廣東省聯(lián)考聯(lián)盟2025屆高二下數(shù)學(xué)期末考試模擬試題含解析

廣東省聯(lián)考聯(lián)盟2025屆高二下數(shù)學(xué)期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．把語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)這五門課程安排在一天的五節(jié)課中，如果數(shù)學(xué)必須比語文先上，則不同的排法有多少種（）A．24 B．60 C．72 D．1202．已知點P是曲線C：x=3+cosθ，y=3+sinθ，（θA．[10，13+1] B．[3．若從1，2，3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有A．60種 B．63種 C．65種 D．66種4．若命題“使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為()A． B．C． D．5．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A．1 B． C．2 D．36．已知單位圓有一條長為的弦，動點在圓內(nèi)，則使得的概率為()A． B． C． D．7．某個幾何體的三視圖如圖所示（其中正視圖中的圓弧是半徑為2的半圓），則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．8．在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b，則函數(shù)無零點的概率為（）A． B． C． D．9．甲、乙兩人進行象棋比賽，已知甲勝乙的概率為0.5，乙勝甲的概率為0.3，甲乙兩人平局的概率為0.1．若甲乙兩人比賽兩局，且兩局比賽的結(jié)果互不影響，則乙至少贏甲一局的概率為（）A．0.36 B．0.49 C．0.51 D．0.7510．一個口袋中裝有若干個除顏色外都相同的黑色、白色的小球，從中取出一個小球是白球的概率為，連續(xù)取出兩個小球都是白球的概率為，已知某次取出的小球是白球，則隨后一次取出的小球為白球的概率為（）A． B． C． D．11．一個隨機變量的分布列如圖，其中為的一個內(nèi)角，則的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．12．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意實數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)與的圖象有且只有三個交點，則實數(shù)的取值范圍為________．14．在平面直角坐標系中，若直線與橢圓在第一象限內(nèi)交于點，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過右焦點，則橢圓的離心率是______.15．已知平面向量，滿足，，則向量與夾角的取值范圍是______.16．將參數(shù)方程（為參數(shù)）化成普通方程為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率是，乙勝的概率是，不會出現(xiàn)平局．（1）如果兩人賽3局，求甲恰好勝2局的概率和乙至少勝1局的概率；（2）如果采用五局三勝制若甲、乙任何一方先勝3局，則比賽結(jié)束，結(jié)果為先勝3局者獲勝，求甲獲勝的概率．18．（12分）給出下列不等式：，，，，（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結(jié)論；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.19．（12分）設(shè)a∈R，函數(shù)f（1）當(dāng)a=1時，求fx在3（2）設(shè)函數(shù)gx=fx+ax-1-e1-x，當(dāng)g20．（12分）如圖，多面體，平面平面，，，，是的中點，是上的點.（Ⅰ）若平面，證明：是的中點；（Ⅱ）若，，求二面角的平面角的余弦值.21．（12分）某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費用，并將各地的銷售收益（單位：萬元）繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開始計數(shù)的.廣告投入/萬元12345銷售收益/萬元23257（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；（Ⅱ）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到上表：表中的數(shù)據(jù)顯示與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的回歸方程；（Ⅲ）若廣告投入萬元時，實際銷售收益為萬元，求殘差.附：，22．（10分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意,先從五節(jié)課中任選兩節(jié)排數(shù)學(xué)與語文,剩余的三節(jié)任意排列,則有種不同的排法.本題選擇B選項.2、D【解析】

將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，可知曲線C是圓x-32+y-3【詳解】曲線C表示半圓：x-32+所以PQ≤取A2，3，AQ=2+12本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時也考查了點與圓的位置關(guān)系，在處理點與圓的位置關(guān)系的問題時，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，能簡化計算，考查計算能力與分析問題的能力，屬于中等題。3、D【解析】試題分析：要得到四個數(shù)字的和是偶數(shù)，需要分成三種不同的情況，當(dāng)取得個偶數(shù)時，有種結(jié)果，當(dāng)取得個奇數(shù)時，有種結(jié)果，當(dāng)取得奇偶時有種結(jié)果,共有種結(jié)果.故答案為D.考點：分類計數(shù)原理.4、B【解析】

若原命題為假，則否命題為真，根據(jù)否命題求的范圍．【詳解】由題得，原命題的否命題是“，使”，即，解得．選B.本題考查原命題和否命題的真假關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】分析：利用復(fù)數(shù)的除法求出，進而得到.詳解：由題故選B.點睛：本題考查復(fù)數(shù)逇除法運算及復(fù)數(shù)的模，屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】

