內(nèi)蒙古通遼］如圖,△ABC中,/ACB=90。,點O為AC邊上一點，以點O為圓心,OC為半徑作圓與AB

相切于點D,連接CD.

⑴求證:ZABC=2ZACD;

(2)若AC=8,BC=6,求。O的半徑.

23.［2024湖北］如圖，在RtAABC中,NACB=90。,點E在AC上以CE為直徑的。O經(jīng)過AB上的點D,與

OB交于點F,且BD=BC.

⑴求證:AB是。O的切線;

(2)若AD=V3,AE=1,求CF的長.

24J2024山東臨沂］如圖，在四邊形ABCD^,AD/7BC,ZDAB=60°,AB=BC=2AD=2.UZ*A為圓心，以AD為半

徑作證交AB于點E,以點B為圓心，以BE為半徑作EF交BC于點F,連接FD交EF于另一點G,連接CG.

(1)求證:CG為EF月所在圓的切線；

(2)求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留兀)

25.［2024山東煙臺］如圖,AB是。O的直徑,△ABC內(nèi)接于。O,點I為△ABC的內(nèi)心，連接CI并延長交0O于

點D.E是BC一上任意一點，連接AD,BD,BE,CE.

(1)若/ABC=25。,求/CEB的度數(shù)；

⑵找出圖中所有與DI相等的線段，并證明；

⑶若CI=2V2,D/=葭魚,求4ABC的周長.

D

26.［2024黑龍江齊齊哈爾］如圖,△ABC內(nèi)接于0O,AB為。O的直徑,CDLAB于點D、將△CDB沿BC所在

的直線翻折、得到ACEB,點D的對應點為E、延長EC交BA的延長線于點F.

⑴求證:CF是。O的切線；

⑵若sinzCFfi=與,AB=8,求圖中陰影部分的面積.

c

27、［2024廣東廣州］如圖,在菱形ABCD中,/C=120。.點E在射線BC上運動（不與點B,點C重合）,AAEB

關于AE的軸對稱圖形為^AEF.

⑴當NBAF=30。時試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關系，并說明理由.

⑵若AB=6+673,00為4AEF的外接圓股。0的半徑為r.

①求r的取值范圍.

②連接FD,直線FD能否與。O相切?如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由.

第22關與圓有關的位置關系

1.D2.D

3.D解析:「。。的半徑為8cm,圓心0到直線I上某點的距離為8cm,

，圓心0到直線I的距離小于或等于圓的半徑，

二直線I和。。相切或相交，

???直線I與。0公共點的個數(shù)為I或2.

4.B解析:1?圓A半徑為L圓P半徑為3,圓A與圓P內(nèi)切，

，PA=3-1=2,

??.P在以A為圓心、2為半徑的圓（在SBC內(nèi)的部分）上運動.如圖所示.

???當點P運動到P'位置時，圓P與圓B圓心的距離最大，最大值為用不孕=V17,

舊<3+2=5,.圓P與圓B相交..

5.A解析:〔C為AB的中點,

AC=BC,

i

??.ZAOC=NBOC=-ZAOB=36°,

2

OA=OC,

?.直線MN與。。相切于點C,

.?.zOCM=90°,

.-.zACM=zOCM-zOCA=180.

解題關鍵.

能根據(jù)C為AB的中點彳導到NAOC=NBOC=|/4。8是解題的關鍵.

6.D解析:?.zAOD=80°,

1

.?./8=±4。。=40°.

2

VOO與AC相切于點A,

/.zBAC=90°/

..zC+zB=90°z

???NC=90°-40°=50°.

7.-

3

解析:」/l2,

，NACE=NBDE,NCAE=NDBE,

?.AC=BD,

AACE學BDE、

AE=BE=^AB,

?.BH±CD,

.-.zBHE=90o,

..點H在以BE為直徑的圓上運動，如圖，取線段BE的中點O,以點。為圓心，OB的長為半徑畫圓，

則點H在。。上運動,

，當AH與。0相切時NBAH最大,

連接OH,

.'.OH±AHS

易得AO=AE+OE=3OE、

-,OH=OE,

._.,,OHOE1

sm^BAH=——=——=

4030E3

方法技巧.

