2026版《優(yōu)化設(shè)計(jì)大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計(jì)新高考版）第5節(jié)空間向量及其運(yùn)算

第5節(jié)空間向量及其運(yùn)算高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.了解空間直角坐標(biāo)系,會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置,會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用空間兩點(diǎn)間的距離公式.2.了解空間向量基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積及其坐標(biāo)表示,能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識(shí)梳理1.空間向量的有關(guān)概念抓住空間向量的兩個(gè)主要元素:大小與方向名稱概念表示零向量長(zhǎng)度(模)為

的向量

0單位向量長(zhǎng)度(模)為

的向量

—相等向量方向

且模

的向量

a=b相反向量長(zhǎng)度

而方向

的向量

a的相反向量為-a01相同相等相等相反名稱概念表示共線向量

注意類比空間向量與平面向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相

的向量

a∥b共面向量平行于同一個(gè)

的向量

—平行或重合平面2.空間向量的三個(gè)定理

定理語(yǔ)言描述共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),a∥b?存在λ∈R,使a=λb

為了使λ存在且唯一共面向量定理如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb空間向量基本定理{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底

如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc

∠AOB|a||b|cos<a,b>4.空間向量的坐標(biāo)表示設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).類型向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b

共線a=λb(b≠0,λ∈R)

垂直垂直問(wèn)題一般通過(guò)向量的數(shù)量積運(yùn)算來(lái)解決a·b=0(a≠0,b≠0)

模|a|夾角<a,b>(a≠0,b≠0)a1b1+a2b2+a3b3a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0

自主診斷

√×√×2.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題1.2第2題)若{a,b,c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則下列向量不共面的是(

)A.b+c,b,b-c

B.a,a+b,a-bC.a+b,a-b,c

D.a+b,a+b+c,cC

3.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)1.3.2節(jié)練習(xí)第3題改編)M為z軸上一點(diǎn),且點(diǎn)M到點(diǎn)A(1,0,2)與點(diǎn)B(1,-3,1)的距離相等,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是

.

(0,0,-3)

二、連線高考4.(2014·廣東,理5)已知向量a=(1,0,-1),則下列向量中與a成60°角的是(

)A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)B

研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算

B

BD

B

考點(diǎn)二空間向量基本定理的應(yīng)用

C

A

考點(diǎn)三空間向量的數(shù)量積及應(yīng)用例3如圖,已知空間四邊形ABCD每條邊長(zhǎng)和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,E,F,G分別是AB,AD,CD的中點(diǎn).(1)求證:EG⊥AB;(2)求EG的長(zhǎng);(3)求異面直線AG和CE所成角的余弦值.

規(guī)律方法空間向量數(shù)量積的三個(gè)應(yīng)用求夾角求長(zhǎng)度(距離)利用公式|a|2=a·a,可將線段長(zhǎng)度