2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)45直線平面垂直的判定及其性質(zhì)理含解析新人教版

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)45直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)一、選擇題1．設(shè)α，β為兩個(gè)不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：依題意，由l⊥β，l?α可以推出α⊥β；反過來，由α⊥β，l?α不能推出l⊥β.因此“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件，故選A.2．設(shè)α為平面，a，b為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是(B)A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a⊥α，a∥b，則b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，則b∥αD．若a∥α，a⊥b，則b⊥α解析：若a∥α，b∥α，則a與b相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；易知B正確；若a⊥α，a⊥b，則b∥α或b?α，故C錯(cuò)誤；若a∥α，a⊥b，則b∥α或b?α或b與α相交，故D錯(cuò)誤．3．(2024·安徽池州聯(lián)考)已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中錯(cuò)誤的是(C)A．若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n⊥β，則m∥nC．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nD．若α⊥β，m?α，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β解析：依據(jù)線面垂直的判定可知，當(dāng)m⊥α，m∥n，n?β時(shí)可得n⊥α，則α⊥β，所以A不符合題意；依據(jù)面面平行的性質(zhì)可知，若α∥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥β，故m∥n，所以B不符合題意；依據(jù)面面平行的性質(zhì)可知，m，n可能平行或異面，所以C符合題意；依據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知，若α⊥β，m?α，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β，所以D不符合題意．故選C.4.(2024·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè)考試)如圖，在三棱錐P-ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是(B)A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因?yàn)锳P⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A能證明AP⊥BC；C中，因?yàn)槠矫鍮PC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，又AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C能證明AP⊥BC；由A知D能證明AP⊥BC；B中條件不能推斷出AP⊥BC，故選B.5．(2024·福建寧德質(zhì)檢)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(D)A．BD∥平面CB1D1B．異面直線AD與CB1所成的角為45°C．AC1⊥平面CB1D1D．AC1與平面ABCD所成的角為30°解析：因?yàn)锽D∥B1D1，所以BD∥平面CB1D1，A不符合題意；因?yàn)锳D∥BC，所以異面直線AD與CB1所成的角為∠BCB1＝45°，B不符合題意；因?yàn)锳C1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，C不符合題意；AC1與平面ABCD所成的角為∠CAC1≠30°，故選D.6．(2024·福建泉州質(zhì)檢)如圖，在下列四個(gè)正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G均為所在棱的中點(diǎn)，過E，F(xiàn)，G作正方體的截面，則在各個(gè)正方體中，直線BD1與平面EFG不垂直的是(D)解析：如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G，M，N，Q均為所在棱的中點(diǎn)，且六點(diǎn)共面，直線BD1與平面EFMNQG垂直，并且選項(xiàng)A，B，C中的平面與這個(gè)平面重合，滿意題意．對(duì)于選項(xiàng)D中圖形，由于E，F(xiàn)為AB，A1B1的中點(diǎn)，所以EF∥BB1，故∠B1BD1為異面直線EF與BD1所成的角，且tan∠B1BD1＝eq\r(2)，即∠B1BD1不為直角，故BD1與平面EFG不垂直，故選D.7.三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是(A)①CC1與B1E是異面直線；②AE與B1C1是異面直線，且AE⊥B1C1；③AC⊥平面ABB1A1；④A1C1∥平面AB1E.A．② B．①③C．①④ D．