2026版步步高大一輪數(shù)學(xué)江蘇基礎(chǔ)一輪復(fù)習(xí)第三章§3.5導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值_第1頁
2026版步步高大一輪數(shù)學(xué)江蘇基礎(chǔ)一輪復(fù)習(xí)第三章§3.5導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值_第2頁
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§3.5導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值(分值:80分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分,共20分)1.已知函數(shù)f(x)=-x+2sinx,x∈[0,π],則函數(shù)f(x)的最大值為()A.0 B.2-πC.3-π3 D.3-答案C解析f(x)=-x+2sinx,x∈[0,π],∴f'(x)=-1+2cosx,令f'(x)=0,得x=π3∴fπ3=3-π又f(0)=0,f(π)=-π,∴f(x)max=fπ3=3-π2.函數(shù)f(x)=(3x-1)e2x的最小值為()A.-3e?43 B.-32e答案B解析由f(x)=(3x-1)e2x,得f'(x)=6x+1e2令f'(x)<0,得x<-16;令f'(x)>0,得x>-16,所以函數(shù)f(x)在?∞所以f(x)=(3x-1)e2x的最小值為f?16=?13.已知函數(shù)f(x)=lnx+ax在(0,1)上有最大值,則a的取值范圍是()A.(0,+∞) B.(0,1)C.(-∞,-1) D.(-1,0)答案C解析因?yàn)閒'(x)=1x+a,x>0所以當(dāng)a≥0時,f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不存在最大值;當(dāng)a<0時,令f'(x)=0,得x=-1a所以當(dāng)x∈0,?1a時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈?1a,+∞時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以f(x所以0<-1a<1,解得a<-14.某海上油田A到海岸線(近似直線)的垂直距離為10海里,垂足為B,海岸線上距離B處100海里有一原油廠C,現(xiàn)計劃在BC之間建一石油管道中轉(zhuǎn)站M.已知海上修建石油管道的單位長度費(fèi)用是陸地上的3倍,要使從油田A處到原油廠C修建管道的費(fèi)用最低,則中轉(zhuǎn)站M到B處的距離應(yīng)為()A.52海里 B.522C.32海里 D.102海里答案B解析設(shè)BM=x(0<x<100),并設(shè)陸地上修建石油管道的單位長度費(fèi)用為1,則AM=100+x2,MC=100-所以總費(fèi)用為f(x)=3100+x2+100-x(0<x<100),則f'(x)=3令f'(x)>0,則522<x即f(x)在52令f'(x)<0,則0<x<52即f(x)在0,5所以當(dāng)x=522時,f(x二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分,共12分)5.已知定義在R上的函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的大致圖象如圖所示,則下列敘述正確的是()A.f(a)<f(b)<f(c)B.函數(shù)f(x)在x=c處取得最大值,在x=e處取得最小值C.函數(shù)f(x)在x=c處取得極大值,在x=e處取得極小值D.函數(shù)f(x)的最小值為f(d)答案AC解析由題圖可知,當(dāng)x≤c時,f'(x)≥0,所以函數(shù)f(x)在(-∞,c]上單調(diào)遞增,又a<b<c,所以f(a)<f(b)<f(c),故A正確;因?yàn)閒'(c)=0,f'(e)=0,且當(dāng)x<c時,f'(x)>0;當(dāng)c<x<e時,f'(x)<0;當(dāng)x>e時,f'(x)>0.所以函數(shù)f(x)在x=c處取得極大值,但不一定取得最大值,在x=e處取得極小值,但不一定是最小值,故B不正確,C正確;由題圖可知,當(dāng)d≤x≤e時,f'(x)≤0,所以函數(shù)f(x)在[d,e]上單調(diào)遞減,從而f(d)>f(e),故D不正確.6.(2025·莆田模擬)已知函數(shù)f(x)=(x2-3x+1)ex,則下列說法中正確的是()A.f(x)在R上有兩個極值點(diǎn)B.f(x)無最大值、無最小值C.f(x)有最小值、無最大值D.函數(shù)f(x)在R上有三個零點(diǎn)答案AC解析∵f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=(x2-x-2)ex=(x-2)(x+1)ex,∴當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)時,f'(x)>0;當(dāng)x∈(-1,2)時,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,2)上單調(diào)遞減,∴f(x)的極大值為f(-1)=5e,極小值為f(2)=-e2當(dāng)x<0時,x2-3x+1>0,ex>0,∴f(x)>0在(-∞,0)上恒成立,可作出f(x)的圖象如圖所示,對于A,f(x)的極大值點(diǎn)為-1,極小值點(diǎn)為2,A正確;對于B,C,f(-1)不是f(x)的最大值,f(2)是f(x)的最小值,B錯誤,C正確;對于D,由圖象可知,f(x)在R上有且僅有兩個零點(diǎn),D錯誤.三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知函數(shù)y=(x+a)ex的最小值為-1,則實(shí)數(shù)a=.

