《反證法》教學(xué)設(shè)計(jì)

PAGE10/17選修1-22.2.2反證法（陳昌杰）一、教學(xué)目標(biāo)1．核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生用反證法證明簡(jiǎn)單問(wèn)題的推理技能，進(jìn)一步培養(yǎng)分析能力、邏輯思維能力及解決問(wèn)題的能力2．學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）理解反證法的概念（2）體會(huì)反證法證明命題的思路方法及反證法證題的步驟（3）會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題3．學(xué)習(xí)重點(diǎn)對(duì)反證法的概念和三個(gè)步驟的理解與掌握．4．學(xué)習(xí)難點(diǎn)理解“反證法”證明得出“矛盾的所在”即矛盾依據(jù)．二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)【學(xué)習(xí)過(guò)程】1．預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1預(yù)習(xí)教材P42—P43，思考：什么是反證法？你以前學(xué)過(guò)反證法嗎？任務(wù)2反證法證明問(wèn)題的步驟是什么？值得注意的問(wèn)題哪些？2．預(yù)習(xí)自測(cè)1．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中要把下列哪些作為條件使用（）①結(jié)論相反的判斷，即假設(shè)②原命題的條件③公理、定理、定義等④原結(jié)論A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知識(shí)點(diǎn)：三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，命題的否定，反證法】由反證法的定義可知應(yīng)選C．2．如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)（）A．一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)B．兩個(gè)都是正數(shù)C．兩個(gè)都是非負(fù)數(shù)D．至少有一個(gè)是正數(shù)答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反證法求證a>0，b>0，c>0時(shí)的假設(shè)為（）A．a(chǎn)<0，b<0，c>0B．a(chǎn)≤0，b>0，c>0C．a(chǎn)，b，c不全是正數(shù)D．a(chǎn)bc<0答案：C4．否定“至多有兩個(gè)解”的說(shuō)法中，正確的是（）A．有一個(gè)解B．有兩個(gè)解C．至少有兩個(gè)解D．至少有三個(gè)解答案：D（二）課堂設(shè)計(jì)1．知識(shí)回顧著名的“道旁苦李”的故事：王戎小時(shí)候，愛(ài)和小朋友在路上玩耍．一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹(shù)上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒(méi)動(dòng)．等到小朋友摘了李子一嘗，原來(lái)是苦的．他們都問(wèn)王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說(shuō)：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這棵樹(shù)上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的論述運(yùn)用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假設(shè)李子不苦,則因樹(shù)在“道”邊,李子早就被別人采摘而沒(méi)有了,這與“多李”產(chǎn)生矛盾．所以假設(shè)不成立,李為苦李．2．問(wèn)題探究問(wèn)題探究一反證法的概念●活動(dòng)一1．什么是反證法？引例：證明：在一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角．求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)不小于60°．證明：假設(shè)的三個(gè)內(nèi)角∠A，∠B，∠C都小于60°，則有∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，∠A+∠B+∠C<180°這與三角形內(nèi)角和等于180°相矛盾．所以假設(shè)不成立，所求證的結(jié)論成立．先假設(shè)結(jié)論的反面是正確的，然后通過(guò)邏輯推理，推出與公理、已證的定理、定義或已知條件相矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立，從而得到原結(jié)論正確．這種證明方法就是——反證法一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾．因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．反證法也稱歸謬法●活動(dòng)二1．常用詞語(yǔ)的反義詞從上面的引例可以看出：用反證法證明問(wèn)題時(shí)，都是得到一系列矛盾結(jié)果，會(huì)出現(xiàn)一些反義詞，因此，同學(xué)們要注意常見(jiàn)詞語(yǔ)的反義詞，你知道哪些反義詞呢？下面是一些常見(jiàn)反義詞：詞語(yǔ)大于小于等于是全是至少個(gè)最多個(gè)否定不是不全是最多個(gè)至少個(gè)問(wèn)題探究二反證法的證題的基本步驟●活動(dòng)一反證法的證明過(guò)程從前面的引例中你可以總結(jié)出反證法證明問(wèn)題有哪些步驟？反證法的證明過(guò)程：否定結(jié)論——推出矛盾——肯定結(jié)論，即分三個(gè)步驟：反設(shè)—?dú)w謬—存真反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立；歸謬——從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理，得出矛盾；存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而肯定原結(jié)論成立．●活動(dòng)二歸謬矛盾的方法思考一下，歸謬矛盾的方法有哪些？歸謬矛盾主要有以下方法：（1）與已知條件矛盾．