②④解析：對(duì)于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C內(nèi)，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，AE，B1C1為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中點(diǎn)，所以AE⊥BC，又B1C1∥BC，故AE與B1C1是異面直線，且AE⊥B1C1，故正確；對(duì)于③，上底面ABC是一個(gè)正三角形，不行能存在AC⊥平面ABB1A1，故錯(cuò)誤；對(duì)于④，A1C1所在的平面與平面AB1E相交，且A1C1與交線有公共點(diǎn)，故錯(cuò)誤．故選A.二、填空題8.如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有AB，BC，AC；與AP垂直的直線有AB.解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，又∵AP?平面PAC，∴AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB.9．若α，β是兩個(gè)相交平面，m為一條直線，則下列命題中，全部真命題的序號(hào)為②④.①若m⊥α，則在β內(nèi)肯定不存在與m平行的直線；②若m⊥α，則在β內(nèi)肯定存在多數(shù)條直線與m垂直；③若m?α，則在β內(nèi)不肯定存在與m垂直的直線；④若m?α，則在β內(nèi)肯定存在與m垂直的直線．解析：對(duì)于①，若m⊥α，假如α，β相互垂直，則在平面β內(nèi)存在與m平行的直線，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若m⊥α，則m垂直于平面α內(nèi)的全部直線，則β內(nèi)與α、β的交線平行的直線都與m垂直，故在平面β內(nèi)肯定存在多數(shù)條直線與m垂直，故②正確；對(duì)于③④，若m?α，則在平面β內(nèi)肯定存在與m垂直的直線，故③錯(cuò)誤，④正確．10．(2024·廣東七校聯(lián)考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E為DC邊的中點(diǎn)，沿AE將△ADE折起，在折起過程中，下列結(jié)論中能成立的序號(hào)為④.①ED⊥平面ACD；②CD⊥平面BED；③BD⊥平面ACD；④AD⊥平面BED.解析：因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，AB＝8，BC＝4，E為DC邊的中點(diǎn)，則折疊時(shí)，D點(diǎn)在平面BCE上的射影的軌跡為O1O2(如圖)．因?yàn)檎燮疬^程中，DE與AC所成角不能為直角，所以DE不垂直于平面ACD，故①不符合；只有D點(diǎn)射影位于O2位置，即平面AED與平面AEB重合時(shí)，才有BE⊥CD，所以折起過程中CD不垂直于平面BED，故②不符合；折起過程中，BD與AC所成的角不能為直角，所以BD不垂直于平面ACD，故③不符合；因?yàn)锳D⊥ED，并且在折起過程中，當(dāng)點(diǎn)D的射影位于O點(diǎn)時(shí)，AD⊥BE，所以在折起過程中，AD⊥平面BED能成立，故④符合．三、解答題11．(2024·昆明市調(diào)研測(cè)試)如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，點(diǎn)D在PC上，且BD⊥平面PAC.(1)證明：PA⊥平面PBC；(2)若ABBC＝2eq\r(6)，求三棱錐D-PAB與三棱錐D-ABC的體積比．解：(1)證明：因?yàn)锽D⊥平面PAC，PA?平面PAC，所以BD⊥PA，因?yàn)椤螦BC＝90°，所以CB⊥AB，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以CB⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以CB⊥PA，又CB∩BD＝B，所以PA⊥平面PBC.(2)因?yàn)槿忮FD-PAB的體積VD-PAB＝VA-PBD＝eq\f(1,3)S△PBD×PA＝eq\f(1,6)×BD×PD×PA，三棱錐D-ABC的體積VD-ABC＝VA-BCD＝eq\f(1,3)S△BCD×PA＝eq\f(1,6)×BD×CD×PA，所以eq\f(VD-PAB,VD-ABC)＝eq\f(PD,CD).設(shè)AB＝2，BC＝eq\r(6)，因?yàn)镻A⊥平面PBC，PB?平面PBC，所以PA⊥PB，又PA＝PB，所以PB＝eq\r(2)，在Rt△PBC中，PC＝eq\r(BC2＋PB2)＝2eq\r(2)，又BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，所以BD⊥PC，所以CD＝eq\f(BC2,PC)＝eq\f(3\r(2),2)，PD＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(PD,CD)＝eq\f(1,3)，即三棱錐D-PAB與三棱錐D-ABC的體積比為eq\f(1,3).12．(2024·河南鄭州質(zhì)檢)在如圖所示的五面體EF-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M為BC的中點(diǎn)．(1)求證：FM∥平面BDE；(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求F到平面BDE的距離．解：(1)證明：如圖，取BD中點(diǎn)O，連接OM，OE，因?yàn)镺，M分別為BD，BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥CD，且OM＝eq\f(1,2)CD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以CD∥AB.