福建省廈門六中2010屆高三上學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)文）

福建省廈門六中2010屆高三上學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)文）一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)=x^2-2ax+1，若f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A.a≤0B.0<a≤1C.a>1D.a∈R2.設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=3an-2，且a1=1，則數(shù)列{an}的通項公式是（）A.an=3n-2B.an=3n-1C.an=3n-4D.an=3n-33.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=|z+2|，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的軌跡是（）A.直線y=0B.直線y=2C.圓心在原點，半徑為2的圓D.離原點距離為2的點的集合4.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5=20，S10=50，則數(shù)列{an}的公差d是（）A.1B.2C.3D.45.設(shè)A、B為兩個非零矩陣，且AB=0，則下列結(jié)論正確的是（）A.A的列向量線性相關(guān)B.B的行向量線性相關(guān)C.A、B的列向量線性相關(guān)D.A、B的行向量線性相關(guān)二、填空題1.若函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是__________。2.已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+1，且a1=1，則數(shù)列{an}的通項公式是__________。3.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的軌跡是__________。4.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5=20，S10=50，則數(shù)列{an}的公差d是__________。5.設(shè)A、B為兩個非零矩陣，且AB=0，則下列結(jié)論正確的是__________。三、解答題1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。2.設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=3an-2，且a1=1，求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求出其通項公式。3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的軌跡方程。4.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5=20，S10=50，求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求出其公差。5.設(shè)A、B為兩個非零矩陣，且AB=0，證明下列結(jié)論正確：若A的列向量線性相關(guān)，則B的行向量線性相關(guān)。四、證明題1.證明：若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸方程為x=-b/2a，則函數(shù)在區(qū)間[-b/2a,+∞)上單調(diào)遞增。五、計算題1.計算積分：∫(e^x*sinx)dx。2.已知函數(shù)f(x)=(x^2-1)/(x-1)，求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。3.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n^2-n+1，求前10項和S10。六、應(yīng)用題1.某商品的原價為m元，經(jīng)過兩次折扣后，售價變?yōu)閚元，其中第一次折扣率為x%，第二次折扣率為y%。求x和y的值，使得售價n為原價的75%。2.已知三角形ABC的邊長分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=c^2。求證：三角形ABC是直角三角形。3.某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每天生產(chǎn)數(shù)量為n件，成本為C元，其中C=1000+10n。若每天銷售量為n件，售價為p元，求每天利潤的表達(dá)式，并分析利潤與售價的關(guān)系。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數(shù)f(x)=x^2-2ax+1的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x-2a。由于f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，所以f'(x)≤0。將x=0和x=1代入f'(x)，得到-2a≤0，即a≥0。因此，a的取值范圍是a≤0。2.B解析：根據(jù)遞推關(guān)系an+1=3an-2，代入a1=1，得到a2=3a1-2=3-2=1。同理，a3=3a2-2=3-2=1，以此類推，數(shù)列{an}是一個常數(shù)數(shù)列，通項公式為an=3n-1。3.C解析：復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，表示z到點1和點-1的距離相等，因此z的軌跡是以點1和點-1為焦點的橢圓，圓心在原點，半徑為2。4.B解析：等差數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=n(a1+an)/2。已知S5=20，S10=50，代入公式得到5(a1+a5)/2=20，10(a1+a10)/2=50。解得a1+a5=8，a1+a10=10。由于a5=a1+4d，a10=a1+9d，解得d=1。5.A解析：由于AB=0，且A、B非零矩陣，說明矩陣A的列向量線性相關(guān)，因為至少有一個非零列向量與另一個列向量線性相關(guān)。二、填空題1.a≤0解析：同選擇題1的解析。2.an=3n-1解析：同選擇題2的解析。3.圓心在原點，半徑為2的圓解析：同選擇題3的解析。4.d=1解析：同選擇題4的解析。5.A的列向量線性相關(guān)解析：同選擇題5的解析。三、解答題1.解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值可以通過求導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得到x=2。將x=0和x=2代入f(x)，得到f(0)=3和f(2)=-1。因此，最大值為3，最小值為-1。2.解析：根據(jù)遞推關(guān)系an+1=3an-2，可以寫出an+1-3an=-2。這是一個等比數(shù)列的遞推公式，公比為3，首項為a1=1。因此，通項公式為an=3^(n-1)。3.解析：復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，可以表示為z在復(fù)平面上到點1和點-1的距離相等。設(shè)z=x+yi，則有(x-1)^2+y^2=(x+1)^2+y^2，化簡得到x=0。因此，軌跡方程為y=0。4.解析：根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式Sn=n(a1+an)/2，已知S5=20，S10=50，可以列出方程組5(a1+a5)/2=20，10(a1+a10)/2=50。解得a1+a5=8，a1+a10=10。由于a5=a1+4d，a10=a1+9d，解得d=1。5.解析：若A的列向量線性相關(guān)，則存在不全為0的實數(shù)k1,k2,...,kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0。由于AB=0，將A的列向量乘以B的行向量，得到k1b1+k2b2+...+knbn=0。這說明B的行向量線性相關(guān)。四、證明題1.解析：函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的對稱軸方程為x=-b/2a。由于對稱軸上的點關(guān)于對稱軸對稱，所以f(-b/2a)=f(b/2a)。將x=-b/2a代入f(x)，得到f(-b/2a)=a(-b/2a)^2+b(-b/2a)+c=c-b^2/4a。將x=b/2a代入f(x)，得到f(b/2a)=a(b/2a)^2+b(b/2a)+c=c+b^2/4a。由于f(-b/2a)=f(b/2a)，所以c-b^2/4a=c+b^2/4a，解得b^2=0，即b=0。因此，函數(shù)在區(qū)間[-b/2a,+∞)上單調(diào)遞增。五、計算題1.解析：積分∫(e^x*sinx)dx可以使用分部積分法，令u=e^x，dv=sinxdx，得到du=e^xdx，v=-cosx。應(yīng)用分部積分法，得到∫(e^x*sinx)dx=-e^x*cosx+∫(e^x*cosx)dx。再次使用分部積分法，得到∫(e^x*cosx)dx=e^x*cosx-∫(e^x*sinx)dx。將兩個積分式相加，得到2∫(e^x*sinx)dx=-e^x*cosx+e^x*cosx，解得∫(e^x*sinx)dx=-e^x*cosx。2.解析：函數(shù)f(x)=(x^2-1)/(x-1)的導(dǎo)數(shù)可以通過商的導(dǎo)數(shù)法則計算，得到f'(x)=[(x-1)(2x)-(x^2-1)(1)]/(x-1)^2=(2x^2-2x-x^2+1)/(x-1)^2=(x^2-2x+1)/(x-1)^2=(x-1)^2/(x-1)^2=1。3.解析：數(shù)列{an}的通項公式為an=n^2-n+1，前10項和S10可以通過將前10項相加得到，S10=1^2-1+1+2^2-2+1+...+10^2-10+1。這是一個等差數(shù)列的和，可以通過等差數(shù)列求和公式計算，得到S10=(10/2)(1+10^2-1)=5*10^2=500。六、應(yīng)用題1.解析：售價n為原價的75%，即n=0.75m。第一次折扣率為x%，第二次折扣率為y%，則售價n=m(1-x/100)(1-y/100)=0.75m。化簡得到(1-x/100)(1-y/100)=0.75。展開得到1-x/100-y/100+xy/10000=0.75，解得x+y=25-100xy/10000。由于x和y是折扣率，它們的取值范圍是0到100，因此可以通過試錯法找到滿足條件的x和y的值。2.