江蘇揚(yáng)州中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題含解析

江蘇揚(yáng)州中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2017新課標(biāo)全國卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A． B．C． D．2．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且4≤S2≤6，15≤S4≤21，則a2的取值范圍為（）A． B． C． D．3．某研究機(jī)構(gòu)對(duì)兒童記憶能力和識(shí)圖能力進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù)：記憶能力識(shí)圖能力由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，,若某兒童的記憶能力為12時(shí)，則他的識(shí)圖能力約為()A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．104．已知m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若m，n沒有公共點(diǎn)，則B．若，，則C．若，則D．若，則5．若拋物線,過其焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),則的最小值為()A．6 B． C．9 D．6．已知直線（為參數(shù)）與曲線的相交弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則等于（）A． B． C． D．7．已知集合，則（）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)f(x)＝axA．193 B．163 C．139．某中學(xué)高二共有12個(gè)年級(jí)，考試時(shí)安排12個(gè)班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個(gè)班級(jí)是自己的班主任監(jiān)考，則不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．742510．已知，且，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．11．復(fù)數(shù),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．設(shè)集合，，，則圖中陰影部分所表示的集合是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為_____．14．已知函數(shù),若對(duì)任意,存在,，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____.15．已知點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)，使得，則稱該直線為“型直線”.給出下列直線：（1）；（2）；（3）；（4）其中所有是“型直線”的序號(hào)為______.16．某地一農(nóng)業(yè)科技實(shí)驗(yàn)站，對(duì)一批新水稻種子進(jìn)行試驗(yàn)，已知這批水稻種子的發(fā)芽率為0.8，出芽后的幼苗成活率為0.9，在這批水稻種子中，隨機(jī)地抽取一粒，則這粒水稻種子能成長為幼苗的概率為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求AM與平面A1MD所成角的正弦值．18．（12分）已知直線的方程為，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（1）求直線與圓的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）若為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求到直線的距離的最大值．19．（12分）已知橢圓：，過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線，，設(shè)與橢圓交于、兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）記，求的取值范圍.20．（12分）已知，命題對(duì)任意，不等式恒成立；命題存在，使得成立.(1)若為真命題，求的取值范圍；(2)若為假，為真，求的取值范圍.21．（12分）在某項(xiàng)娛樂活動(dòng)的海選過程中評(píng)分人員需對(duì)同批次的選手進(jìn)行考核并評(píng)分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過40分的選手將直接被淘汰，成績在內(nèi)的選手可以參加復(fù)活賽，如果通過，也可以參加第二輪比賽．（1）已知成績合格的200名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖，求a的值及估計(jì)這200名參賽選手的成績平均數(shù)；（2）根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，參加復(fù)活賽的選手能夠進(jìn)入第二輪比賽的概率為，假設(shè)每名選手能否通過復(fù)活賽相互獨(dú)立，現(xiàn)有3名選手進(jìn)入復(fù)活賽，記這3名選手在復(fù)活賽中通過的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．22．（10分）如圖，圓柱的軸截面是，為下底面的圓心，是母線，.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問題，其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.2、B【解析】

首先設(shè)公差為，由題中的條件可得和，利用待定系數(shù)法可得，結(jié)合所求的范圍及不等式的性質(zhì)可得.【詳解】設(shè)公差為，由，得，即；同理由可得.故可設(shè)，所以有，所以有，解得，即，因?yàn)椋?所以，即.故選：B.本題主要考查不等式的性質(zhì)及等差數(shù)列的運(yùn)算，利用不等式求解范圍時(shí)注意放縮的尺度，運(yùn)算次數(shù)越少，范圍越準(zhǔn)確.3、B【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)考點(diǎn)：回歸方程4、D【解析】

由空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，由此得到答案。【詳解】兩條直線沒有公共點(diǎn)有平行和異面兩種情形，故A，B錯(cuò)；對(duì)于C，還存在的情形：由線面垂直的性質(zhì)可得D對(duì)，故選D．本題考查學(xué)生對(duì)空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的理解與掌握，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題。5、B【解析】分析：設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出關(guān)于A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)的式子，使用基本不等式得出最小值.詳解：拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，得，設(shè)，則，，由拋物線的性質(zhì)得，.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.6、A【解析】

根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化，得直線的普通方程為，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，得曲線普通方程為，再利用“平方差”法，即可求解．【詳解】由直線（為參數(shù)），可得直線的普通方程為，由曲線，可得曲線普通方程為，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，，則，，兩式相減，可得.所以，即直線的斜率為，所以，故選A．本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及中點(diǎn)弦問題的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，合理應(yīng)用中點(diǎn)弦的“平方差”法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)集合化簡得x|0＜x＜1}，然后求出A∩B即可．【詳解】＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{1}，故選：C考查對(duì)數(shù)不等式的解法，以及集合的交集及其運(yùn)算．8、D【解析】

由題，求導(dǎo)，將x=-1代入可得答案.【詳解】函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=3ax解得a=10故選D本題考查了函數(shù)的求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：先確定8個(gè)是自己的班主任老師監(jiān)考的班級(jí)，然后分析剩余的4個(gè)班級(jí)的監(jiān)考方案，計(jì)算可得其情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】某中學(xué)高二共有12個(gè)年級(jí)，考試時(shí)安排12個(gè)班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個(gè)班級(jí)是自己的班主任監(jiān)考，首先確定8個(gè)是自己的班主任老師監(jiān)考的班級(jí)，有種，而剩余的4個(gè)班級(jí)全部不能有本班的班主任監(jiān)考，有種；由分步計(jì)數(shù)原理可得，共種不同的方案；故選：A.本題解題關(guān)鍵是掌握分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)計(jì)算公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.10、C【解析】

