專(zhuān)題67平面向量的綜合應(yīng)用大題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（舉一反三）（人教A版2019）

專(zhuān)題6.7平面向量的綜合應(yīng)用大題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【六大題型】【人教A版（2019）】姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題型一\o"向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算解決幾何問(wèn)題"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd28612/_blank"向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算解決幾何問(wèn)題題型一\o"向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算解決幾何問(wèn)題"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd28612/_blank"向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算解決幾何問(wèn)題1．（2023下·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥校┰谥苯亲鴺?biāo)系xOy中，向量OA=1,?1，OB=8,m，OC=7,3，OD=(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若四邊形ABCD為菱形，求x+y的值.【解題思路】（1）根據(jù)A，B，C三點(diǎn)共線，可得AB,（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合向量模以及向量的線性運(yùn)算，列出方程，求得m的值，即可求得答案.【解答過(guò)程】（1）由已知得AB=OB?因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，AB,所以7×4=6m+1（2）AD=OD?由四邊形ABCD為菱形得AB=AD，即即49+m+1由菱形得AC=將x=0y=?m+2代入①，解得m=?5所以x+y=?m+2=7.2．（2023下·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)O0,0，A2,1，B4,3(1)若點(diǎn)P在第一象限，求t的取值范圍；(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題思路】（1）由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出OP，利用點(diǎn)P在第一象限，列不等式求得t的取值范圍；（2）利用四邊形OABP是平行四邊形時(shí)，只需要OP=AB，列方程求出t的值，即可判斷四邊形【解答過(guò)程】（1）OP=由題意得4t+2>03t+1>0，解得：t>?13，即t（2）若四邊形OABP是平行四邊形，只需要OP=AB，即由（1）知，OP=4t+2,3t+1，而∴4t+2=23t+1=2，方程組無(wú)解，故四邊形3．（2023下·廣西南寧·高一?？茧A段練習(xí)）已知平行四邊形ABCD中，A(1,0),B(0,1),C(2,5)．(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量AB與AC夾角為θ，求cosθ(3)求平行四邊形ABCD的面積．【解題思路】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得BA=（2）根據(jù)向量的夾角公式?jīng)]即可求得答案；（3）根據(jù)平行四邊形的面積S=2S【解答過(guò)程】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以BA=設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(x,y)，所以(1,?1)=(x?2,y?5),所以x=3,y=4,即點(diǎn)D的坐標(biāo)(3,4)．（2）AB=(?1,1)，AC=(1,5)，|AB所以cosθ=（3）因?yàn)?<θ<π,cosθ=2所以平行四邊形ABCD的面積為：S=2S4．（2023下·河北石家莊·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A?1,2，B1,1，記OA=(1)設(shè)a在b上的投影向量為λe（e是與b同向的單位向量），求λ(2)若四邊形OABC為平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【解題思路】（1）根據(jù)投影向量的定義，即可求解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到OA=【解答過(guò)程】（1）設(shè)a與b的夾角為θ，則λ=a（2）設(shè)點(diǎn)Cx,y，因?yàn)樗倪呅蜲ABC為平行四邊形，所以O(shè)A又OA=?1,2，所以1?x=?11?y=2，解得x=2故C2,?15．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）某公園有三個(gè)警衛(wèi)室A?B?C，互相之間均有直道相連，AB=2千米，AC=23千米，BC=4千米，保安甲沿CB從警衛(wèi)室C出發(fā)前往警衛(wèi)室B，同時(shí)保安乙沿BA從警衛(wèi)室B出發(fā)前往警衛(wèi)室A(1)保安甲從C出發(fā)1.5小時(shí)后達(dá)點(diǎn)D，若AD=xAB+yAC，求實(shí)數(shù)(2)若甲乙兩人通過(guò)對(duì)講機(jī)聯(lián)系，對(duì)講機(jī)在公園內(nèi)的最大通話距離不超過(guò)2千米，試問(wèn)有多長(zhǎng)時(shí)間兩人不能通話？【解題思路】（1）先根據(jù)勾股定理確定這是一個(gè)直角三角形，然后可以建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算可以計(jì)算出實(shí)數(shù)x?y的值；（2）表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)之后可以把DE坐標(biāo)表示，立出不等式解不等式即可.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳B2+A因此建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A(0,0),B(2,0),C(0,23設(shè)保安甲從C出發(fā)t小時(shí)后達(dá)點(diǎn)D，所以有CD=設(shè)D(x1,即D(t,23?3t)，當(dāng)由AD?3（2）設(shè)保安乙從B出發(fā)t小時(shí)后達(dá)點(diǎn)E，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2?t,0)，于是有DE=(2?2t,因?yàn)閷?duì)講機(jī)在公園內(nèi)的最大通話距離超過(guò)2千米，兩人不能通話，所以有DE>2，所以解之：t>2或t<67所以?xún)扇思s有67題型二題型二\o"用向量證明線段垂直"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd28634/_blank"用向量證明線段垂直