答案-1解析y'=(x+a+1)ex,當(dāng)x∈(-∞,-a-1)時,y'<0,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(-a-1,+∞)時,y'>0,函數(shù)單調(diào)遞增,故當(dāng)x=-a-1時,函數(shù)取得極小值,也是最小值,為-e-a-1,故-e-a-1=-1,所以a=-1.8.(2024·雅安模擬)已知f(x)=lnx,g(x)=x,若f(m)=g(n),則m-n的最小值為.

答案1解析由題設(shè)f(m)=g(n)=t,則lnm=n=t,得m=et,n=t,則m-n=et-t,設(shè)h(x)=ex-x,h'(x)=ex-1,令h'(x)=0,得x=0,當(dāng)x∈(-∞,0)時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(0,+∞)時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=0時,函數(shù)取得最小值,h(0)=1,所以m-n的最小值為1.四、解答題(共28分)9.(13分)小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè),生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品.經(jīng)過市場調(diào)研,生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元,當(dāng)年產(chǎn)量為x萬件時,需另投入流動成本W(wǎng)(x)萬元.已知在年產(chǎn)量不足4萬件時,W(x)=13x3+2x,在年產(chǎn)量不小于4萬件時,W(x)=7x+64x-27.每件產(chǎn)品售價6元.(1)寫出年利潤P(x)(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)解析式;(年利潤=年銷售收入-年固定成本-流動成本)(6分)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時,小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大?最大年利潤是多少?(7分)解(1)由題意,當(dāng)0<x<4時,P(x)=6x-2-13x3+2x=-13當(dāng)x≥4時,P(x)=6x-2-7x+64x?27所以P(x)=?(2)當(dāng)0<x<4時,P'(x)=-x2+4,令P'(x)=0,解得x=2.易得P(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,4)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)0<x<4時,P(x)max=P(2)=103當(dāng)x≥4時,P(x)=25-x+64x≤25-2x·64x=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=64綜上,當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時,所獲年利潤最大,最大年利潤是9萬元.10.(15分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.(1)若函數(shù)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(6分)(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在實(shí)數(shù)a,使得當(dāng)x∈(0,e](e是自然對數(shù)的底數(shù))時,函數(shù)g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.(9分)解(1)∵f'(x)=2x∴當(dāng)x∈[1,2]時,f'(x)≤0恒成立,即2x2+ax-1≤0恒成立,即a≤-2x+1x又函數(shù)y=-2x+1x在[1,2∴當(dāng)x=2時,?2x+1故a的取值范圍是?∞(2)∵f(x)=x2+ax-lnx,a∈R,∴g(x)=f(x)-x2=ax-lnx,x∈(0,e],∴g'(x)=a-1x=ax?1x(0<x當(dāng)a≤0時,g(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,g(x)min=g(e)=ae-1=3,解得a=4e當(dāng)0<1a<e,x∈0,1a時,g'(x)<0,g(x)在0,1a上單調(diào)遞減,當(dāng)x∈1a,e時,g'(x)>0∴g(x)min=g1a=1+lna=3,解得a=e2當(dāng)1a≥e,x∈(0,e]時,g'(x)≤0,g(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,g(x)min=g(e)=ae-1=3解得a=4e綜上,存在實(shí)數(shù)a=e2,使得當(dāng)x∈(0,e]時,g(x)的最小值是3.每小題5分,共10分11.已知函數(shù)f(x)=x3-3x,x∈(a,a+4)存在最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.[-2,1) B.(-2,1)C.[-3,1) D.(-3,1)答案A解析∵f(x)=x3-3x,∴f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1,且當(dāng)x<-1時,f'(x)>0;當(dāng)-1<x<1時,f'(x)<0,當(dāng)x>1時,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增,在(-1,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,又f(-1)=2,f(1)=-2,令f(x)=x3-3x=-2,解得x=-2或x=1,∴其圖象如圖所示,由圖可知,當(dāng)x∈(a,a+4)時,f(x)存在最小值,∴-2≤a<1<a+4,解得-2≤a<1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2,1).12.已知函數(shù)f(x)=lnx+x+1-xex,則函數(shù)f(x)的最大值為.

答案0解析f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=1x+1-(x+1)ex=(1+設(shè)g(x)=1-xex(x>0),則g'(x)=-(x+1)ex<0,故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,由于g(0)=1>0,g(1)=1-e<0,故存在x0∈(0,1),使g(x0)=0,即g(x0)=1-x0ex0=0,即ex故當(dāng)x∈(0,x0)時,g(x)>0,則f'(x)>0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,g(x)<0,則f'(x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,x0),單調(diào)遞減區(qū)間為(x0,+∞).即函數(shù)f(x)的最大值為f(x0)=lnx0+x0+1-x0ex0=ln1ex0+x0+1-x

