北京市東城區(qū)東直門中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

北京市東城區(qū)東直門中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量服從的分布列為123…nP…則的值為（）A．1 B．2 C． D．32．若(3x-1x)A．-5B．5C．-405D．4053．名同學(xué)參加班長和文娛委員的競選，每個(gè)職務(wù)只需人，其中甲不能當(dāng)文娛委員，則共有（）種不同結(jié)果（用數(shù)字作答）A． B． C． D．4．已知直線傾斜角是，在軸上截距是，則直線的參數(shù)方程可以是（）A． B． C． D．5．執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的（）A． B．C． D．6．設(shè)M=a+1a-2(2<a<3),A．M>N B．M=N C．M<N D．不確定7．若，；，則實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．8．已知，，，（e為自然對(duì)數(shù)的底）則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．9．若是小于的正整數(shù)，則等于（）A． B． C． D．10．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m∥n，m⊥β，則n⊥β；②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若m∥n，m∥β，則n∥β；④若m⊥α，m⊥β，則α⊥β.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．411．已知的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．12．在三棱錐P-ABC中，，，，若過AB的平面將三棱錐P-ABC分為體積相等的兩部分，則棱PA與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)袋子里裝有大小形狀完全相同的個(gè)小球，其編號(hào)分別為甲、乙兩人進(jìn)行取球，甲先從袋子中隨機(jī)取出一個(gè)小球，若編號(hào)為，則停止取球；若編號(hào)不為，則將該球放回袋子中．由乙隨機(jī)取出個(gè)小球后甲再從袋子中剩下的個(gè)小球隨機(jī)取出一個(gè)，然后停止取球，則甲能取到號(hào)球的概率為__________.14．若函數(shù)為奇函數(shù)，則______．15．設(shè)A=xx≤2019，16．甲、乙等五名志愿者被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者，設(shè)隨機(jī)變量為這五名志愿者中參加A崗位服務(wù)的人數(shù)，則的期望值為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知a，，點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn).（1）求a，b的值；（2）求矩陣A的特征值和特征向量；（3）若向量，求.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）過點(diǎn)作直線的垂線，交曲線于兩點(diǎn)，求.19．（12分）已知復(fù)數(shù)（，為正實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位）是方程的一個(gè)根.（1）求此方程的另一個(gè)根及的值；（2）復(fù)數(shù)滿足，求的取值范圍.20．（12分）在以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到直線的距離為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，求點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.21．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）若，，求的值；（2）若，化簡：.22．（10分）如圖，為圓錐的高，B、C為圓錐底面圓周上兩個(gè)點(diǎn)，，，，是的中點(diǎn)．（1）求該圓錐的全面積；（2）求異面直線與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由概率之和為1，列出等式，即可求得k值.【詳解】由概率和等于1可得：，即.故選A.本題考查分布列中概率和為1，由知識(shí)點(diǎn)列式即可得出結(jié)論.2、C【解析】由題設(shè)可得2n=32?n=5，則通項(xiàng)公式Tr+1=C5r3、B【解析】

先安排甲以外的一人擔(dān)任文娛委員，再從剩下的3人選一人擔(dān)任班長即可．【詳解】先從甲以外的三人中選一人當(dāng)文娛委員，有3種選法，再從剩下的3人選一人擔(dān)任班長，有3種選法，故共有種不同結(jié)果．故選：B.本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

由傾斜角求得斜率,由斜截式得直線方程,再將四個(gè)選項(xiàng)中的參數(shù)方程化為普通方程,比較可得答案.【詳解】因?yàn)橹本€傾斜角是,所以直線的斜率,所以直線的斜截式方程為:,由消去得,故不正確;由消去得,故不正確;由消去得,故不正確;由消去得,故正確;故選:D.本題考查了直線方程的斜截式,參數(shù)方程化普通方程,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】分析：由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各個(gè)變量值的變化情況，可得結(jié)論.詳解：模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各個(gè)變量值的變化情況，可得程序的作用是求和，即，故選D.點(diǎn)睛：本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是中檔題.算法是新課標(biāo)高考的一大熱點(diǎn)，其中算法的交匯性問題已成為高考的一大亮，這類問題常常與函數(shù)、數(shù)列、不等式等交匯自然，很好地考查考生的信息處理能力及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，解決算法的交匯性問題的方：（1）讀懂程序框圖、明確交匯知識(shí)，(2）根據(jù)給出問題與程序框圖處理問題即可.6、A【解析】∵x2+116≥1∴N=log12(x2+又∵M(jìn)=a+1a-2=a-2+1∴0<a-2<1.∴a-2+1a-2∴a+1a-2∴M>N.答案:A點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了比較函數(shù)值的大小關(guān)系；比較大小的常用方法有：做差，如果數(shù)值均為正，還可以考慮做商；還可以構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用單調(diào)性比較大?。贿€可以放縮比較大小，常用的放縮方式有：不等式的應(yīng)用．7、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別確定，，的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選A本題主要考查對(duì)數(shù)與指數(shù)比較大小的問題，熟記對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于常考題型.8、A【解析】

根據(jù)條件即可得出，a＝log2e，b＝ln2，c＝log23，容易得出log23＞log2e＞1，ln2＜1，從而得出a，b，c的大小關(guān)系．【詳解】∵；∴；∵log23＞log2e＞log22＝1，ln2＜lne＝1；∴c＞a＞b．故選：A．本題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，對(duì)數(shù)的換底公式，考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

