第11講二次函數(shù)

第11講二次函數(shù)考綱要求備考指津1.理解二次函數(shù)的有關概念．2．會用描點法畫二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認識二次函數(shù)的性質(zhì)．3．會根據(jù)公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸(公式不要求記憶和推導)，并能掌握二次函數(shù)圖象的平移．4．熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法，并能用它解決有關的實際問題．5．會用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.二次函數(shù)是中考的重點內(nèi)容，題型主要有選擇題、填空題及解答題，而且常與方程、不等式、幾何知識等結合在一起綜合考查，且一般為壓軸題．中考命題不僅考查二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)等根底知識，而且注重多個知識點的綜合考查以及對學生應用二次函數(shù)解決實際問題能力的考查．考點一二次函數(shù)的概念一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．注意：(1)二次項系數(shù)a≠0；(2)ax2＋bx＋c必須是整式；(3)一次項可以為零，常數(shù)項也可以為零，一次項和常數(shù)項可以同時為零；(4)自變量x的取值范圍是全體實數(shù)．考點二二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)圖象(a＞0)(a＜0)開口方向開口向上開口向下對稱軸直線x＝－eq\f(b,2a)直線x＝－eq\f(b,2a)頂點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))增減性當x＜－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而減小；當x＞－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而增大當x＜－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而增大；當x＞－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而減小最值當x＝－eq\f(b,2a)時，y有最小值eq\f(4ac－b2,4a)當x＝－eq\f(b,2a)時，y有最大值eq\f(4ac－b2,4a)考點三二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c及b2－4ac考點四二次函數(shù)圖象的平移拋物線y＝ax2與y＝a(x－h(huán))2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h(huán))2＋k中|a|相同，那么圖象的形狀和大小都相同，只是位置的不同．它們之間的平移關系如下表：考點五二次函數(shù)關系式確實定設一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．假設條件是圖象上三個點的坐標，那么設一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將條件代入，求出a，b，c的值．考點六二次函數(shù)與一元二次方程的關系1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當y＝0時，就變成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．2．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是拋物線與x軸交點的橫坐標．3．當Δ＝b2－4ac＞0時，拋物線與x軸有兩個不同的交點；當Δ＝b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有一個交點；當Δ＝b2－4ac1．當m＝__________時，函數(shù)y＝(m－3)xm2－7＋4是二次函數(shù)．2．二次函數(shù)y＝eq\f(1,2)(x－4)2＋5的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標分別是()．A．向上，直線x＝4，(4,5) B．向上，直線x＝－4，(－4,5)C．向上，直線x＝4，(4，－5) D．向下，直線x＝－4，(－4,5)3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如下圖，那么以下結論正確的選項是()．A．a(chǎn)＞0B．c＜0 C．b2－4ac＜0D．a(chǎn)＋b＋4．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如下圖，那么abc，b2－4ac,2a＋b,4a－2b＋cA．4個B．3個 C．2個D．1個5．把拋物線y＝2x2向上平移5個單位，所得拋物線的解析式為()．A．y＝2x2＋5 B．y＝2x2－5 C．y＝2(x＋5)2 D．y＝2(x－5)6．二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋m的局部圖象如下圖，那么關于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解為__________．7．如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米．現(xiàn)以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系．(1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；(2)求這條拋物線的解析式；(3)假設要搭建一個矩形“支撐架〞AD—DC—CB，使C，D點在拋物線上，A，B點在地面OM上，那么這個“支撐架〞總長的最大值是多少？一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)【例1】(1)二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋5的圖象的頂點坐標是()．A．(－1,8)B．(1,8) C．(－1,2)D．(1，－4)(2)拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的對稱軸為直線x＝1，且經(jīng)過點(－1，y1)，(2，y2)，試比擬y1和y2的大小：y1________y2.(填“＞〞“＜〞或“＝〞)解析：(1)拋物線的頂點坐標可以利用頂點坐標公式或配方法來求．∵－eq\f(b,2a)＝－eq\f(－6,2×(－3))＝－1，eq\f(4ac－b2,4a)＝eq\f(4×(－3)×5－(－6)2,4×(－3))＝8.