解答本題的關鍵是發(fā)現(xiàn)點E是定點，點H在以BE為直徑的圓上運動，當AH與該圓相切時,zBAH最大.

解析如圖，連接OD,；AC與。0相切/.AB^CA,又?.四邊形ACDE是平行四邊形,，DEllCA,「.AB，DE,

/AB是直徑，

??.F為DE的中點,二DF=4,

0D=-AB=5,

2，

OF=<0D2-DF2=V52-42=3,

.〔AF=5+3=8.

如圖所示，過點D作DH^CE于H,過C作CP^ED交ED的延長線于P,易知CP=AF=8,FP=CA=8,二.EP=12,

CE=7cp2+PE2=V82+122=4VH，由等面積法可知S^CDE=\CP-DE=-CE,

DH=誓易知NDGE=2NBAE/DOB=2NBAE,

?不

5X1^9

.?.ZDGE=ZDOB,XZDHG=ZDFO=90°,.-.ADGH-ADOF,.-.DCH=DPF,DG==誓.

難點突破..

求線段的長度有兩個思路：一是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解；二是利用兩個三角形相似建立等式再求

解，本題的突破口是構(gòu)造直角三角形DGH與直角三角形DOF,而后證明二者相似，解題關鍵是發(fā)現(xiàn)NDGE=ND

0B.

:⑴見解析(2)2V5

解析：(1)證明：???AF=BE,

.-.zABF=zBAE.

zCAD=zCDA,zADC+zABF+zBAE+zCAD=180°,

.?.zBAE+zCAD=90°,BPzBAD=90°,

.-.AD±AB.

■?OA是。。的半徑，

.?.AD是。0的切線.

(2)如圖，連接AF.

AF=BE,AF=BE=4.

??AB是直徑，

.?.zAFB=90°,/.zAFD=90°.

在RbADF中，DF=y/AD2-AF2=2.

,cABAFAB4

tan。=———,--p=―,

ADDF2752

AB=4V5.

又AB是直徑，二。。的半徑長為2V5

10.(1)見解析⑵學

解析:⑴證明:??直線I與。O相切于點A,

.-.AB±CD,

.-.zBAC=zBAD=90o,

.?.zCDB+zABD=90°,

.AB是。0的直徑，

.-.zAFB=90°,

..NBAF+NABD=90°,

zBAF=zCDB.

⑵在RfABD中,

?.AB=2r=12,AD=9,

BD=V92+122=15,

在Rt^ABC中，

?.AB=12,AC=12,

BC=V122+122=12V2,

.NABF=NDBA/AFB=NBAD,

.".△BAF'-ABDA,

.-.BF:BA=BA:BD,

即BF:12=12:15,

48

BDFL=y,

.NBEF=NBAF,NBAF=NCDB,

.-.zBEF=zCDB,

?.zEBF=zDBC,

.".△BEF1-ABDC,

.-.EF:CD=BF:BC,

即EF-.21=￡:12迎，

???E口F廠=-4-2-魚-.

5

11.D解析如圖，設。O分別切AABC的邊AC,AB,BC于點U,2連接0人,08,0匚?？?0￡,(^,則

AE=AF,BD=BF,OE±AC,OF±AB,OD±BC,

易證四邊形OECD是正方形，設OE=OD=OF=r,

貝EC=CD=r,

.,.AE=AF=b-r,BD=BF=a-r,

?.AF+BF=AB,

.?.b-r+a-r=c,

a+b-c

.?.r=----,

2

：d=a+b-c.故選項A正確.