（2）與假設(shè)矛盾或自相矛盾．（3）與已有公理、定理、定義、事實(shí)矛盾．●活動(dòng)三反證法證明問(wèn)題的適用范圍同學(xué)們知道用反證法證明問(wèn)題的范圍有哪些嗎？是不是所有的問(wèn)題反證法都適用？反證法證明問(wèn)題的適用范圍（1）否定性命題；（2）限定式命題；（3）無(wú)窮性命題；（4）逆命題；（5）某些存在性命題；（6）全稱肯定性命題；（7）一些不等量命題的證明；（8）基本命題；（9）結(jié)論以“至多……”“至或少……”的形式出現(xiàn)的命題等．問(wèn)題探究三反證法可以解決哪些問(wèn)題？●活動(dòng)一用反證法證明否(肯)定式命題例1設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)．求證：f(x)＝0無(wú)整數(shù)根．【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，命題的否定，反證法；數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程】詳解：假設(shè)f(x)＝0有整數(shù)根n，則an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均為奇數(shù)，即c為奇數(shù)，a＋b為偶數(shù)，則an2＋bn＝－c為奇數(shù)，即n(an＋b)為奇數(shù)．∴n，an＋b均為奇數(shù)．又a＋b為偶數(shù)，∴an－a為奇數(shù)，即a(n－1)為奇數(shù)，∴n－1為奇數(shù)，這與n為奇數(shù)矛盾．∴f(x)＝0無(wú)整數(shù)根．點(diǎn)拔：（1）此題為否定形式的命題，直接證明很困難，可選用反證法．證題的關(guān)鍵是根據(jù)f(0)，f(1)均為奇數(shù)，分析出a，b，c的奇偶情況，并應(yīng)用．（2）對(duì)某些結(jié)論為肯定形式或者否定形式的命題的證明，從正面突破較困難時(shí)，可用反證法．通過(guò)反設(shè)將肯定命題轉(zhuǎn)化為否定命題或?qū)⒎穸}轉(zhuǎn)化為肯定命題，然后用轉(zhuǎn)化后的命題作為條件進(jìn)行推理，推出矛盾，從而達(dá)到證題的目的．●活動(dòng)二用反證法證明“唯一性”命題例2若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷開(kāi)，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，求證：f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性，命題的否定，反證法】詳解：由于f(x)在[a，b]上的圖象連續(xù)不斷開(kāi)，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f(x)在(a，b)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為m，則f(m)＝0，假設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)還存在另一個(gè)零點(diǎn)n，且n≠m．，使f(n)＝0，若n＞m，則f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾；若n＜m，則f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾．因此假設(shè)不正確，即f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．點(diǎn)拔：證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性．當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”、“只有一個(gè)”、“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以用反證法證其唯一性就較簡(jiǎn)單明了．●活動(dòng)三用反證法證明“至多、至少”問(wèn)題例3已知x，y＞0，且x＋y＞2．求證：eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)中至少有一個(gè)小于2．【知識(shí)點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，不等式的證明，命題的否定，反證法】詳解：假設(shè)eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)都不小于2，即eq\f(1＋x,y)≥2，eq\f(1＋y,x)≥2．∵x＞0，y＞0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x．∴2＋x＋y≥2(x＋y)．即x＋y≤2，這與已知x＋y＞2矛盾．∴eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)中至少有一個(gè)小于2．點(diǎn)拔：反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒(méi)有；至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)等．例4設(shè)二次函數(shù)，求證：中至少有一個(gè)不小于．【知識(shí)點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，不等式的證明，命題的否定，反證法】詳解：假設(shè)都小于，則（1）另一方面，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有（2）（1）、（2）兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來(lái)的結(jié)論正確．點(diǎn)拔：諸如本例中的問(wèn)題，當(dāng)要證明幾個(gè)代數(shù)式中，至少有一個(gè)滿足某個(gè)不等式時(shí)，通常采用反證法進(jìn)行．議一議：一般來(lái)說(shuō)，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時(shí)假定矛盾等各種情況．試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點(diǎn)？●活動(dòng)四利用反證法證題時(shí)，假設(shè)錯(cuò)誤而致誤例5已知a，b，c是互不相等的非零實(shí)數(shù)．