建立直角坐標系，則，設(shè)點坐標為，則，故，則使得的概率為，故選A．（1）當(dāng)試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度?面積?體積等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解．（2）利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域．（3）幾何概型有兩個特點：一是無限性，二是等可能性．基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率．7、A【解析】

試題分析：由三視圖可知該幾何體的體積等于長方體體積和半個圓柱體積之和，．考點：三視圖與體積．8、D【解析】

在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b，其對應(yīng)的數(shù)對構(gòu)成的區(qū)域為正方形，所求事件構(gòu)成的區(qū)域為梯形區(qū)域，利用面積比求得概率.【詳解】因為函數(shù)無零點，所以，因為，所以，則事件函數(shù)無零點構(gòu)成的區(qū)域為梯形，在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b所對應(yīng)的點構(gòu)成的區(qū)域為正方形，所以函數(shù)無零點的概率.本題考查幾何概型計算概率，考查利用面積比求概率，注意所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域和事件所含基本事件構(gòu)成的區(qū)域.9、C【解析】

乙至少贏甲一局的對立事件為甲兩局不輸，由此能求出乙至少贏甲一局的概率．【詳解】乙至少贏甲—局的概率為.故選C本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．10、B【解析】

直接利用條件概率公式求解即可.【詳解】設(shè)第一次取白球為事件，第二次取白球為事件，連續(xù)取出兩個小球都是白球為事件，則，，某次取出的小球是白球，則隨后一次取出的小球為白球的概率為，故選B.本題主要考查條件概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.求解條件概率時，一要區(qū)分條件概率與獨立事件同時發(fā)生的概率的區(qū)別與聯(lián)系；二要熟記條件概率公式.11、D【解析】

利用二倍角的余弦公式以及概率之和為1，可得，然后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計算公式可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以或(舍去)則，故選：D本題考查給出分布列，數(shù)學(xué)期望的計算，掌握公式，細心計算，可得結(jié)果.12、B【解析】

構(gòu)造函數(shù)，則得的單調(diào)性，再根據(jù)為奇函數(shù)得，轉(zhuǎn)化不等式為，最后根據(jù)單調(diào)性性質(zhì)解不等式.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單獨遞減，因為為奇函數(shù)，所以.因此不等式等價于，即，選B.利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

令，求導(dǎo)數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而求出a的范圍．【詳解】由題意得，，

，令，則令，解得：或，

令，解得：，

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

，

，且當(dāng)時，，當(dāng)時，

所以函數(shù)與的圖象有且只有三個交點，

則只需和圖象有且只有三個交點，

故

故答案為：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．14、.【解析】

由題意可得軸，求得的坐標，由在直線上，結(jié)合離心率公式，解方程可得所求值．【詳解】解：以為直徑的圓恰好經(jīng)過右焦點，可得軸，令，可得，不妨設(shè)，由在直線上，可得，即為，由可得，解得（負的舍去）.故答案為:.本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查了圓的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是由圓過焦點得出點的坐標.求離心率的做題思路是，根據(jù)題意求出或者列出一個關(guān)于的方程，由橢圓或雙曲線的的關(guān)系，進而求解離心率.15、【解析】

由已知，得，由，得，由不等式可知，再由，得，最后由可得解.【詳解】由，，得，即由，得，即由，得由，得所以，.故答案為：本題考查了向量及其模的運算，考查了向量的夾角公式和基本不等式，考查了計算能力，屬于中檔題.16、.【解析】

在參數(shù)方程中利用加減消元法或代入消元法消去參數(shù)，可將參數(shù)方程化為普通方程.【詳解】由得，兩式相加得，即，因此，將參數(shù)方程（為參數(shù)）化成普通方程為，故答案為.本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，將直線的參數(shù)方程化普通方程，常見的有代入消元法和加減消元法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】分析：（1）先由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率，根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式公式，列出算式，得到結(jié)果．

（2）由于采用五局三勝制，則甲獲勝包括甲以3：0獲勝，以3：1獲勝，以3：2獲勝，根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式列出算式，得到結(jié)果．詳解：（1）甲恰好勝2局的概率；乙至少勝1局的概率；（2）打3局：；打4局：；打五局：因此甲獲勝的概率為點睛：求一個事件的概率，關(guān)鍵是先判斷出事件所屬的概率模型，然后選擇合適的概率公式進行計算．正確理解概率加法公式和相互獨立性事件的概率計算公式是解題的關(guān)鍵．18、（1）（2）見解析【解析】