用向量證明線段垂直

用向量證明線段垂直6．（2023下·寧夏銀川·高一校考期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,E,F分別為邊AB,BC上的點(diǎn)，且

(1)用a,b表示(2)用向量的方法證明：CE⊥AF.【解題思路】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）由（1）得CE=【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镃E=AF=（2）由AB?AC=0得CE?所以CE⊥AF.7．（2023下·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知在△ABC中，點(diǎn)M是BC邊上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，點(diǎn)N為AB中點(diǎn)，設(shè)AM與CN相交于點(diǎn)P.

(1)請(qǐng)用AB、AC表示向量AM；(2)設(shè)AB和AC的夾角為θ，若cosθ=14，且AC【解題思路】（1）結(jié)合圖形，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得.（2）以AB、AC為基底表示出向量CN，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，可證得CN⊥【解答過(guò)程】（1）AM=AB+BM=AB（2）CN=CN?AB=12AB?AC?AB=18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊BC在正方形BEFG的邊BG上，聯(lián)結(jié)AG、CE，AG交DC于H．（1）證明：AG⊥CE；（2）當(dāng)點(diǎn)C在BG的什么位置時(shí)，CH?【解題思路】（1）建立直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法證明（2）建立直角坐標(biāo)系，利用向量幾何均值不等式求解即可.【解答過(guò)程】以B為原點(diǎn)，BE所在所在直線為x軸，以BG所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)AB=a，BE=b，且a<b，∴A?a,0、Eb,0、G0,b，C0,a，∴∴AG?CE=ab?ab=0，∴AG（2）易知H?ab?a∴CH?CE=?a∴點(diǎn)C在BG的中點(diǎn)時(shí)，CH?9．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在ΔABC中，BC、CA、AB的長(zhǎng)分別為a,?（1）求證：a=bcos（2）若AB?BC+【解題思路】（1）用向量方法證明，由BC=BA+（1）證法一：AB2證法二：已知等式轉(zhuǎn)化為三角形邊角關(guān)系，再結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得證.【解答過(guò)程】（1）∵BC=BA∴BC?∴a2∴a=bcos（2）∵AB2=c2AB?(BC∴△ABC為直角三角形.

證法二：由（1）類(lèi)似可證得：c=acosB+b由AB?BC+c2∴c=acosB，結(jié)合（*）式得∴A=90°，∴△10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=60°，BD，AC相交于點(diǎn)O，M為BO中點(diǎn)．設(shè)向量AB=

（1）求|a（2）用a，b表示BD和AM；（3）證明：AB⊥【解題思路】（1）利用數(shù)量積公式以及|a（2）由向量的加減法進(jìn)行運(yùn)算即可用a，b表示BD和AM；（3）利用向量的垂直和數(shù)量積的關(guān)系證明即可.【解答過(guò)程】（1）|=（2）BD又∵M(jìn)為BO中點(diǎn)∴∴（3）∵又∵AB=1,AD=2,∠BAD=∴∴所以AB⊥題型三題型三\o"用向量解決夾角問(wèn)題"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd28635/_blank"用向量解決幾何中的夾角問(wèn)題11．（2023下·貴州貴陽(yáng)·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，B，D分別在x，y軸正半軸上，AB=4，AD=2，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)

