2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)數(shù)學(xué)試卷（名校競(jìng)賽題改編及解析）

2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)數(shù)學(xué)試卷（名校競(jìng)賽題改編及解析）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.若\(a>b>0\)，則下列不等式中正確的是（）A.\(a^2>b^2\)B.\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)C.\(a+b>2\sqrt{ab}\)D.\(a-b>2\)2.已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+1\)，則\(f(x)\)的對(duì)稱軸為（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(y=1\)D.\(y=-1\)3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(4,1)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.(3,2)B.(3,3)C.(4,2)D.(4,3)4.若\(a+b=2\)，\(a^2+b^2=5\)，則\(a^3+b^3\)的值為（）A.3B.4C.5D.65.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3\)，若\(a_1+a_3=10\)，\(a_2=6\)，則該等差數(shù)列的公差為（）A.1B.2C.3D.46.若\(x^2-4x+3=0\)，則\(x^3-8\)的值為（）A.1B.2C.3D.47.在等腰三角形ABC中，\(AB=AC\)，\(AD\)為底邊BC上的高，若\(AD=3\)，\(BD=4\)，則\(AB\)的長(zhǎng)度為（）A.5B.6C.7D.88.若\(a\)，\(b\)，\(c\)是等比數(shù)列，且\(a+b+c=12\)，\(abc=27\)，則\(b\)的值為（）A.3B.4C.6D.99.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,3)，點(diǎn)Q在直線\(y=2x+1\)上，若\(PQ\)的最短距離為2，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A.(0,1)B.(1,3)C.(2,5)D.(3,7)10.若\(a\)，\(b\)，\(c\)是等差數(shù)列，且\(a+b+c=12\)，\(abc=27\)，則\(b^2\)的值為（）A.9B.12C.18D.27二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11.若\(a\)，\(b\)，\(c\)是等差數(shù)列，且\(a+b+c=12\)，\(abc=27\)，則\(b^2\)的值為______。12.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,3)，點(diǎn)Q在直線\(y=2x+1\)上，若\(PQ\)的最短距離為2，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為______。13.若\(a\)，\(b\)，\(c\)是等比數(shù)列，且\(a+b+c=12\)，\(abc=27\)，則\(b\)的值為______。14.在等腰三角形ABC中，\(AB=AC\)，\(AD\)為底邊BC上的高，若\(AD=3\)，\(BD=4\)，則\(AB\)的長(zhǎng)度為______。15.若\(x^2-4x+3=0\)，則\(x^3-8\)的值為______。三、解答題（本大題共2小題，共40分）16.（本小題共20分）已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+1\)，求：（1）\(f(x)\)的對(duì)稱軸；（2）\(f(x)\)在\(x=1\)時(shí)的函數(shù)值。17.（本小題共20分）已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3\)，若\(a_1+a_3=10\)，\(a_2=6\)，求該等差數(shù)列的公差和前5項(xiàng)的和。四、應(yīng)用題（本大題共2小題，共20分）18.（本小題共10分）某商店銷售一款商品，原價(jià)為200元，為了促銷，商店決定打九折出售。同時(shí)，商店還提供滿100元減20元的優(yōu)惠活動(dòng)。請(qǐng)問，顧客購(gòu)買這款商品的實(shí)際支付金額是多少？19.（本小題共10分）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10厘米，寬是5厘米?，F(xiàn)在要將這個(gè)長(zhǎng)方形剪成若干個(gè)相同大小的正方形，使得剪下的正方形數(shù)量最多。請(qǐng)問，剪下的正方形的邊長(zhǎng)是多少厘米？最多可以剪成多少個(gè)正方形？五、證明題（本大題共2小題，共20分）20.（本小題共10分）已知：在三角形ABC中，\(AB=AC\)，\(AD\)是\(BC\)邊上的高。證明：\(BD=DC\)。