求證：三個(gè)方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根．【錯(cuò)解】假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，則Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根．【知識(shí)點(diǎn)：方程的根，反證法】【錯(cuò)因分析】上面解法的錯(cuò)誤在于認(rèn)為“方程沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根就有Δ<0”，事實(shí)上，方程沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根時(shí)Δ≤0．【正解】假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，則Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由題意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根．點(diǎn)拔：用反證法證題要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的．(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法．(3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的．3．課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】(1)反證法：假設(shè)原命題的反面正確，根據(jù)已知條件及公理、定理、定義，按照嚴(yán)格的邏輯推理導(dǎo)出矛盾．從而說(shuō)明假設(shè)不正確，得出原命題正確．(2)反證法是間接證明的一種方法，在證明否定性命題、唯一性命題和存在性命題時(shí)運(yùn)用反證法比較簡(jiǎn)便．(3)反證法的基本步驟是：①反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真；②歸謬——從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾的結(jié)果；③存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定結(jié)論成立．【難點(diǎn)突破】用反證法證題時(shí),應(yīng)注意的事項(xiàng):（1）周密考察原命題結(jié)論的否定事項(xiàng)，防止否定不當(dāng)或有所遺漏．（2）推理過(guò)程必須完整，否則不能說(shuō)明命題的真?zhèn)涡裕?）在推理過(guò)程中，要充分使用已知條件，否則推不出矛盾，或者不能斷定推出的結(jié)果是錯(cuò)誤的．（4）反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒(méi)有；至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)．

（5）歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水，無(wú)本之木．推理必須嚴(yán)謹(jǐn)．導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾．4．隨堂檢測(cè)1．用反證法證明“如果a＞b，那么eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)”的假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是（）A．eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)B．eq\r(3,a)＜eq\r(3,b)C．eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)D．eq\r(3,a)≥eq\r(3,b)答案：C【知識(shí)點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，不等式的證明，命題的否定，反證法】“大于”的對(duì)立面為“小于等于”，故應(yīng)假設(shè)“eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)”．2．否定“任何一個(gè)三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”時(shí)正確的說(shuō)法為（）A．存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角B．任何一個(gè)三角形的外角都沒(méi)有兩個(gè)鈍角C．沒(méi)有一個(gè)三角形的外角有兩個(gè)鈍角D．存在一個(gè)三角形，其外角有兩個(gè)鈍角答案：A【知識(shí)點(diǎn)：三角形的性質(zhì)，命題的否定，反證法】原命題的否定為：存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角．3．用反證法證明命題：若a、b是實(shí)數(shù)，且|a－1|＋|b－1|＝0，則a＝b＝1時(shí)，應(yīng)作的假設(shè)是________．答案：a≠1或b≠1．【知識(shí)點(diǎn)：命題的否定，反證法】∵“a＝b＝1”的否定為“a≠1或b≠1”，故應(yīng)填a≠1或b≠1．4．證明方程2x＝3有且僅有一個(gè)實(shí)根．【知識(shí)點(diǎn)：命題的否定，反證法】證明：∵2x＝3，∴x＝eq\f(3,2)，∴方程2x＝3至少有一個(gè)實(shí)根．設(shè)x1，x2是方程2x＝3的兩個(gè)不同實(shí)根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＝3，①,2x2＝3，②))由①－②得2(x1－x2)＝0，∴x1＝x2，這與x1≠x2矛盾．故假設(shè)不正確，從而方程2x＝3有且僅有一個(gè)實(shí)根．三、智能提升★基礎(chǔ)型自主突破1．(2013·?？诟叨z測(cè))用反證法證明命題：三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）A．三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B．三個(gè)內(nèi)角都大于60°C．三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D．