(1)若DE⊥AC，求AE的長(zhǎng)；(2)若E為AB的中點(diǎn)，AC與DE的交點(diǎn)為M，求cos∠CME【解題思路】（1）設(shè)Ex,00≤x≤4，由DE⊥AC可得（2）由圖可知∠CME=DE【解答過(guò)程】（1）由題，可得A0,0,B4,0設(shè)Ex,00≤x≤4，則DE=x,?2.因DE⊥AC，則DE?（2）若E為AB的中點(diǎn)，則E2,0，DE=2,?2由圖可知cos∠CME=12．（2023下·湖南常德·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M．

(1)求∠EMF的余弦值．(2)若點(diǎn)P自A點(diǎn)逆時(shí)針沿正方形的邊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，在這個(gè)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】（1）如圖所示，建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，由于∠EMF就是DE,（2）根據(jù)向量的共線表示聯(lián)立方程組可求解M187,67，分點(diǎn)P在AB【解答過(guò)程】（1）如圖所示，建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系．則D0,6由于∠EMF就是DE,

∴cos∠EMF=DE（2）設(shè)M∵AM∴x=18由題得EF=①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)Px,0∴3x?54②當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，設(shè)P6,y∴72綜上，存在P2213．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=4，點(diǎn)D在BC上，且BD=2DC，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，連接AD，BE相交于(1)求線段AD，BE的長(zhǎng)；(2)求∠EOD的余弦值.【解題思路】（1）由BE2=BE（2）由AD與BE的夾角即為∠EOD，利用向量的夾角公式即可求解.【解答過(guò)程】（1）解：由題意，AB=2,AE=AC2=2又BE=所以BE2=BE∴BE=23，即∵AD=∴AD2=∴AD=2（2）解：∵BE∴AD?BE=(23∵AD與BE的夾角即為∠EOD，∴cos14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=62，∠BAC=45°，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P(1)求∠BAM的正弦值；(2)求∠MPN的余弦值．【解題思路】（1）解法1、由余弦定理求得BC=213，得到BM=CM=12BC=13，分別在△ABM和△ACM，求得cos∠BMA和cos∠CMA，結(jié)合∠BMA和∠CMA解法2、由題意，求得AB?AC=12，根據(jù)AM=12AB（2）解法1、由余弦定理求得BN=10，得到BP=2103，AP=10又由∠MPN=∠APB，所以cos∠MPN=解法2、由BN=?AB+【解答過(guò)程】（1）解：解法1、由余弦定理得BC即BC2=所以BM=CM=1在△ABM中，由余弦定理，得cos∠BMA=在△ACM中，由余弦定理，得cos∠CMA=∠BMA與∠CMA互補(bǔ)，則cos∠BMA+cos∠CMA=0在△ABM中，由余弦定理，得cos∠BAM=因?yàn)椤螧AM∈0,π2解法2、由題意可得，AB?由AM為邊BC上的中線，則AM=兩邊同時(shí)平方得，AM2=1因?yàn)镸為BC邊中點(diǎn)，則△ABM的面積為△ABC面積的12所以12即12化簡(jiǎn)得，sin∠BAM=（2）解：方法1、在△ABN中，由余弦定理，得BN所以BN=10由AM，BN分別為邊BC，AC上的中線可知P為△ABC重心，可得BP=23BN=在△ABP中，由余弦定理，得cos∠APB=又由∠MPN=∠APB，所以cos∠MPN=解法2：因?yàn)锽N為邊AC上的中線，所以BN=AM?BN2=?所以cos∠MPN=15．（2023下·安徽蚌埠·高一統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AC=2，AB=4．點(diǎn)D在邊BC上，且CD=t(1)t=12，A=2π(2)t=15，AD恰為BC邊上的高，求角(3)AD=3，求t的取值范圍．【解題思路】（1）由題易知AD=12（2）由AD為BC邊上的高，則AD⊥BC，即AD?BC=0（3）易知AD=tAB+1?tAC，則AD【解答過(guò)程】（1）由題，因?yàn)閠=12，所以CD=12所以AD=因?yàn)锳=2π3，AC=2，所以AD=（2）由題，因?yàn)閠=15，所以因?yàn)锳D恰為BC邊上的高，所以AD⊥因?yàn)锳D=AC+且AC=2，AB=4，所以AD=4所以cosA=0，則A=（3）由題，CD=t則AD=因?yàn)锳D=3，且AC=2，AB=4，所以AD2則9=16t所以cosA=因?yàn)?1<cosA<1，則因?yàn)?<t<1，則16t解得12題型四題型四\o"用向量解決線段的長(zhǎng)度問(wèn)題"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd28636/_blank"用向量解決線段的長(zhǎng)度問(wèn)題16．（2023下·四川成都·高一石室中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)切圓圓心（即△ABC三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)），直線AI與BC交于點(diǎn)D.