21.（本小題共10分）已知：\(a\)，\(b\)，\(c\)是等比數(shù)列，且\(a+b+c=12\)，\(abc=27\)。證明：\(b^2=9\)。六、綜合題（本大題共2小題，共40分）22.（本小題共20分）某校九年級(jí)（1）班有50名學(xué)生，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的1.5倍。請(qǐng)計(jì)算：（1）該班男生和女生各有多少人？（2）如果該校九年級(jí)共有10個(gè)班，男生人數(shù)總和是多少？23.（本小題共20分）某市某年的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）如下表所示：|月份|AQI||----|----||1月|100||2月|80||3月|120||4月|90||5月|70||6月|100||7月|110||8月|90||9月|80||10月|70||11月|60||12月|100|請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)回答以下問題：（1）該市在哪些月份的空氣質(zhì)量較好？（2）該市空氣質(zhì)量最差的月份是哪個(gè)月？其AQI是多少？本次試卷答案如下：一、選擇題1.C解析：由于\(a>b>0\)，根據(jù)算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)，有\(zhòng)(a+b>2\sqrt{ab}\)。2.A解析：\(f(x)=(x-1)^2\)，因此對(duì)稱軸是直線\(x=1\)。3.A解析：中點(diǎn)坐標(biāo)為\(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\)，所以中點(diǎn)坐標(biāo)是(3,2)。4.A解析：由\(a+b=2\)，\(a^2+b^2=5\)，可得\(a^2+b^2+2ab=4\)，即\((a+b)^2=4\)，所以\(ab=1\)。又因?yàn)閈(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=2\cdot4=8\)，所以\(a^3+b^3=8\)。5.A解析：\(a_1+a_3=2a_2=10\)，所以\(a_2=5\)，公差\(d=a_2-a_1=1\)。6.B解析：\(x^2-4x+3=0\)的解為\(x=1\)或\(x=3\)，所以\(x^3-8=1^3-8=-7\)或\(3^3-8=19\)。7.B解析：由\(AD=3\)，\(BD=4\)，在直角三角形ABD中，\(AB^2=AD^2+BD^2=3^2+4^2=25\)，所以\(AB=5\)。8.C解析：由\(a+b+c=12\)，\(abc=27\)，可得\(b=\sqrt[3]{abc}=\sqrt[3]{27}=3\)。9.B解析：點(diǎn)Q到直線\(y=2x+1\)的距離公式為\(\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，代入點(diǎn)P(2,3)得\(\frac{|2\cdot2+3\cdot3+1|}{\sqrt{2^2+3^2}}=2\)，解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,3)。10.A解析：由\(a\)，\(b\)，\(c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=12\)，\(abc=27\)，可得\(b^2=9\)。二、填空題11.18解析：由\(a+b+c=12\)，\(abc=27\)，可得\(b^2=9\)。12.(1,3)解析：由點(diǎn)P(2,3)到直線\(y=2x+1\)的距離為2，代入距離公式解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,3)。13.3解析：由\(a\)，\(b\)，\(c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=12\)，\(abc=27\)，可得\(b=\sqrt[3]{abc}=\sqrt[3]{27}=3\)。14.5解析：由\(AD=3\)，\(BD=4\)，在直角三角形ABD中，\(AB^2=AD^2+BD^2=3^2+4^2=25\)，所以\(AB=5\)。15.-7解析：\(x^2-4x+3=0\)的解為\(x=1\)或\(x=3\)，所以\(x^3-8=1^3-8=-7\)或\(3^3-8=19\)。三、解答題16.（本小題共20分）（1）對(duì)稱軸是直線\(x=1\)；（2）\(f(1)=1^2-2\cdot1+1=0\)。17.（本小題共20分）公差\(d=1\)；前5項(xiàng)和\(S_5=5a_1+\frac{5\cdot4}{2}d=5\cdot5+10=35\)。四、應(yīng)用題18.（本小題共10分）實(shí)際支付金額為\(200\times0.9-20=170\)元。19.（本小題共10分）剪下的正方形邊長(zhǎng)為5厘米，最多可以剪成4個(gè)正方形。五、證明題20.（本小題共10分）由\(AB=AC\)，\(AD\)是\(BC\)邊上的高，可知三角形ABD和ACD是等腰三角形，因此\(BD=DC\)。21.（本小題共10分）由\(a\)，\(b\)，\(c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=