三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°答案：B三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°，即有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)不大于60°，其反設(shè)為都大于60°，故B正確．2．實(shí)數(shù)a，b，c不全為0等價(jià)于（）A．a(chǎn)，b，c均不為0B．a(chǎn)，b，c中至多有一個(gè)為0C．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)為0D．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不為0答案：D【知識(shí)點(diǎn)：命題的否定，反證法】實(shí)數(shù)a，b，c不全為0，即a，b，c至少有一個(gè)不為0，故應(yīng)選D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2．用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對(duì)值都小于1．用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1．以下結(jié)論正確的是（）A．(1)與(2)的假設(shè)都錯(cuò)誤B．(1)與(2)的假設(shè)都正確C．(1)的假設(shè)正確；(2)的假設(shè)錯(cuò)誤D．(1)的假設(shè)錯(cuò)誤；(2)的假設(shè)正確答案：D【知識(shí)點(diǎn)：命題的否定，反證法】(1)的假設(shè)應(yīng)為p＋q>2；(2)的假設(shè)正確．答案是D4．下列命題不適合用反證法證明的是（）A．同一平面內(nèi)，分別與兩條相交直線垂直的兩條直線必相交B．兩個(gè)不相等的角不是對(duì)頂角C．平行四邊形的對(duì)角線互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求證：x，y中至少有一個(gè)大于1答案：C【知識(shí)點(diǎn)：命題的否定，反證法】A中命題條件較少，不易正面證明；B中命題是否定性命題，其反設(shè)是顯而易見(jiàn)的定理；D中命題是至少性命題，其結(jié)論包含兩種情況，而反設(shè)只有一種情況，適合用反證法證明．5．命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有兩個(gè)內(nèi)角是直角【知識(shí)點(diǎn)：三角形的性質(zhì)，命題的否定，反證法】“最多”的反面是“最少”，故本題的否定是：三角形中最少有兩個(gè)內(nèi)角是直角．能力型師生共研1．設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，則三數(shù)a＋eq\f(1,b)，c＋eq\f(1,a)，b＋eq\f(1,c)中（）A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一個(gè)不大于－2D．至少有一個(gè)不小于－2答案：C【知識(shí)點(diǎn)：基本不等式，命題的否定，反證法】假設(shè)都大于－2，則，又，同理，，故，矛盾．即a＋eq\f(1,b)，c＋eq\f(1,a)，b＋eq\f(1,c)中至少有一個(gè)不大于－2,所以答案C．2．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a、b為實(shí)數(shù))”，其反設(shè)為_(kāi)_______．答案：a、b不全為0【知識(shí)點(diǎn)：命題的否定，反證法】“a、b全為0”即“a＝0且b＝0”，因此它的反設(shè)為“a≠0或b≠0，3．用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．②所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角．③假設(shè)△ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°．上述步驟的正確順序?yàn)開(kāi)_______．答案：③①②【知識(shí)點(diǎn)：三角形的性質(zhì)，命題的否定，反證法】4．甲乙丙三位同學(xué)中，有一位同學(xué)做了一件好事，這時(shí)候老師問(wèn)他們?nèi)?，是誰(shuí)做的？甲說(shuō)："丙做的．”丙說(shuō)：“不是我做的．”乙也說(shuō)：“不是我做的．”如果知道他們?nèi)齻€(gè)人中，有兩人說(shuō)了假話，有一人說(shuō)真話，你能判斷出是誰(shuí)做的嗎？【知識(shí)點(diǎn)：推理與證明，命題的否定，反證法】解：每人講的話中都有一句真話，一句假話．乙說(shuō)：“我沒(méi)有做這件事，丙也沒(méi)有做這件事．”說(shuō)明乙丙兩人中有一人做了這件事，甲一定沒(méi)做而甲說(shuō)：“我沒(méi)有做這件事，乙也沒(méi)有做這件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的這件好事！5．用反證法證明：無(wú)論m取何值，關(guān)于x的方程x2－5x＋m＝0與2x2＋x＋6－m＝0至少有一個(gè)有實(shí)數(shù)根．【知識(shí)點(diǎn)：推理與證明，命題的否定，反證法】解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得這兩個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝25－4m＜0，,Δ2＝1－8(6－m)＜0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞\f(25,4)，,m＜\f(47,8)，))無(wú)解．與假設(shè)存在實(shí)數(shù)m矛盾．故無(wú)論m取何值，兩個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根．6．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求證：a＞0，b＞0，c＞0．【知識(shí)點(diǎn)：不等式的證明，命題的否定，反證法】證明:假設(shè)a＜0，由abc＞0得bc＜0，由a＋b＋c＞0，得b＋c＞－a＞0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，這與已知矛盾．又若a＝0，則abc＝0，與abc＞0矛盾，故a＞0，同理可證b＞0，c＞0．探究型多維突破1．