六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)培優(yōu)奧數(shù)講義-第23講工程問題

第23講工程問題2知識(shí)裝備工程問題解題時(shí)首先要將全部工程看作單位“1”，再求出單位時(shí)間的工作量占工作總量的幾分之幾，即工作效率。一般要用到下面三個(gè)關(guān)系式：工作總量＝工作效率×工作時(shí)間；工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率；工作效率＝工作總量÷工作時(shí)間；在解答時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：1、有的工程問題，工作效率往往隱藏在條件中，工作過程也較為復(fù)雜，要仔細(xì)梳理工作過程、靈活運(yùn)用基本數(shù)量關(guān)系。2、涉及到具體數(shù)量的工程問題，關(guān)鍵要找到已知的具體數(shù)量與對(duì)應(yīng)分率之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)應(yīng)用題來解答。3、對(duì)一些有循環(huán)周期的工程問題，要注意弄清一個(gè)周期的工作量，還要注意最后不滿一個(gè)周期的部分所需的工作時(shí)間。初級(jí)挑戰(zhàn)1一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需要10天，乙單獨(dú)完成需要15天?，F(xiàn)在兩人合作3天后，剩下的甲繼續(xù)做，還需要多少天才能完成？思路引領(lǐng)：兩人合作的工作效率是（），3天后剩余工作量是（），根據(jù)工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率即可求出甲的天數(shù)。答案：合作效率：，剩下：，甲還需做：（天）能力探索11、一份稿件，甲單獨(dú)打6小時(shí)完成，乙單獨(dú)打12小時(shí)完成。甲先打4小時(shí)，剩下的甲、乙合作，還需要幾小時(shí)完成？答案：剩下：1－，還需要：（小時(shí)）2、制作一批零件，甲車間與乙車間一起做只要8天就能完成?，F(xiàn)在兩人合作2天后,剩下的甲車間單獨(dú)做還需要12天。那么甲車間單獨(dú)制作這批零件需要多少天？答案：剩下：1－，甲效率：甲車間單獨(dú)完成：（天）初級(jí)挑戰(zhàn)2一項(xiàng)工程，甲、乙兩人合作，36天完成，乙、丙兩人合作，45天完成，甲、丙兩人合作，60天完成。甲、乙、丙獨(dú)做，各需多少天完成？思路引領(lǐng)：甲、乙合作工作效率和為（）；乙、丙合作工效效率和為（）；甲、丙合作工作效率和為（）。三者相加，可得三人合作的工作效率和，再根據(jù)條件一一算出各自的效率即可。答案：三人的合作效率：（＋＋）÷2＝，甲效率：，乙效率：，丙效率：；甲的時(shí)間：1÷190＝90（天），乙的時(shí)間：1÷160＝60（天），丙的時(shí)間：1÷1能力探索2一件工程，甲、乙合作10天完成，乙、丙合作12天完成，甲、丙合作15天完成，甲、乙、丙單獨(dú)做各幾天完成？答案：三者工效和為：；甲工效：；乙工效：；丙工效：；所以單獨(dú)做，甲要24天。乙要天，丙要40天。中級(jí)挑戰(zhàn)1一件工作，甲獨(dú)做要20天完成，乙獨(dú)做要12天完成。這件工作先由甲做了若干天，然后由乙繼續(xù)做完，從開始到完工共用14天。這件工作由甲先做了多少天？思路引領(lǐng)：方法一：假設(shè)法。假設(shè)14天都是甲做的，則還余下工作量（）。甲、乙的工作效率差為（），故乙做了（）天，甲做了（）天。方法二：方程法。解：設(shè)工作由甲先做了天，則乙工作了（）天。再找出等量關(guān)系列方程求解。答案：方法一：假設(shè)14天都是甲做的，則還余下工作量為1－14×＝。乙與甲的工作效率差為，故乙做了÷＝9（天），甲做了14－9＝5（天）。方法二：解：設(shè)工作由甲先做了天，則乙工作了（14－）天。＋（14－）＝1解得＝5。那么乙做了：14－5＝9（天）能力探索3一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要50天完成，乙單獨(dú)做要75天完成，現(xiàn)在這項(xiàng)工程由甲先做了幾天，后來由乙接著做，這樣共用74天完成。求乙工作了多少天？答案：假設(shè)工程全部由甲完成，則74天可比原來多完成：。乙與甲的工作效率差為－＝，故乙做了÷＝72（天）。中級(jí)挑戰(zhàn)2一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要12小時(shí)，乙單獨(dú)做需要18小時(shí)。若甲做1小時(shí)后乙接替甲做1小時(shí)，再由甲接替乙做1小時(shí)……，兩人如此交替工作，問完成任務(wù)時(shí)共需用多少小時(shí)？思路引領(lǐng)：因?yàn)閮扇瞬粩嘟惶婀ぷ?，可以把每?jī)蓚€(gè)小時(shí)看作一個(gè)周期。則一個(gè)周期內(nèi)工作量為（）。這項(xiàng)工程需要（）個(gè)周期，還剩（）工作量。然后甲再做（）小時(shí)。答案：一個(gè)周期內(nèi)工作量：，這項(xiàng)工程需要7個(gè)周期，還剩：，甲再做：（小時(shí)），共需要：（小時(shí)）。能力探索4一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)完成要9小時(shí)，乙單獨(dú)完成要12小時(shí)。如果按照甲、乙、甲、乙……的順序輪流工作，每人每次工作1小時(shí)，完成這項(xiàng)工程的共要多少時(shí)間？答案：每個(gè)周期工效和為：；因?yàn)?，所以完?個(gè)周期后還剩。此時(shí)輪到甲工作，又花了（小時(shí)）。所以共花了（小時(shí)）。聰明泉半桶水有一個(gè)主人，雇用工人，向他們提出以下考核：“給你一只桶，給它倒上半桶水，既不多也不少。但是你注意，既不能用棍子，也不能用繩子或其他任何東西來測(cè)量?！?/p>