∴二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋5的圖象的頂點坐標是(－1,8)．(2)點(－1，y1)，(2，y2)不在對稱軸的同一側，不能直接利用二次函數(shù)的增減性來判斷y1，y2的大小，可先根據(jù)拋物線關于對稱軸的對稱性，然后再用二次函數(shù)的增減性即可．設拋物線經(jīng)過點(0，y3)，∵拋物線對稱軸為直線x＝1，∴點(0，y3)與點(2，y2)關于直線x＝1對稱．∴y3＝y(tǒng)2.∵a＞0，∴當x＜1時，y隨x的增大而減小．∴y1＞y3.∴y1＞y2.答案：(1)A(2)＞1．將拋物線解析式寫成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，那么頂點坐標為(h，k)，對稱軸為直線x＝h，也可應用對稱軸公式x＝－eq\f(b,2a)，頂點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))來求頂點坐標及對稱軸．2．比擬兩個二次函數(shù)值大小的方法：(1)直接代入自變量求值法；(2)當自變量在對稱軸兩側時，看兩個數(shù)到對稱軸的距離及函數(shù)值的增減性判斷；(3)當自變量在對稱軸同側時，根據(jù)函數(shù)值的增減性判斷．二、利用二次函數(shù)圖象判斷a，b，c的符號【例2】如下圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，圖象經(jīng)過點(－1,2)和(1,0)，且與y軸交于負半軸．(1)給出四個結論：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0，其中正確結論的序號是__________；(2)給出四個結論：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a解析：(1)∵拋物線開口向上，∴a＞0；∵對稱軸在y軸右側，∴－eq\f(b,2a)＞0，∴b＜0；與y軸的交點在x軸下方，∴c＜0；當x＝1時，y＝0，∴a＋b＋c＝0，故填①④.(2)由(1)問知a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0；又知－eq\f(b,2a)＜1，∴2a＋b＞0；又知x＝1時，y＝0；x＝－1時，y＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,a－b＋c＝2，))∴a＋c＝1；又知c＜0，∴a＝1－c＞1，故填②③④答案：(1)①④(2)②③④根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定有關代數(shù)式的符號，是二次函數(shù)中的一類典型的數(shù)形結合問題，具有較強的推理性．解題時應注意開口方向與a的關系，拋物線與y軸的交點與c的關系，對稱軸與a，b的關系，拋物線與x軸交點數(shù)目與b2-4ac的符號的關系；當x=1時，決定a+b+c的符號，當x=-1時，決定a-b+c二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如下圖，有以下結論：①b2－4ac＞0；②abc＞0；③8a＋c＞0；④9a＋3b其中，正確結論的個數(shù)是()．A．1B．2C．3D．4三、二次函數(shù)圖象的平移【例3】二次函數(shù)y＝－2x2＋4x＋1的圖象怎樣平移得到y(tǒng)＝－2x2的圖象()．A．向左平移1個單位，再向上平移3個單位B．向右平移1個單位，再向上平移3個單位C．向左平移1個單位，再向下平移3個單位D．向右平移1個單位，再向下平移3個單位解析：首先將二次函數(shù)的解析式配方化為頂點式，然后確定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，將該函數(shù)圖象向左平移1個單位，再向下平移3個單位就得到y(tǒng)＝－2x2的圖象．答案：C二次函數(shù)圖象的平移實際上就是頂點位置的變換，因此先將二次函數(shù)解析式轉化為頂點式確定其頂點坐標，然后按照“左加右減、上加下減〞的規(guī)律進行操作．四、確定二次函數(shù)的解析式【例4】一拋物線與x軸的交點是A(－2,0)，B(1,0)，且經(jīng)過點C(2,8)．(1)求該拋物線的表達式；(2)求該拋物線的頂點坐標．解：(1)設這個拋物線的表達式為y＝ax2＋bx＋C．由拋物線經(jīng)過A(－2,0)，B(1,0)，C(2,8)三點，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a－2b＋c＝0，,a＋b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝8，))解這個方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2，,c＝－4.))所以所求拋物線的表達式為y＝2x2＋2x－4.(2)y＝2x2＋2x－4＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2－eq\f(9,2)，所以該拋物線的頂點坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(9,2))).用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)條件，用圖象上三個點的坐標，設一般式求解．五、二次函數(shù)的實際應用【例5】某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，那么每個月少賣10件(每件售價不能高于65元)．設每件商品的售價上漲x元(x為正整數(shù))，每個月的銷售利潤為y元．(1)求y與x的函數(shù)關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？(3)每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？解：(1)y＝(210－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋110x＋2100(0＜x≤15且x為整數(shù))；(2)y＝－10(x－5.5)2＋2402.5.∵a＝－10＜0，∴當x＝5.5時，y有最大值2402.5.∵0＜x≤15，且x為整數(shù)，當x＝5時，50＋x＝55，y＝2400(元)，當x＝6時，50＋x＝56，y＝2400(元)，∴當售價定為每件55或56元時，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元．(3)當y＝2200時，－10x2＋110x＋2100＝2200，解得x1＝1，x2＝10.∴當x＝1時，50＋x＝51，當x＝10時，50＋x＝60.∴當售價定為每件51或60元時，每個月的利潤為2200元．