(1)設(shè)AD=mAB+nAC，求(2)求線段AI的長(zhǎng).【解題思路】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BD=（2）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出AB?AC，即可求出AD，連結(jié)BI，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出【解答過(guò)程】（1）由于AD是∠BAC的平分線，所以BDDC因此BD=25由平面向量基本定理可得m=35，（2）由（1）可知AD2由題意，AB2=16，由BC=AC?即25=16?2AB?AC因此AD2=9×16+12×又BDDC=23，連結(jié)BI，則BI是∠ABD的平分線，因此AIID=BA

17．（2023下·河北滄州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=4,AC=6,BD(1)求BC的長(zhǎng)；(2)求AD的長(zhǎng).【解題思路】（1）確定DE=?13AC，DF=?（2）AD=23【解答過(guò)程】（1）DE=DF=DE?DF=BC=（2）AD=AD=418．（2023下·廣東廣州·高一?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC邊的中點(diǎn)，CE⊥AB,AD與CE(1)求CE和AD的長(zhǎng)度；(2)求cos∠CFD【解題思路】（1）利用三角函數(shù)定義即可求得CE的長(zhǎng)；利用向量法即可求得AD的長(zhǎng)度；（2）利用向量夾角的余弦公式即可求得cos∠CFD【解答過(guò)程】（1）∵CE是高，∴∠AEC=π2，在Rt△AEC中，所以CE=ACsin∵AD是中線，∴AD∴=14∴CE=（2）∵AE=AC?cos∴∴=∴cos另解：過(guò)D作DG//CE交BE于∵D是BC的中點(diǎn)，∴G是BE的中點(diǎn)，∴AE=EG=GB=1,EF是△AGD的中位線，DG是△BCE的中位線，∴EF=1cos∠CFD=19．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在梯形ABCD中，BC>AD，AD//BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，求證：【解題思路】由題意可知EF=BC?AD2，又BC>AD，AD則|EF【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，所以EB=12所以EF=因?yàn)锽C+所以DB+所以EF=因?yàn)锽C>AD，AD//BC，且AD與所以|EF即EF=BC?AD20．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若E，F(xiàn)，G，H分別是平面四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).（1）求|AB（2）證明：四邊形EFGH為平行四邊形.【解題思路】（1）由題知DC=DH+HF+FC，（2）結(jié)合向量共線證明線段平行且相等即可證明.【解答過(guò)程】解：（1）因?yàn)镠,F是邊AD,BC的中點(diǎn)，所以DH=?AH，又因?yàn)镈C=DH+所以AB+所以|（2）連接DB，因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別是平面四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以在△ABD和△BCD中，由中位線定理得：HE=12所以HE=因?yàn)镠,E,G,F不共線，所以HE//GF,HE=GF，所以四邊形EFGH為平行四邊形題型五題型五\o"向量與幾何最值"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zsd28637/_blank"向量與幾何最值（范圍）問(wèn)題21．（2023下·江西九江·高一統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=π3，P為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AC與BP相交于點(diǎn)(1)若AP=PD，AQ=xBA+y(2)求PA+【解題思路】（1）建立直角坐標(biāo)系，利用向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解，（2）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合二次型多項(xiàng)式的特征即可求解最值.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)AP=PD時(shí)，則P為由于△APQ～△CBQ,所以APBCAQ所以x=?

