高中數(shù)學必修5知識點總結(jié)

必修5

第一章解三角形

一、正弦定理

1.定理

abc

----=-----=-----=2R.

sinAsinBsinC

其中a,b,c為一個三角形的三邊，A,B,C為其對角，R為外接圓半徑.

變式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

ai：c:sinfi:sinC-

二可解訣的問題，

①已知兩場77返的對角，解三角形；”

②已知隹兩角及一邊，斛三角形.?」

3,解的討論一

在已知兩邊如。及角a解三角形時，需要討論一

(!)若.4390)，則有小

①a時有一解：一

②支＜b時無解

(2)若，沙P時，則有~

①若。〈嫂3」則無解：，

②若〃=旌坂4，則有一解：6

③若班iflrgVaV從則有兩解.一

④若。沙，則有一解，

二、余弦定理

1.定理

a2=b2+C2-2bccosA、b2=a2+C2-2accosB、C2=az+b2-2abcosC

變形：cosA=bn-a?、cosB=a?+加、cosc=聲+加-a

2bc2ac2ab

2.可解決的問題

①已知三邊，解三角形；

②已知兩邊及其夾角，解三角形；

③已知兩邊及一邊的對角，求第三邊.

三、三角形面積公式

(1)S=_ah==_ch.

A2a2b2c

其中h,h,h為a,b,c三邊對應的高.

abc

(2)S.——tfisinC—-Acsin.4-

⑶7P3_°KP_b)(_p-C?

(4)S&=p-

其中/=g(a+b+C，r為內(nèi)切圓的半徑」

說明，公式(4)主要用于求內(nèi)切圓半徑?

?

第二章數(shù)列，

一、數(shù)列的概念及其表示法，

(1)定義：按照一定順序排列看的一列數(shù)稱為數(shù)列.」

(2)如果數(shù)列的第”項的與序號”之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公

式叫做這個教列的通項公式內(nèi)

(3)如果一個數(shù)列已給出前幾項，并給出后面任一項與前面的項之間關(guān)系式，這種給出數(shù)列

的方法叫做遞推法，其中的關(guān)系式稱為遞推公式.

(4)一個重要公式：對任何數(shù)列，總有

[4=埠

巴=s—冽.

注：數(shù)列是特殊的函數(shù)，要注意數(shù)列與函數(shù)問題之間的相互轉(zhuǎn)化.

二、等差數(shù)列

(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那

么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個常數(shù)叫做數(shù)列的公差.

(2)遞推公式：a=a+d.

(3)通項公式：a=a+(n-1)d.

n1

n(a+a)n(n-1)

(4)求和公式：S=——i--n—=na+-----------d.

n212

(5)性質(zhì):

①若m+n=p+q,貝ija+a=a+a；

mnpq

②若m+n=2p,則a+a=2a；

mnp

③a=a+(n-m)d.

nm

(6)等差中項：

a,0的等差中項.4?三上.“

a,拼。成等差數(shù)列=a+c=2A

注：①a】和d叫做等差數(shù)列的基本元素，把S,和4都用如和d表示往往能使向題面化.

②注意方程思想的應用，在G，An.S,,明五個數(shù)中，知道三個可求剁下的兩個

三、等比數(shù)列

(D定義；如果一個敷列從第：項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那

么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常效叫做放列的公比。

(2)盤推公式：呢1=，再如/

(3)通項公式；q式伍寸」，

(4)求和公式：&=誓二^=芻產(chǎn)(9#1)一

11

(<)忤后:.

①若m+n=p+q,貝ijaa=aa；

mnpq

②若rrw-n=2p,則aa=a2；

mnp

③a=aqn-m.

nm

(6)等比中項：

a,b的等比中項G=±C.

a,b,c成等比數(shù)歹iJ(a,A,c，O)u>82=ac.

注：①a和q叫做等比數(shù)列的基本元素，把S和a都用a和q表示往往能使問題簡化.

1nn1

②注意方程思想的應用，在a,q,n,S,a五個數(shù)中，知道三個可求剩下的兩個.③使用

1nn

求和公式時，要注意q*1的條件.

四、數(shù)列求和

主要求和方法有:

(1)公式法：主要用于等差數(shù)列與等比數(shù)列，這是首先應該考慮的方法.

(2)分組求和法：將數(shù)列的每一項拆分成幾項，然后重新組合成幾組，使每一組都能

求和.如數(shù)列｛n+2n｝.

(3)并項求和法：將相鄰幾項合并，使合并后有規(guī)律，便于求和.如12-22+32-42+-

+(―1)n—1n2.

(4)裂項相消法：將每項分成兩項的差，并且正負能抵消.如求

111

_+___+...+_______.

■L2F3n(n+1)

(5)錯位相減法：設(shè)｛a｝是等差數(shù)列，｛b｝是等比數(shù)列，求S=ab+ab+…+ab時用

nnn1122nn

錯位相消法.做法：將上式兩端乘以｛b｝的公比，錯一位相減，中間n-1項構(gòu)成等比數(shù)列,

n

可以求和.注意將n=1,2,3代入檢驗.

第三章不等式~

一、不等式的性質(zhì)

性的1兒

性質(zhì)2

性質(zhì)3acOnac"產(chǎn)

性質(zhì)4。＞瓦

住陵5g兒

性質(zhì)6

性質(zhì)7a>4>0?升￡丫'=以?3

性質(zhì)8a>b>0,nEN,n>1

二、一元二次不等式

1.一元二次不等式的標準形式

ax2+bx+c>0(a>0)

ax2+bx+c<0(a>0)

ax2+bx+c》0(a>0)

ax2+bx+cW0(a>0)

2.一元二次不等式的解集

不等式△>OA=0A<0

ax2+bx+c>0(-8,X)U(X,+oo){x|x*X}R

121

ax2+bx+c<0(X,x)00

12

ax2+bx+c，0(-8,X]U[x,+8)RR

12

ax2+bx+cW0[x,X]{x}0

121

說明：①表中內(nèi)容不需死記硬背，可結(jié)合二次函數(shù)圖象靈活掌握.

②表中x,x是方程ax2+bx+c=0的根，且x<x.

1212

③當A>0時，解集有口訣：大于0取兩邊，小于0取中間.

三、二元一次不等式和線性規(guī)劃

1.直線劃分平面區(qū)域

在平面直角坐標系中，二元一次不等式Ax+By+C>0(V0)表示直線Ax+By+C=O某一

側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界.不等式Ax+By+C

三0於0；表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實境.”

對于直線.-Lv+5r+C=0同一惻的所有點，把它的坐標佳，.川弋人所得值的符

號都相同，因此只需在直線土-a幺=。的某一惻取一個特殊點(.V,皿)作為測試點，由

.心廣為廣。的符號就可以斷定不等式解集表示的是直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.當仁0時，通

常取庾點(0,0)作為測試點，

1簡單歧性規(guī)劃

(1)由二元一次不等式組構(gòu)成的一組約束條件稱為線性妁束條件.要求最值的函數(shù)

-av+虹^稱為目標函數(shù).在境性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱

為裝性規(guī)劃問題.莉足線性約束條件的解代，j)QU股可行解，由所有可行解組成的集合叫做

可行域，其中，使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫儂這個問題的最優(yōu)解-+，

最優(yōu)解一股落在可行城的頂點或邊界上具體求解方法:設(shè)目標函數(shù)為-a