答案精析1.C[f(x)=-x+2sinx,x∈[0,π],∴f'(x)=-1+2cosx,令f'(x)=0,得x=π3∴fπ3又f(0)=0,f(π)=-π,∴f(x)max=fπ3=2.B[由f(x)=(3x-1)e2x,得f'(x)=6x+1e2令f'(x)<0,得x<-16令f'(x)>0,得x>-16,所以函數(shù)f(x)在?∞,?所以f(x)=(3x-1)e2x的最小值為f?=-32e3.C[因?yàn)閒'(x)=1x+a,x>0所以當(dāng)a≥0時,f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不存在最大值;當(dāng)a<0時,令f'(x)=0,得x=-1a所以當(dāng)x∈0,?1a時,f'(x)>0,函數(shù)f(當(dāng)x∈?1f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)max=f?1所以0<-1a<1,解得a<-1.4.B[設(shè)BM=x(0<x<100),并設(shè)陸地上修建石油管道的單位長度費(fèi)用為1,則AM=100+x2,MC=100-所以總費(fèi)用為f(x)=3100+x2+100-x(0<x則f'(x)=3x100+令f'(x)>0,則522<x即f(x)在52令f'(x)<0,則0<x<52即f(x)在0,5所以當(dāng)x=52f(x)取得最小值.]5.AC[由題圖可知,當(dāng)x≤c時,f'(x)≥0,所以函數(shù)f(x)在(-∞,c]上單調(diào)遞增,又a<b<c,所以f(a)<f(b)<f(c),故A正確;因?yàn)閒'(c)=0,f'(e)=0,且當(dāng)x<c時,f'(x)>0;當(dāng)c<x<e時,f'(x)<0;當(dāng)x>e時,f'(x)>0.所以函數(shù)f(x)在x=c處取得極大值,但不一定取得最大值,在x=e處取得極小值,但不一定是最小值,故B不正確,C正確;由題圖可知,當(dāng)d≤x≤e時,f'(x)≤0,所以函數(shù)f(x)在[d,e]上單調(diào)遞減,從而f(d)>f(e),故D不正確.]6.AC[∵f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=(x2-x-2)ex=(x-2)(x+1)ex,∴當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)時,f'(x)>0;當(dāng)x∈(-1,2)時,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,2)上單調(diào)遞減,∴f(x)的極大值為f(-1)=5e,極小值為f(2)=-e2當(dāng)x<0時,x2-3x+1>0,ex>0,∴f(x)>0在(-∞,0)上恒成立,可作出f(x)的圖象如圖所示,對于A,f(x)的極大值點(diǎn)為-1,極小值點(diǎn)為2,A正確;對于B,C,f(-1)不是f(x)的最大值,f(2)是f(x)的最小值,B錯誤,C正確;對于D,由圖象可知,f(x)在R上有且僅有兩個零點(diǎn),D錯誤.]7.-1解析y'=(x+a+1)ex,當(dāng)x∈(-∞,-a-1)時,y'<0,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(-a-1,+∞)時,y'>0,函數(shù)單調(diào)遞增,故當(dāng)x=-a-1時,函數(shù)取得極小值,也是最小值,為-e-a-1,故-e-a-1=-1,所以a=-1.8.1解析由題設(shè)f(m)=g(n)=t,則lnm=n=t,得m=et,n=t,則m-n=et-t,設(shè)h(x)=ex-x,h'(x)=ex-1,令h'(x)=0,得x=0,當(dāng)x∈(-∞,0)時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(0,+∞)時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=0時,函數(shù)取得最小值,h(0)=1,所以m-n的最小值為1.9.解(1)由題意,當(dāng)0<x<4時,P(x)=6x-2-1=-13x3+4x-2當(dāng)x≥4時,P(x)=6x-2-7=25-x-64x所以P(x)=?(2)當(dāng)0<x<4時,P'(x)=-x2+4,令P'(x)=0,解得x=2.易得P(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,4)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)0<x<4時,P(x)max=P(2)=103當(dāng)x≥4時,P(x)=25-x≤25-2x·64x當(dāng)且僅當(dāng)x=64x即x=8時取等號.綜上,當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時,所獲年利潤最大,最大年利潤是9萬元.10.解(1)∵f'(x)=2x∴當(dāng)x∈[1,2]時,f'(x)≤0恒成立,即2x2+ax-1≤0恒成立,即a≤-2x+1x又函數(shù)y=-2x+1x在[1,2∴當(dāng)x=2時,?2x+1故a的取值范圍是?∞(2)∵f(x)=x2+ax-lnx,a∈R,∴g(x)=f(x)-x2=ax-lnx,x∈(0,e],∴g'(x)=a-1x=ax?1x(當(dāng)a≤0時,g(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,g(x)min=g(e)=ae-1=3,解得a=4e當(dāng)0<1a<e,x∈0,g'(x)<0,g(x)在0,1當(dāng)x∈1a,e時,g'(x)g(x)在1a∴g(x)min=g1a=1+lna=3,解得

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