（2）由于四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠ABC=π則A2,0取AB中點(diǎn)為M，連接PA,PB,則M1,0,設(shè)PPM=PA=2x?1故當(dāng)x=1,y=32時(shí)，取最小值22．（2023下·四川成都·高一樹(shù)德中學(xué)校考階段練習(xí)）在△ABC中，已知AB=2，AC=1，AB?AC=?1，CP=λCB0≤λ≤1，(1)當(dāng)t=?1且λ=12，設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M，求線段(2)若PA?PQ+3=【解題思路】（1）用AB,AC表示（2）結(jié)合題目條件和向量積的公式，逐步化簡(jiǎn)，可得到7λ【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閠=?1且λ=12，所以A是CQ的中點(diǎn)，P是BC的中點(diǎn)，則M是設(shè)AB=a所以CM=CM=（2）因?yàn)镃P=λCB0≤λ≤1所以AP=PQ=AP?PA?由PA?PQ+3=所以t1?2λ=7λ2?9λ+5所以12<λ≤1，令m=1?2λ∈?1,0，則t=74(1?m)2?923．（2023下·上海普陀·高一曹楊二中校考期中）如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)P1、P2、P3(1)求AB?(2)若Q為線段AP1上一點(diǎn)，且AQ=m(3)若P為線段AP3上的動(dòng)點(diǎn)，求PA?PC的最小值，并指出當(dāng)【解題思路】（1）利用平行四邊形法則化簡(jiǎn)表達(dá)式，然后利用已知條件及向量數(shù)量積公式計(jì)算即可；（2）利用三點(diǎn)共線定理建立等式，得出方程組求出參數(shù)即可；（3）記AB=a，AC=b，設(shè)AP=tAP3，其中【解答過(guò)程】（1）由于P2為BC所以AB+故AB?由于AP故2A因此AB?（2）由于BP故AP由于Q為線段AP1上一點(diǎn)，設(shè)有AQ=由向量基本定理得3t4=mt4=（3）記AB=a，由BP3=設(shè)AP=tAP則PA=?t4進(jìn)而有PA=t16t當(dāng)且僅當(dāng)t=713即PA?PC取最小值24．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在銳角△ABC中，cosB=22，點(diǎn)O(1)若BO=xBA+y(2)若b=2（i）求證：OB+（ii）求3OB【解題思路】（1）由cosB=22推出∠AOC=π2，即OA?OC=0，由BO=x（2）（i）延長(zhǎng)BO交圓O于E，則BO=OE，過(guò)E作EF⊥OC，垂足為F，過(guò)E作EG⊥OA，垂足為（ii）延長(zhǎng)OA至M，使得|OM|=2，以O(shè)M,OC為鄰邊作矩形OCNM，延長(zhǎng)OB至P，使得|OP|=3|OB|=3，將3OB+2OA【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閏osB=22因?yàn)辄c(diǎn)O為△ABC的外心，所以∠AOC=2B=π2，即OA⊥OC，因?yàn)锽O=xBA+y所以xOA設(shè)三角形ABC的外接圓的半徑為R，則|OA由xOA+yOC所以x2+y因?yàn)閤y≤(x+y)24所以x+y?12≤得(x+y?2)2≥2，得x+y≥2+2因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，其外心必在三角形ABC內(nèi)，由BO=xBA+y再由xOA+yOC所以x+y≥2+2應(yīng)舍去，所以x+y≤2?所以x+y的最大值為2?2（2）（i）延長(zhǎng)BO交圓O于E，則BO=OE，過(guò)E作EF⊥OC，垂足為F，過(guò)E作EG⊥OA，垂足為