（1）猜想不等式左邊最后一個數(shù)分母，對應(yīng)各式右端為，即得解；（2）遞推部分，利用時結(jié)論，替換括號內(nèi)部分即得證.【詳解】解：（1）觀察不等式左邊最后一個數(shù)分母的特點：，，，，猜想不等式左邊最后一個數(shù)分母，對應(yīng)各式右端為，所以，不等式的一般結(jié)論為：（2）證明：①當(dāng)時顯然成立；②假設(shè)時結(jié)論成立，即：成立，當(dāng)時，即當(dāng)時結(jié)論也成立.由①②可知對任意，結(jié)論都成立.本題考查了歸納推理和數(shù)學(xué)歸納法，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.19、（1）增區(qū)間是x∈34,1，減區(qū)間是x∈【解析】試題分析：（1）當(dāng)a=1時，求得f(x)，求導(dǎo)f'(x)，令h(x)=2x-x2-ex-1，則h'(x)=2-2x-ex-1在(34,2)是減函數(shù)，從而h(x)在(34,2)上是減函數(shù)，進而得出f(x)在(試題解析：（1）當(dāng)a=1時，f(x)=則f'(x)=(2x-x2顯然h'(x)在區(qū)間(34,2)內(nèi)是減函數(shù)，又∴h(x)在區(qū)間(34,2)內(nèi)是減函數(shù)，又∵h(1)=0∴當(dāng)∴f'(x)>0當(dāng)x∈(1,2)時，h(x)<0∴f'(x)<0∴f(x)在區(qū)間(34（2）由題意，知g(x)=(x2根據(jù)題意，方程-x2∴Δ=4+4a>0，即a>-1，且x∵x1其中f'(x)=(2x-∵-所以上式化為(2-又∵2-x1>0，所以不等式可化為x①當(dāng)x1=0，x1②當(dāng)x1∈(0,1)時，2令函數(shù)k(x)=顯然k(x)是R內(nèi)的減函數(shù)，當(dāng)x∈(0,1)，k(x)<k(0)=③x1∈(-∞,0)時，2由②，當(dāng)x∈(-∞,0)，k(x)>k(0)=2ee+1考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.【方法點晴】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，取閉區(qū)間上的最值問題，著重考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，是一道綜合試題，試題有一定的難度，本題解答中把不等式可化為x1[2e1-x1-λe1-20、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用線面平行的性質(zhì)定理，可以證明出，，利用平行公理可以證明出，由中位線的性質(zhì)可以證明出N是DP的中點；（Ⅱ）方法1：在平面ABCD中作于垂足G，過G作于H，連接AH,利用面面垂直和線面垂直，可以證明出為二面角的平面角,在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)，可以求出二面角的平面角的余弦值；方法2：由平面平面PBC，可以得到平面PBC，，而即，于是可建立如圖空間直角坐標系（C為原點），利用空間向量的數(shù)量積，可以求出二面角的平面角的余弦值.【詳解】（I）設(shè)平面平面，因為平面PBC，平面ADP，所以，又因為，所以平面PBC，所以，所以，又因為M是AP的中點，所以N是DP的中點.（II）方法1：在平面ABCD中作于垂足G，過G作于H，連接AH（如圖），因為平面平面PBC，，所以平面PBC，，，，所以平面PBC，,所以平面，所以為二面角的平面角,易知，，又,所以在中，易知，，，所以.（II）方法2：因為平面平面PBC，所以平面PBC，，而即，于是可建立如圖空間直角坐標系（C為原點），得，，，所有，，設(shè)平面APB的法向量為，則，，不妨取，得，可取平面PBC的法向量為，所求二面角的平面角為，則.本題考查了線線平行的證明，考查了線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，考查了面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理，考查了利用空間向量數(shù)量積求二面角的余弦值問題問題.21、(1).(2).(3).【解析】分析：（Ⅰ）設(shè)各小長方形的寬度為，由頻率直方圖各小長方形的面積總和為，可得，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）利用平均數(shù)公式求出平均數(shù)、利用樣本中心的性質(zhì)結(jié)合公司可求得回歸系數(shù)，從而可寫出線性回歸方程；（Ⅲ）計算當(dāng)時，銷售收益預(yù)測值，再求殘差值.詳解：（Ⅰ）設(shè)各小長方形的寬度為，由頻率直方圖各小長方形的面積總和為，可知，故.（Ⅱ）由題意，可知，，，，根據(jù)公式，可求得，，所以關(guān)于的回歸方程為.（Ⅲ）當(dāng)時，銷售收益預(yù)測值（萬元），又實際銷售收益為萬元，所以殘差點睛：求回歸直線方程的步驟：①確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計算的值；③計算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.22、(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)