分析：由推導(dǎo)出，從而，由此能求出向量在向量方向上的投影.詳解：，且，，，向量在向量方向上的投影為，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.11、A【解析】

先求得的共軛復(fù)數(shù)，由此判斷出其對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】依題意，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限，故選A.本小題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

陰影部分所表示的集合為：.【詳解】由已知可得，陰影部分所表示的集合為：.故選：A.本題主要考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9【解析】

將二項(xiàng)式表示為，然后利用二項(xiàng)式定理寫出其通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，再代入通項(xiàng)即可得出項(xiàng)的系數(shù)?！驹斀狻?，所以，的展開式通項(xiàng)為，令，得，所以，展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：。本題考查二項(xiàng)式中指定項(xiàng)的系數(shù)，考查二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的應(yīng)用，這類問題的求解一般要將展開式的通項(xiàng)表示出來，通過建立指數(shù)有關(guān)的方程來求解，考查運(yùn)算能力，屬于中等題。14、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的最小值，把對(duì)任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2）轉(zhuǎn)化為g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1有解．【詳解】解：由f（x）＝ex﹣x，得f′（x）＝ex﹣1，當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增，∴f（x）min＝f（0）＝1．對(duì)任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2），即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1，函數(shù)g（x）＝x2﹣bx+4的對(duì)稱軸為x＝．當(dāng)≤3，即b≤6時(shí)，g（x）在（3，4）上單調(diào)遞增，g（x）＞g（3）＝13﹣3b，由13﹣3b≤1，得b≥4，∴4≤b≤6；當(dāng)≥4，即b≥2時(shí)，g（x）在（3，4）上單調(diào)遞減，g（x）＞g（4）＝20﹣4b，由20﹣4b≤1，得b≥，∴b≥2；當(dāng)3＜＜4，即6＜b＜2時(shí)，g（x）在（3，4）上先減后增，，由≤1，解得或b，∴6＜b＜2．綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍為[4，+∞）．故答案為：[4，+∞）．本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及最值的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．15、(1)(3)(4)【解析】

由題可得若則是在以,為焦點(diǎn),的橢圓上.故“型直線”必與橢圓相交,再判斷直線與橢圓是否相交即可.【詳解】由題可得若則是在以,為焦點(diǎn),的橢圓上.故“型直線”需與橢圓相交即可.易得.左右頂點(diǎn)為,上下頂點(diǎn)為對(duì)(1),過,滿足條件對(duì)(2),設(shè)橢圓上的點(diǎn),則到直線的距離,.若,則無解.故橢圓與直線不相交.故直線不滿足.對(duì)(3),與橢圓顯然相交,故滿足.對(duì)(4),因?yàn)檫^,故與橢圓相交.故滿足.故答案為：(1)(3)(4)本題主要考查了橢圓的定義與新定義的問題,判斷直線與橢圓的位置關(guān)系可設(shè)橢圓上的點(diǎn)求點(diǎn)與直線的距離,分析是否可以等于0即可.屬于中等題型.16、0.72【解析】

運(yùn)用相互獨(dú)立事件的概率公式直接求解即可.【詳解】設(shè)事件表示水稻種子的發(fā)芽,事件為出芽后的幼苗成活,因此,所以這粒水稻種子能成長為幼苗的概率為.故答案為：本題考查了相互獨(dú)立事件的概率公式,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

要證線面平行，先證線線平行建系，利用法向量求解。【詳解】（1）連接ME，BC∵M(jìn)，E分別為B1B，BC的中點(diǎn)∴又∵∴A1DCB1是平行四邊形∴∴∴NDEM是平行四邊形∴NM∥DE又NM平面C1DE∴NM∥平面C1DE(2)由題意得DE與BC垂直，所以DE與AD垂直：以D為原點(diǎn)，DA，DE，DD1三邊分別為x，y，z軸，建立空間坐標(biāo)系O-xyz則A（2，0，0），A1（2，0，4），M（1，，2）設(shè)平面A1MD的法向量為則∴解得又∴∴AM與平面A1MD所成角的正弦值.要證線面平行，可證線線平行或面面平行。求線面所成角得正弦值，可用幾何法做出線面角，再求正弦值；或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解。18、(1)對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)分別為，(2)【解析】

（I）由圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），利用cos2θ+sin2θ=1化為普通方程，與直線方程聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用可得極坐標(biāo)．（II）圓心（0，2）到直線l的距離為d1，可得P到直線l的距離d的最大值為d1+r．【詳解】解：（I）直線:,圓:聯(lián)立方程組,解得或?qū)?yīng)的極坐標(biāo)分別為,.（II）設(shè),則,當(dāng)時(shí),取得最大值.本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)直線l1的方程為y﹣1=k（x﹣1），根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出直線的斜率k，問題得以解決，（2）根據(jù)弦長公式分別求出|AB|，|CD|，再根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】（1）設(shè)直線的斜率為，方程為，代入中，∴.∴.判別式.設(shè)，，則.∵中點(diǎn)為，∴，則.∴直線的方程為，即.（2）由（1）知.設(shè)直線的方程為.同理可得.∴.∴.令，則，.在，分別單調(diào)遞減，∴或.故或.即.圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．20、(1)；(2)【解析】

（1）由題得，解不等式即得解；（2）先由題得，由題得，中一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題，列出不等式組，解不等式組得解.【詳解】(1)對(duì)任意，不等式恒成立，當(dāng)，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，的最小值為，，解得.因此，若為真命題時(shí)，的取值范圍是.(2)存在，使得成立，.命題為真時(shí)，，且為假，或?yàn)檎?，，中一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題.當(dāng)真假時(shí)，則解得；當(dāng)假真時(shí)，，即.綜上所述，的取值范圍為.本題主要考查指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)