^^i^AHC=S^BOC+S^AOC+S^AOB，

-ab=-ar+-brcr,

2222

/.ab=r(a+b+c)z

2ab

；"=氤，即d=:.故選項B正確.

a+b+c

???d=a+b—c,M+力2=乙

???d=+J—c)2

=JQ2+爐+”+2a2—2c(a+b)

=J2c2+2a2—2cm+b)

=%/2[c2-c(a+6)+a6]

==2(c-a)(c-b),

故選項C正確.

故選D.

一題多解..

本題作為選擇題，用特殊值法可快速確定答案.

1?三角形ABC為直角三角形，

...令a=3,b=4,c=5.

選項A,d=a+b-c=2,

選項Bd=箋=2,

a+b+c

選項C,d=72(c_-=2,

選項D,d=l(a-b)(c-b)l=l,

很明顯，只有D選項跟其他選項不一致，所以表達式錯誤的應是D選項.

12.(1)AD;BE;1(2)見解析

解析：(1)由切線長定理可知,AF=AD,BD=BE,連接OE,OF,

?.zC=90°,oO是AABC的內(nèi)切圓,

..NC=NOEC=NOFC=90°,OE=OF,

二?四邊形OECF是正方形，

設OE=OF=CF=CE=x/BE=BC-CE=4-x=BD,AF=AC-CF=3-x=AD,

BD+AD=ABy/AC2+BC2=暫不值=5,；.4-x+3-x=5,解得x=l,

「QE=L即。。半徑長為1.

(2)證明:過。作OH^MN于H,連接0D,

o

vzANM=90=zACBzzA=zAzAM=ABz

.“AMN￥ABC(AAS),

.-.AN=AC,

?.AD=AF,

.-.AN-AD=AC-AF,gpDN=CF、

由⑴可知,CF=OE、

..DN=OE、

.NANM=90°=NODN=NOHN,

，四邊形OHND是矩形，

.QH=DN,

.QH=OE,即OH是。0的半徑，

-.OH±MN,

，MN是。。的切線.

13.C解析:連接AD,

???四邊形ABCD是。0的內(nèi)接四邊形，

.-.zBAD+zBCD=180o,

?.zBAE+zBCD=236°,

zEAD+ZBAD+zBCD=zEAD+180°=236°,

.?.zEAD=56°,

?.EA,ED是G)0的切線，切點為A,D,

，EA=ED,

..NEDA=NEAD=56°,

zE=180°-zEDA-zEAD=180°-56°-56°=68°.

14.D解析:A.。A的圓心A到點B的距離AB=5,而。A的半徑是5,因此點B在。A上，所以選項A不符合

題意；

B.OA的半徑為5,0B的半徑為10,兩個圓心之間的距離AB=5=10-5,所以。A與OB內(nèi)切，因此選項B

不符合題意；

C.OA的半徑為5,OC的半徑為8,兩個圓心之間的距離AC=12,滿足8-5<AC<8+5,所以OA與。C相交

即。A與。C有兩個公共點，因此選項C不符合題意；

D.OA的圓心A到BC的距離小于5,所以直線BC與。A相交，因此選項D符合題意.

故選D.

15.B解析如圖，設0A的中點為0',當點P在。。上移動時,AP的中點M的運動軌跡是以0A為直徑的

?01,因此當點M為CO'的延長線與。0'的交點時,CM最大，

由題意得,OA=OB=OC=2,OO'=O'A=l=0'M,

在Rt^O'OC中QC=2,00'=L

0C=722+1.2=逐,

?.CM的最大值為、V5+1.

16.C解析:過C作CDLAB于D,在RfABC中/C=9(T/A=60。，

..NB=30。，

???CD=-BC=2,

2

???OC與AB相離,

，半徑r滿足0<r<2.