因?yàn)椤螧OC=2A，所以∠EOC=π?2A，因?yàn)椤螦OC=π2，且|AC|=b=2所以|OF|=|OE|?cos(π?2A)=?cos所以O(shè)E=OG+所以BO=所以O(shè)B+（ii）延長(zhǎng)OA至M，使得|OM|=2，則OM=2OA，以O(shè)M,OC為鄰邊作矩形則ON=OM+延長(zhǎng)OB至P，使得|OP|=3|OB|=3，則OP=3

所以|3OB所以當(dāng)N,O,P三點(diǎn)共線時(shí)，|3OB+2OA因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，且B=π4，所以A+C=3所以∠BOC=2A∈(π當(dāng)∠BOC=π2時(shí)，|=14?65?sin∠CON當(dāng)∠BOC=π時(shí)，|OP+=14?65sin所以|OP+ON|∈[3?525．（2023下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，且BD=2(1)若P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)（不包含邊界），且PB＝1，求PB?(2)若AD上一點(diǎn)K滿足DK=2KA，過(guò)K作直線分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，設(shè)AM=xAB，AN=yAC，△AMN的面積為S1，四邊形BCNM【解題思路】(1)取BC的中點(diǎn)E，則EB=?EC，所以PB?PC(2)根據(jù)BD=2DC得到AD=【解答過(guò)程】（1）取BC的中點(diǎn)E，所以PB?因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以EB=所以PB?又因?yàn)镻B＝1，所以PE∈(0,1)，故PE故PB?PC的取值范圍（2）因?yàn)锽D=2DC，所以因?yàn)锳M=xAB，AN=y所以3AK=1因?yàn)辄c(diǎn)K,M,N三點(diǎn)共線，所以19x因?yàn)镾△AMN=1所以S△ABC=1xyS所以k=S由①得：1x=9?2所以當(dāng)y=94時(shí)，k取最大值題型六題型六向量在物理中的應(yīng)用26．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，質(zhì)量m=2.0kg的木塊，在平行于斜面大小為10N向上的拉力F的作用下，沿傾角θ=30°的光滑斜面向上滑行2.0m的距離．

(1)分別求物體所受各力在這一過(guò)程中對(duì)物體做的功；(2)求在這一過(guò)程中物體所受各力對(duì)物體做的功的代數(shù)和；(3)求物體所受合外力對(duì)物體所做的功，它與物體所受各個(gè)力對(duì)物體做功的代數(shù)和之間有什么關(guān)系？【解題思路】（1）分析物體受力，按功的定義式求解每個(gè)力做的功；（2）將（1）中各值累加即可;（3）計(jì)算物體所受合外力對(duì)物體所做的功，與物體所受各力對(duì)物體做功的代數(shù)和比較即可.【解答過(guò)程】（1）木塊受三個(gè)力的作用，重力G，拉力F和支持力N，如圖所示.

拉力F與位移s方向相同，所以拉力對(duì)木塊所做的功為WF支持力N與位移方向垂直，不做功，所以WN重力G對(duì)物體所做的功為WG（2）物體所受各力對(duì)物體做功的代數(shù)和為W=20+0?19.6=0.4(J（3）設(shè)物體所受合外力的大小為F1則F1故合外力做功為W=0.2×2=0.4.故物體所受合外力對(duì)物體做的功與物體所受各力對(duì)物體做功的代數(shù)和相等.27．（2023下·山西陽(yáng)泉·高一?？计谥校┮粭l河南北兩岸平行.如圖所示，河面寬度d=1km，一艘游船從南岸碼頭A點(diǎn)出發(fā)航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是v1，水流速度v2的大小為v2=4km/h.設(shè)v1

(1)若游船沿AA′到達(dá)北岸A′點(diǎn)所需時(shí)間為6min，求(2)當(dāng)θ=60【解題思路】（1）設(shè)游船的實(shí)際速度為vkm/h，由速度合成的v（2）設(shè)到達(dá)北岸B點(diǎn)所用時(shí)間為th，根據(jù)AB2【解答過(guò)程】（1）設(shè)游船的實(shí)際速度為v