當售價不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時，每個月的利潤不低于2200元(或當售價分別為51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元時，每個月的利潤不低于2200元)．運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決生活和實際生產(chǎn)中的最大值和最小值問題是最常見的題目類型，解決這類問題的方法是：1．列出二次函數(shù)的關系式，列關系式時，要根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍．2．在自變量取值范圍內(nèi)，運用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值和最小值．1．(2021四川樂山)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的圖象的頂點在第一象限，且過點(－1,0)．設t＝a＋b＋1，那么t值的變化范圍是()．A．0＜t＜1B．0＜t＜2 C．1＜t＜2D．－1＜t＜12．(2021湖南株洲)某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線y＝－x2＋4x(單位：米)的一局部，那么水噴出的最大高度是()．A．4米B．3米C．2米D．1米3．(2021四川雅安)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖，其對稱軸x＝－1，給出以下結果①b2＞4ac，②abc＞0，③2a＋b＝0，④a＋b＋c＞0，⑤a－b＋A．①②③④B．②④⑤ C．②③④D．①④⑤4．(2021浙江寧波)把二次函數(shù)y＝(x－1)2＋2的圖象繞原點旋轉180°后得到的圖象的解析式為__________．5．(2021山東棗莊)拋物線y＝ax2＋bx＋c上局部點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：x…－2－1012…y…04664…從上表可知，以下說法中正確的選項是__________．(填寫序號)①拋物線與x軸的一個交點為(3,0)；②函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的最大值為6；③拋物線的對稱軸是x＝eq\f(1,2)；④在對稱軸左側，y隨x增大而增大．6．(2021湖南益陽)，如圖，拋物線y＝a(x－1)2＋c與x軸交于點A(1－eq\r(3)，0)和點B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點P落在點P′(1,3)處．(1)求原拋物線的解析式；(2)學校舉行班徽設計比賽，九年級5班的小明在解答此題時頓生靈感：過點P′作x軸的平行線交拋物線于C，D兩點，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的局部去掉，設計成一個“W〞型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W〞圖案似大鵬展翅，寓意深遠；而且小明通過計算驚奇地發(fā)現(xiàn)這個“W〞圖案的高與寬(CD)的比非常接近黃金分割比eq\f(\r(5)－1,2)(約等于0.618)．請你計算這個“W〞圖案的高與寬的比到底是多少？(參考數(shù)據(jù)：eq\r(5)≈2.236，eq\r(6)≈2.449，結果可保存根號)1．二次函數(shù)y＝4x2－mx＋5，當x＜－2時，y隨x的增大而減??；當x＞－2時，y隨x的增大而增大，那么當x＝1時，y的值為()．A．－7B．1C．17D．252．將二次函數(shù)y＝x2－2x＋3化為y＝(x－h(huán))2＋k的形式，結果為()．A．y＝(x＋1)2＋4B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2D．y＝(x－1)23．函數(shù)y＝x2－2x－2的圖象如下圖，根據(jù)其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范圍是()．A．－1≤x≤3B．－1＜x＜3 C．x＜－1或x＞3D．x≤－1或x≥4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的兩個實數(shù)根x1，x2滿足x1＋x2＝4和x1·x2＝3，那么二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象有可能是()．5．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當x＝3時，函數(shù)取得最大值，且最大值為4，當x＝0時，y＝－14，那么函數(shù)表達式為__________．6．二次函數(shù)y＝－2x2＋2kx－3的頂點在x軸上，那么k＝__________.7．拋物線y＝－x2＋bx＋c的圖象如下圖，假設將其向左平移2個單位，再向下平移3個單位，那么平移后的解析式為__________．8．某市政府大力扶持大學生創(chuàng)業(yè)．李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關系可近似的看做一次函數(shù)：y＝－10x＋500.(1)設李明每月獲得利潤為w(元)，當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？(2)如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？(3)根據(jù)物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的本錢最少需要多少元？(本錢＝進價×銷售量)參考答案根底自主導學自主測試1．－32.A3.D4.A5.A6.x1＝－1，x2＝37．解：(1)M(12,0)，P(6,6)．(2)設拋物線解析式為y＝a(x－6)2＋6.∵拋物線y＝a(x－6)2＋6經(jīng)過點(0,0)，∴0＝a(0－6)2＋6，即a＝－eq\f(1,6).∴拋物線解析式為y＝－eq\f(1,6)(x－6)2＋6，即y＝－eq\f(1,6)x2＋2x(3)設A(m,0)，那么B(12－m,0)，C(12－m，－eq\f(1,6)m2＋2m)，D(m，－eq\f(1,6)m2＋2m)．∴“支撐架〞總長AD＋DC＋CB＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)m2＋2m))＋(12－2m)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)m2＋2m))＝－eq\f(1,3)m2＋2m＋12＝－eq\f(1,3)(m－3)2＋15.∵此二次函數(shù)的圖象開口向下，∴當m＝3時，AD＋DC＋CB有最大值為15米規(guī)律方法探究變式訓練D知能優(yōu)化訓練中考回憶1．B2.A3.D4.y＝－(x＋1)2－25．①③④6．解：(1)∵P與P′(1,3)關于x軸對稱，∴P點坐標為(1，－3)．∵拋物線y＝a(x－1)2＋c過點A(1－eq\r(3)，0)，頂點是