工人動(dòng)了番腦筋，終于完成了任務(wù)。他是如何做的呢？拓展挑戰(zhàn)有兩個(gè)同樣的倉(cāng)庫(kù)A和B，搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里的貨物，甲需要10小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要15小時(shí)。甲和丙在A倉(cāng)庫(kù)，乙在B倉(cāng)庫(kù)，同時(shí)開始搬運(yùn)。中途丙轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn)。最后，兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)同時(shí)搬完，丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？思路引領(lǐng)：假設(shè)搬一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的工作總量為1，則甲、乙、丙的工作效率分別為、、。本題中，三人搬完兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，所以工作總量為2。因?yàn)槿艘恢痹诠ぷ?，所以可以看作三人合作，完成工作總?，所以可以求得工作時(shí)間：（小時(shí)）。甲的工作量為：；所以丙幫助了甲完成工作量：；時(shí)間為：（小時(shí)）。所以丙幫助了乙8－3＝5（小時(shí)）。能力探索5有兩個(gè)同樣的倉(cāng)庫(kù)A和B，搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里的貨物，甲需要18小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要9小時(shí)。甲、乙在A倉(cāng)庫(kù)，丙在B倉(cāng)庫(kù)，同時(shí)開始搬運(yùn)。中途甲又轉(zhuǎn)向幫助丙搬運(yùn)。最后，兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)同時(shí)搬完。甲幫助乙、丙各多少小時(shí)？答案：工作時(shí)間：（小時(shí)），甲幫助乙：（小時(shí)），幫助丙8－6＝2（小時(shí)）。課堂小測(cè)1、單獨(dú)完成某項(xiàng)工程，甲需要10天，乙需要15天，丙需要30天。甲、乙合作3天后，甲因公調(diào)出，由丙來接替他的工作，還需要幾天才能完成任務(wù)？答案：（天）2、完成一件工作，甲、乙兩人合作需20小時(shí)，乙、丙兩人合作需28小時(shí)，丙、丁兩人合作需30小時(shí)。甲、丁兩人合作需幾小時(shí)？答案：（小時(shí)）3、一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做要12天完成，乙獨(dú)做要4天完成。若甲先做了若干天后，由乙接著做余下的工程，直至完成全部任務(wù)，這樣前后共用了6天，甲先做了多少天？答案：假設(shè)6天全由甲完成，則還余：；乙做了：（天）；甲做了：6－3＝3（天）。4、一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要6小時(shí)完成，乙單獨(dú)做需要10小時(shí)完成。如果按甲、乙、甲、乙……的順序交替工作，每人每次1小時(shí)，需要多少小時(shí)才能完成？答案：一個(gè)周期內(nèi)工作效率為：。所以完成3個(gè)周期后，工作量還剩下，輪到甲做，做完后還剩，輪到乙，還需要工作：（小時(shí)），所以共需要小時(shí)）。5、甲、乙、丙共同幫A，B兩輛相同的車裝貨，甲裝A車，乙裝B車，甲單獨(dú)裝一車12分鐘完成，乙單獨(dú)裝一車24分鐘完成，丙單獨(dú)裝一車8分鐘完成?，F(xiàn)丙幫乙裝一部分后再幫甲裝，最后兩輛車同時(shí)裝完。問丙幫乙裝了幾分鐘？答案：工作時(shí)間：（分鐘）丙幫乙裝了：（分鐘）課后作業(yè)1、一件工作，甲獨(dú)做10小時(shí)完成，乙獨(dú)做12小時(shí)完成，丙獨(dú)做15小時(shí)完成。（1）三人合做幾小時(shí)可以完成工作的一半？（2）甲乙兩人合作4小時(shí)，剩下的由丙完成，丙要完成這項(xiàng)工作的幾分之幾？（3）甲、丙兩人先合作5小時(shí)，剩下的由乙再單獨(dú)完成，乙還需要多少小時(shí)？2、游泳池有甲、乙、丙三個(gè)注水管。如果單開甲管需要20小時(shí)注滿水池；甲、乙兩管合開需要8小時(shí)注滿水池；乙、丙兩管合開需要6小時(shí)注滿水池，那么，單開丙管需要多少小時(shí)注滿水池？3、一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需30天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需40天完成。甲隊(duì)先做若干天后，由乙隊(duì)接著做，共用35天完成了任務(wù)。甲隊(duì)做多少天?4、一項(xiàng)工作甲需要12小時(shí)能完成，乙需要9小時(shí)完成。兩人按乙、乙、甲、乙、乙、甲……