利用排列數(shù)的定義可得出正確選項(xiàng).【詳解】，由排列數(shù)的定義可得.故選：D.本題考查排列數(shù)的表示，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)排列數(shù)的定義將代數(shù)式表示為階乘的形式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10、A【解析】對(duì)于①，由直線與平面垂直的判定定理易知其正確；對(duì)于②，平面α與β可能平行或相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，直線n可能平行于平面β，也可能在平面β內(nèi)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由兩平面平行的判定定理易得平面α與β平行，故④錯(cuò)誤．綜上所述，正確命題的個(gè)數(shù)為1，故選A.11、D【解析】

根據(jù)所給的二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式寫出第項(xiàng)，整理成最簡形式，令的指數(shù)為，求得，再代入系數(shù)求出結(jié)果．【詳解】二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為，令，得，由題意得，解得.故選：D.本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是正確寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，在這種題目中通項(xiàng)是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具．12、A【解析】

由題構(gòu)建圖像，由，想到取PC中點(diǎn)構(gòu)建平面ABD，易證得平面ABD，所以PA與平面所成角即為，利用正弦函數(shù)定義，得答案.【詳解】如圖所示，取PC中點(diǎn)為D連接AD，BD，因?yàn)檫^AB的平面將三棱錐P-ABC分為體積相等的兩部分，所以即為平面ABD；又因?yàn)?，所以，又，所以，且，所以平面ABD，所以PA與平面所成角即為，因?yàn)椋?，所以．故選：A本題考查立體幾何中求線面角，應(yīng)優(yōu)先作圖，找到或證明到線面垂直，即可表示線面角，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

通過分析，先計(jì)算甲在第一次取得編號(hào)為1的概率，再計(jì)算甲在第二次取得編號(hào)為1的概率，兩者相加即為所求.【詳解】甲在第一次取得編號(hào)為1的概率為；甲在第二次取得編號(hào)為1的概率為，于是所求概率為，故答案為.本題主要考查概率的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的分析能力，計(jì)算能力，難度中等.14、1【解析】

由函數(shù)在時(shí)有意義，且為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，求出再代入求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以，所以，故答案為：.本題考查了函數(shù)的奇偶性，重點(diǎn)考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.15、?【解析】

首先解絕對(duì)值不等式求得集合A，根據(jù)偶次根式的條件求得集合B，之后求得兩集合的交集，得到結(jié)果.【詳解】解不等式x≤2019得A=[-2019,2019]根據(jù)x-2020≥02020-x≥0，解得B=2020，所以故答案是：?.該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的定義域，兩集合的交集的求解，屬于簡單題目.16、【解析】分析：隨機(jī)變量的可能取的值為1，2，事件“”是指有兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)，由此可得的分布列，進(jìn)而得到的期望.詳解：隨機(jī)變量的可能取的值為1，2，事件“”是指有兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)，則，.即的分布列如下表所示：的數(shù)學(xué)期望.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查等可能事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的概率與分布列和數(shù)學(xué)期望.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）矩陣A的特征值為，3，分別對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征值為，；（3）【解析】

（1）直接利用矩陣的乘法運(yùn)算即可；（2）利用特征多項(xiàng)式計(jì)算即可；（3）先計(jì)算出，再利用計(jì)算即可得到答案.【詳解】（1）由題意知，，則，解得.（2）由（1）知，矩陣A的特征多項(xiàng)式，令，得到A的特征值為，.將代入方程組，解得，所以矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量為.再將代入方程組，解得，所以矩陣A的屬于特征值3的一個(gè)特征向量為.綜上，矩陣A的特征值為，3，分別對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征值為，.（3）設(shè)，即，所以，解得，所以，所以.本題考查矩陣的乘法、特征值、特征向量，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道中檔題.18、（1），；（2）16【解析】

（1）消去參數(shù)可得普通方程，由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；（2）可所作直線的參數(shù)方程為，代入拋物線方程，由的幾何意義易求得.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)可得，曲線的極坐標(biāo)方程為，即，化為.（2）過點(diǎn)與直線垂直的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，代入，可得，∴，故.本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線參數(shù)方程的應(yīng)用。(1)直線方程中參數(shù)t的幾何意義的應(yīng)用經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．若A，B為直線l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：①t0＝；②|PM|＝|t0|＝；③|AB|＝|t2－t1|；④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.[注意]在直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義，其幾何意義為：|t|是直線上任一點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離，即|M0M|＝|t|.19、(1),;(2)【解析】

(1)先求得的根,再根據(jù)題意求另一根即可.

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)模長的計(jì)算表達(dá)再求解即可.【詳解】(1),故,,.

(2)由有,即.所以.本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算以及模長的用法等,屬于基礎(chǔ)題型.20、（1）;（2）.【解析】

（1）分別求出的直角坐標(biāo)與直線的直角坐標(biāo)方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式列式求得值；（2）設(shè)，，則，結(jié)合在直線上即可求得點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程．【詳解】解：（1）由點(diǎn)，得的直角坐標(biāo)為，由直線，得，即．則，解得；（2）直線．設(shè)，，則，，，即點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為．本題考查軌跡方程，考查極坐標(biāo)方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力.21、(1)(2)【解析】

（1）分別令，，利用二項(xiàng)展開式展開和，將兩式相減可得出的值；（2）將代入，求得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，利用組合數(shù)公式可得，化簡可得結(jié)果.【詳解】（1），時(shí)，令得，令得可得；（2）若，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，·····綜上，.該題考查的是有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用賦值法求對(duì)應(yīng)系數(shù)的和，利用組合數(shù)公式化簡相應(yīng)的式子，屬于中檔題目.22、（1）（2）【解析】分析：（1）根據(jù)，，，可求得