又EF∥AB，所以CD∥EF.又AB＝CD＝2，所以EF＝eq\f(1,2)CD.所以O(shè)M綊EF，所以四邊形OMFE為平行四邊形，所以FM∥OE.又OE?平面BDE，F(xiàn)M?平面BDE，所以FM∥平面BDE.(2)由(1)知FM∥平面BDE，所以F到平面BDE的距離等于M到平面BDE的距離．如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接EH，BH，EM，DM.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF，所以EH⊥AD，BH⊥AD.因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，所以EH⊥平面ABCD，EH⊥BH.因?yàn)镋H＝BH＝eq\r(3)，所以BE＝eq\r(6).所以S△BDE＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝eq\f(\r(15),2).設(shè)F到平面BDE的距離為h，又因?yàn)镾△BDM＝eq\f(1,2)S△BCD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2×2×sin60°＝eq\f(\r(3),2)，所以由V三棱錐E-BDM＝V三棱錐M-BDE，得eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(15),2)h，解得h＝eq\f(\r(15),5).即F到平面BDE的距離為eq\f(\r(15),5).13．(2024·江西贛州聯(lián)考)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(\r(2),2)，則下列結(jié)論：①EF∥平面ABCD；②平面ACF⊥平面BEF；③三棱錐E-ABF的體積為定值；④存在某個(gè)位置使得異面直線AE與BF所成的角為30°.其中正確的是①②③④.(寫出全部正確的結(jié)論序號(hào))解析：由正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(\r(2),2)知，在①中，由EF∥BD，且EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正確；在②中，如圖，連接BD，CF，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥平面BDD1B1，而BE?平面BDD1B1，BF?平面BDD1B1，則AC⊥平面BEF.又因?yàn)锳C?平面ACF，所以平面ACF⊥平面BEF，故②正確；在③中，三棱錐E-ABF的體積與三棱錐A-BEF的體積相等，三棱錐A-BEF的底面積和高都是定值，故三棱錐E-ABF的體積為定值，故③正確；在④中，令上底面中心為O，當(dāng)E與D1重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與O重合，則兩異面直線所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1＝30°，故存在某個(gè)位置使得異面直線AE與BF成角30°，故④正確．14．(2024·山東日照二模)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，且PO＝OB＝1.(1)若D為線段AC的中點(diǎn)，求證：AC⊥平面PDO；(2)求三棱錐P-ABC體積的最大值；(3)若BC＝eq\r(2)，點(diǎn)E在線段PB上，求CE＋OE的最小值．解：(1)證明：在△AOC中，因?yàn)镺A＝OC，D為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥DO.又PO垂直于圓O所在的平面，所以PO⊥AC.因?yàn)镈O∩PO＝O，所以AC⊥平面PDO.(2)因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上，所以當(dāng)CO⊥AB時(shí)，C到AB的距離最大，且最大值為1.又AB＝2，所以△ABC面積的最大值為eq\f(1,2)×2×1＝1.又因?yàn)槿忮FP-ABC的高PO＝1，故三棱錐P-ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×1×1＝eq\f(1,3).(3)在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，所以PB＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).同理PC＝eq\r(2)，所以PB＝PC＝BC.在三棱錐P-ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC′P，使之與平面ABP共面，如圖所示．當(dāng)O，E，C′共線時(shí)，CE＋OE取得最小值．又因?yàn)镺P＝OB，C′P＝C′B，所以O(shè)C′垂直平分PB，即E為PB中點(diǎn)．從而OC′＝OE＋EC′＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(6),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),2)，即CE＋OE的最小值為eq\f(\r(2)＋\r(6),2).eq\a\vs4\al(尖子生小題庫(kù)——供重點(diǎn)班學(xué)生運(yùn)用，一般班學(xué)生慎用)15．如圖，一張A4紙的長(zhǎng)、寬分別為2eq\r(2)a,2a，A，B，C，D分別是其四條邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得P1，P2，P3，