若x，y，z均為實(shí)數(shù)，且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y(tǒng)2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6)，則a，b，c中是否至少有一個(gè)大于0？請(qǐng)說(shuō)明理由．【知識(shí)點(diǎn)：推理與證明，實(shí)數(shù)非負(fù)性，命題的否定，反證法】解：假設(shè)a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則a＋b＋c≤0．而a＋b＋c＝x2－2y＋eq\f(π,2)＋y2－2z＋eq\f(π,3)＋z2－2x＋eq\f(π,6)＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，因?yàn)棣校?>0，且無(wú)論x，y，z為何實(shí)數(shù)，(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，所以a＋b＋c>0．這與假設(shè)a＋b＋c≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一個(gè)大于0．2．如下圖所示，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的長(zhǎng)；(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．【知識(shí)點(diǎn)：線面垂直，面面垂直，異面直線，命題的否定，反證法】解：(1)如圖，取CD的中點(diǎn)G，連接MG，NG，∵ABCD，DCEF為正方形，且邊長(zhǎng)為2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq\r(2)．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝eq\r(MG2＋GN2)＝eq\r(6)．(2)證明假設(shè)直線ME與BN共面，則AB?平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，兩正方形ABCD和DCEF不共面，故AB?平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，這與EF∩EN＝E矛盾，故假設(shè)不成立．∴ME與BN不共面，它們是異面直線．（四）自助餐1．用反證法證明命題“若a，b∈N，ab可以被7整除，則a，b中至少有一個(gè)能被7整除”，其假設(shè)正確的是（）A．a(chǎn)，b都能被7整除B．a(chǎn)，b都不能被7整除C．a(chǎn)不能被7整除D．a(chǎn)，b中有一個(gè)不能被7整除答案：B【知識(shí)點(diǎn)：推理與證明，命題的否定，反證法】“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒(méi)有”．所以選B．2．有下列敘述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y(tǒng)”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；④“三角形的內(nèi)角中最多有一個(gè)鈍角”的反面是“三角形的內(nèi)角中沒(méi)有鈍角”，其中正確的敘述有（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)答案：B【知識(shí)點(diǎn)：推理與證明，命題的否定，反證法】①錯(cuò)，應(yīng)為a≤b．②對(duì)．③錯(cuò)，應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或三角形的邊上．④錯(cuò)，應(yīng)為三角形的內(nèi)角中有2個(gè)或3個(gè)鈍角．即選B．3．設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，則a，b，c中至少有一個(gè)數(shù)不小于（）A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(2,5)答案：A【知識(shí)點(diǎn)：推理與證明，命題的否定，反證法】假設(shè)a，b，c中至少有一個(gè)數(shù)不小于x的反命題成立，即假設(shè)a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞eq\f(1,3)，若取x＝eq\f(1,3)就會(huì)產(chǎn)生矛盾．故選A．4．下列命題錯(cuò)誤的是（）A．三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°B．四面體的三組對(duì)棱都是異面直線C．閉區(qū)間[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)D．設(shè)a、b∈Z，若a、b中至少有一個(gè)為奇數(shù)，則a＋b是奇數(shù)答案：D【知識(shí)點(diǎn)：推理與證明，命題的否定，反證法】a＋b為奇數(shù)?a、b中有一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù)，故D錯(cuò)誤．因此選D．5．已知α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b為異面直線，則（）A．a(chǎn)，b都與l相交B．a(chǎn)，b中至少有一條與l相交C．a(chǎn)，b中至多有一條與l相交D．a(chǎn)，b都不與l相交答案：B【知識(shí)點(diǎn)：推理與證明，命題的否定，反證法】逐一從假設(shè)選項(xiàng)成立入手分析，易得B是正確選項(xiàng)，故選B．6．以下各數(shù)不能構(gòu)成等差數(shù)列的是（）A．3，4，5B．eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)C．3，6，9D．eq\r(2)，eq\r(2)，eq\r(2)答案：B【知識(shí)點(diǎn)：推理與證明，命題的否定，反證法】假設(shè)eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)成等差數(shù)列，則2eq\r(3)＝eq\r(2)＋eq\r(5)，即12＝7＋2eq\r(10)，此等式不成立，故eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)不成等差數(shù)列．7．“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是________．