17.A解析:連接PA,延長AP交。P于K,連接BK,過P作PH^x軸于H,如圖，

.■.OH=3,PH=2,OA=1,

.-.AH=0H-0A=2,

..AH=PH,

.“PAH是等腰直角三角形，

.?.zPAH=45°,

.B(0,l),

.-.OB=1,

■.OA=OB,

.“OAB是等腰直角三角形,

.?.zBAO=45°,

NBAK=180--45°-45。=90。,又.AK過圓心P,

二當C與K重合時,△ABC的面積最大,

???AAPH,AABO是等腰直角三角形，

???PA=V2AH=2V2,AB=V2OA=VX

???OP的半徑是L

..PK=L

AK=2V2+1,

."ABC面積的最大值為^AB-AK=2+y.

18.2V13

解析:在AB上取點F,使BF=BE=2,連接PF,CF,過點F作FH^BC于H,

?.點I是AABC的內(nèi)心,

.-.BI平分NABC,

，NABD=NCBD,

又BP=BP,

.“BFP學BEP(SAS),

..PF=PE,

，PE+PC=PF+PC“F,當C,P,F三點共線時,PE+PC最小，最小值為CF的長，

-.-FH±BC,zABC=60°,

.-.zBFH=30°,

???BH=[BF=I,

???FH=7BF2-BH2=V3,CW=BC-BH=7,

???CF=y/CH2+FH2=2V13,

二PE+PC的最小值為:2〃3.

19.-；-

33

解析:「AB是。O的直徑，

.-.zADB=90o,

.-.zBDC=90o,

.BC=5,CD=3,

???BD=VBC2-CD2=4,

BC與。O相切于B,

，直徑AB^BC,

.?.zABC=90°,

zBCD=NACB/CDB=zABC=90°,

.'.ACDB'"ACBA,

.-.DB:BA=CD:CB,

.■.4:AB=3:5,

An20

?*.AB=—,

3

?「AFllBE,

/.zBAF=zABEz

??/ABE=NADE/F=NADE,

/.zF=zBAFz

20

.?.BF=AB=—

3f

ono

；.DF=BF-BD=絲一4=二

33

故答案為y；|.

20.2V7

解析：連接MP,MQ,設直線y=x+4與x軸的交點為A,與y軸的交點為B,

；PQ是。M的切線，

.■.MQ±PQ,

PQ=y/PM2-MQ2=7PMz一4

二當PM最小時,PQ最小，當MP±AB時,MP最小，易知A(-4,0),B(0,4),

...OA=OB=4,

，NBAO=45；，M(4,0),，AM=8,當MP±AB時,MP=AM-sin/BAO=8x亨=4近,

■■PQ的最小值為J(4‘_4=V28=2-/7.

21.⑴見解析⑵：

解析：(1)證明:連接OA、0D,作ON±AB交AB于N,如圖.

A

?"ABC為等腰三角形,0是底邊BC的中點，

..A0平分NBAC.

.AC與半圓O相切于點D,

.■.OD±AC.

-.ON±AB,

.-.ON=OD.

■ON是半圓O的半徑,

.-AB與半圓O相切.

⑵由⑴可知OD±AC,

?"ABC為等腰三角形,0是BC的中點,.?.AOLBC.

.?.zAOC=90°,zODC=90°.

.?.zOAC+zOCA=90°,zCOD+zOCA=90°,

.,.zOAC=zCOD.

CD

sin/。"=sin/COD=

又?.OF=OD,CF=2,CD=4,

.-.0C=0F+FC=0D+2,

在Rt^ODC中,(OC2=CD2+OD2,

：.(OD+2尸=42+OD2,

解得0D=3.

?Yin皿。喂=康=貴/

2.(1)見解析(2)3

解析：(1)證明:連接OD,

,「AB為。O的切線,

.-.OD±AB,

.?.zODA=zODB=90°,

?.zACB=90°,

..NABC+NCOD=180。,

?.zAOD+zCOD=180°,

.,.zABC=zAOD,

?.NA0D=2NACD,

.-.zABC=2zACD.

(2)設。0的半徑為r,

則0D=0C=r,

0A=8-r,

在Rt^ACB中，

?.zACB=90°,AC=8,BC=6,

???AB=V62+82=10,

?.zOAD=zBAC,zADO=zACB,

.,.△AOD1-AABC,

.OD_AOo[-|r_8-r

**BC.AB^6—10，

解得r=3,

即。。的半徑為3.

