2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)解三角形第17講任意角蝗制及任意角的三角函數(shù)課時(shí)達(dá)標(biāo)文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第17講隨意角、弧度制及隨意角的三角函數(shù)課時(shí)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的角的弧度數(shù)是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3) D．－eq\f(π,6)C解析將表的分針撥快應(yīng)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，為負(fù)角，故A，B項(xiàng)不正確；又因?yàn)閾芸?0分鐘，故應(yīng)轉(zhuǎn)過(guò)的角為圓周的eq\f(1,6)，即為－eq\f(1,6)×2π＝－eq\f(π,3).故選C.2．已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限B解析因?yàn)辄c(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＜0，,cosα＜0，))所以α為其次象限角．3．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角的終邊所在的范圍(陰影部分)是()C解析當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2).故選C.4．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實(shí)數(shù)aA．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]A解析由cosα≤0，sinα>0可知，角α的終邊在其次象限或y軸的正半軸上，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2>0，))解得－2<a≤3.5．設(shè)α是其次象限角，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cosα＝eq\f(1,5)x，則sinα＝()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)A解析因?yàn)閨PO|＝eq\r(x2＋42)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋42))，得x＝3或x＝－3，又因?yàn)棣潦瞧浯蜗笙藿?，則x＝－3，|PO|＝5，所以sinα＝eq\f(4,5).故選A.6．(2024·北京卷)在平面坐標(biāo)系中，eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))，eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))，eq\o\ac(EF,\s\up10(︵))，eq\o\ac(GH,\s\up10(︵))是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，點(diǎn)P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊，若tanα＜cosα＜sinα，則P所在的圓弧是()A.eq\o\ac(AB,\s\up10(︵)) B.eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))C.eq\o\ac(EF,\s\up10(︵)) D.eq\o\ac(GH,\s\up10(︵))C解析當(dāng)點(diǎn)P在eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))或eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))上時(shí)，由三角函數(shù)線易知，sinα＜tanα，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)P在eq\o\ac(GH,\s\up10(︵))上時(shí)，tanα＞0，sinα＜0，不符合題意；進(jìn)一步可驗(yàn)證，只有點(diǎn)P在eq\o\ac(EF,\s\up10(︵))上時(shí)才滿意條件．二、填空題7．在與2010°終邊相同的角中，肯定值最小的角的弧度數(shù)為________．解析因?yàn)?010°＝eq\f(67π,6)＝12π－eq\f(5π,6)，所以與2010°終邊相同的角中肯定值最小的角的弧度數(shù)為－eq\f(5π,6).答案－eq\f(5π,6)8．一扇形是從一個(gè)圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的eq\f(2,3)，面積等于圓面積的eq\f(5,27)，則扇形的弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)之比為________．解析設(shè)圓的半徑為r，則扇形的半徑為eq\f(2r,3)，記扇形的圓心角為α，則eq\f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2r,3)))2,πr2)＝eq\f(5,27)，所以α＝eq\f(5π,6).所以扇形的弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)之比為eq\f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq\f(5,18).答案eq\f(5,18)9．設(shè)角α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，則角eq\f(α,2)是第________象限角．解析由α是第三象限角知2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，所以eq\f(α,2)是其次或第四象限角，再由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)知sineq\f(α,2)<0，所以eq\f(α,2)只能是第四象限角．答案四三、解答題10．角α的終邊上的點(diǎn)P與A(a，b)關(guān)于x軸對(duì)稱(a≠0，b≠0)，角β的終邊上的點(diǎn)Q與A關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，求eq\f(sinα,cosβ)＋eq\f(tanα,tanβ)＋eq\f(1,cosαsinβ)的值．解析由題意可知點(diǎn)P坐標(biāo)為(a，－b)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b，a)．依據(jù)三角函數(shù)定義得sinα＝－eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，tanα＝－eq\f(b,a)，sinβ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，cosβ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，tanβ＝eq\f(a,b)，所以eq\f(sinα,cosβ)＋eq\f(tanα,tanβ)＋eq\f(1,cosαsinβ)＝－1－eq\f(b2,a2)＋eq\f(a2＋b2,a2)＝0.11．已知扇形AOB的周長(zhǎng)為8.(1)若這個(gè)扇形的面積為3，求圓心角的大小；(2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長(zhǎng)AB.解析設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，圓心角為α.(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))所以α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)因?yàn)?r＋l＝8，所以S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，當(dāng)且僅當(dāng)r＝2，即α＝eq\f(l,r)＝2時(shí)，扇形面積取得最大值4.所以弦長(zhǎng)AB＝2sin1×2＝4sin1.12．已知sinα<0，tanα>0.(1)求角α的集合；(2)求角eq\f(α,2)的終邊所在的象限；(3)試推斷taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符號(hào)．解析(1)由sinα<0知α的終邊在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；由tanα>0知α的終邊在第一、三象限，故α的終邊在第三象限，其集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＋1π<α<2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).(2)由(2k＋1)π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故eq\f(α,2)的終邊在其次、四象限．(3)當(dāng)eq\f(α,2)在其次象限時(shí)，taneq\f(α,2)<0，sineq\f(α,2)>0，coseq\f(α,2)<0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正號(hào)；當(dāng)eq\f(α,2)在第四象限時(shí)，taneq\f(α,2)<0，sineq\f(α,2)<0，coseq\f(α,2)>0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)也取正號(hào)．綜上所述，taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正號(hào)．13．[選做題](2024·南昌二中測(cè)試)如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為P0(eq\r(2)，－eq\r(2))，角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸的距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為()C解析因?yàn)镻0(eq\r(2)，－eq\r(2))，所以∠P0Ox＝－eq\f(π,4).因?yàn)榻撬俣葹?，所以按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)間t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－eq\f(π,4).易知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co