答案：存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角【知識(shí)點(diǎn)：命題的否定，反證法】“存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角”．“任何三角形”的否定是“存在一個(gè)三角形”，“至少有兩個(gè)”的否定是“最多有一個(gè)”．8．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)．求證：f(x)＝0無(wú)整數(shù)根．【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性，推理與證明，命題的否定，反證法】證明設(shè)f(x)＝0有一個(gè)整數(shù)根k，則ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均為奇數(shù)，∴a＋b為偶數(shù)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，顯然與①式矛盾；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2n＋1(n∈Z)，則ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)為偶數(shù)，也與①式矛盾，故假設(shè)不成立，所以方程f(x)＝0無(wú)整數(shù)根．9．如圖，已知平面α∩平面β=直線a，直線b?α，直線c?β，b∩a=A，c∥a．求證：b與c是異面直線．【知識(shí)點(diǎn)：線面平行，線線平行，推理與證明，命題的否定，反證法】證明：證明：假設(shè)b，c不是異面直線，則①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，與a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c?β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b?β．又b?α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a與b重合．這與a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b與c是異面直線．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【知識(shí)點(diǎn)：判別式，不等式組的解法，命題的否定，反證法】解：設(shè)三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝16a2－4(－4a＋3)<0，,Δ2＝(a－1)2－4a2<0，,Δ3＝4a2－4(－2a)<0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<a<\f(1,2)，,a<－1，或a>\f(1,3)，,－2<a<0，))所以－eq\f(3,2)<a<－1．所以當(dāng)a≥－1，或a≤－eq\f(3,2)時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根．11．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,2x－2)，如果數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＋1＝f(an)，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，恒有an<3成立．【知識(shí)點(diǎn)：推理與證明，命題的否定，反證法】證明：法一(直接證法)由an＋1＝f(an)得an＋1＝eq\f(a\o\al(2,n),2an－2)，∴eq\f(1,an＋1)＝－eq\f(2,a\o\al(2,n))＋eq\f(2,an)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)，∴an＋1<0或an＋1≥2；(1)若an＋1<0，則an＋1<0<3，∴結(jié)論“當(dāng)n≥2時(shí)，恒有an<3”成立；(2)若an＋1≥2，則當(dāng)n≥2時(shí)，有an＋1－an＝eq\f(a\o\al(2,n),2an－2)－an＝eq\f(－a\o\al(2,n)＋2an,2(an－1))＝eq\f(－an(an－2),2(an－1))≤0，∴an＋1≤an，即數(shù)列{an}在n≥2時(shí)單調(diào)遞減；由a2＝eq\f(a\o\al(2,1),2a1－2)＝eq\f(16,8－2)＝eq\f(8,3)<3，可知an≤a2<3，在n≥2時(shí)成立．綜上，由(1)、(2)知：當(dāng)n≥2時(shí)，恒有an<3成立．法二：(用反證法)假設(shè)an≥3(n≥2)，則由已知得an＋1＝f(an)＝eq\f(a\o\al(2,n),2an－2)，∴當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(an,2an－2)＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,an－1)))≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝eq\f(3,4)<1，(∵an－1≥3－1)，又易證an>0，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1<an，∴當(dāng)n>2時(shí)，an<an－1<…<a2；而當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝eq\f(a\o\al(2,1),2a1－2)＝eq\f(16,8－2)＝eq\f(8,3)<3，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an<3；這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，∴當(dāng)n≥2時(shí)，恒有an<3成立．三、數(shù)學(xué)視野邊際分析法是這一時(shí)期產(chǎn)生的一種\o"經(jīng)濟(jì)分析"經(jīng)濟(jì)分析方法，同時(shí)形成了\o"經(jīng)濟(jì)學(xué)"經(jīng)濟(jì)學(xué)的\o"邊際效用學(xué)派"邊際效用學(xué)派，代表人物有\(zhòng)o"瓦爾拉"瓦爾拉(\o"L.Walras"L．Walras)、\o"杰文斯"杰文斯(\o"W.S.Jevons"W．S．Jev