23.⑴見解析(2)n/3

解析:⑴證明:連接OD,

BD=BC,

在AOBD和AOBC中(OB=0B,

0D=0C,

.?.AOBD^AOBC(SSS),

..NODB=NOCB=90°,

???OD為。。的半徑，

?.AB是。。的切線.

(2)由⑴知NODB=/ODA=90。.

設。。的半徑為X,

2

在RfAOD中，A02=。標+402,即僅+i)2=刀2+(73),

解得x=l,

.QD=L0A=2,

cosZAOD=—OA=-2

..NAOD=60°.

,.△OBD^^OBC,

ANBOD=NCOF=|X(180°-60°)=60°,

，CF的長為曙=泉

24.(1)見解析⑵呼-9

4D

解析:⑴證明:如圖，連接BG,

.AB=BC=2AD=2,

..AE=AD=L

BE=AB-AE=1.

，BF=BG=BE=1.

.-.BF=AD.

'.ADllBC,

，四邊形ABFD是平行四邊形.

..NDFB=NDAB=60°.

."BFG是等邊三角形.

.?.zBGF=60°,FG=l.

又.FC=BC-BF=L

.-.FC=FG.

1

NCGF=ZFCG=~ZBFG=30°.

2

zCGB=zBGF+zCGF=90°.

.?.BG是EF所在圓的半徑，

.■.CG為EF所在圓的切線.

(2)如圖，過D作DH_LAB于H,

在Rt-AHD中，DH=AD-sinA=y.

由⑴易知NGBF=60°.

??四邊形ABFD為平行四邊形，

，DF=AB=2,NABF=120。，

，DG=DF-GF=1,NGBE=60。.

s_=s—s—s

..麗區(qū)稀后ABCD甲用^DAE魁肺E

_37371

~43,

25.(1)115。(2)DI=AD=BD;證明見解析(3)30

解析:⑴■「AB是（DO的直徑,

..NACB=90°,又NABC=25°,

ANCAB=90°-25°=65°.

?.?四邊形ABEC是。。的內(nèi)接四邊形，

.?.zCEB+zCAB=180°,

..NCEB=180°-NCAB=115°.

(3)證明:如圖，連接AI,

?.點I為AABC的內(nèi)心,

-1

zCAI=zBAI,zACI=zBCI=-N4cB=45°,

2

AD=BD,

.-.zDAB=zDCB=zACI,AD=BD,

?.zDAI=zDAB+zBAI,zDIA=zACI+zCAI,

.,.zDAI=zDIA,

.-.DI=AD=BD.

⑶如圖，過I分別作IQ，AB,IF_LAC,IPJ_BC,垂足分別為Q,F,P,

??點■△ABC的內(nèi)心，即為SBC的內(nèi)切圓的圓心，

.■.Q,F,P分別為該內(nèi)切圓與SBC三邊的切點，

..AQ=AF,CF=CP、BQ=BP.

?.Cl=2&、zIFC=90°,zACI=45°,

.-.CF=CI-cos45°=2=CP.

?，-DI=AD=BD,DI=yV2,zADB=90°,

AB=s/AD2+BD2=13,

.“ABC的周長為AB+AC+BC

=AB+AF+CF+CP+BP

=AB+AQ+2CF+BQ

=2AB+2CF

=2x13+2x2

=30.

疑難突破..

問題(2)是本題難點，且對問題(3)起到鋪墊作用.在解題中，要善于進行合理的猜想，從圖中觀察AD和BD

的長度與DI的長度可能相等，進而觀察AD與DI的位置關系，根據(jù)AD與DI有公共端點這一位置關系嘗試通

過"等角對等邊"對猜想進行推理證明.

因此，在解決問題的過程中，"觀察一猜想一證明"是一種有效的探究策略，在日常學習中要嘗試體會和運用.