2025年春人教版數(shù)學(xué)九年級下冊課件 28.2.1 解直角三角形

第二十八章銳角三角函數(shù)28.2解直角三角形及其應(yīng)用28.2.1解直角三角形新課導(dǎo)入1．在△ABC中，∠C＝90°，三邊長為a，b，c，∠A的正弦、余弦、正切分別是什么？2．在Rt△ABC中，除直角外，還有三邊和兩個(gè)銳角5個(gè)元素，知道哪幾個(gè)元素可以求出其他的元素呢？

解：知道一邊一銳角或知道兩邊可以求出其他未知元素．探究新知(1)將比薩斜塔問題推廣為一般的數(shù)學(xué)問題該如何求解？

1比薩斜塔傾斜程度的問題如圖是意大利的比薩斜塔，設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B，塔身中心線與垂直中心線的交點(diǎn)為A，過B點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米.求∠A的度數(shù).BACBAC解：∵在Rt△ABC中，BC=5.2米，AB=54.5米，

利用計(jì)算器可得∠A≈5°28′.(2)在問題所述的Rt△ABC中，你還能求出其他未知的邊和角嗎？怎么求？①三邊的關(guān)系(勾股定理)a2+b2=c2;在Rt△ABC中，∠C是直角，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a、b、c，BACabc②∠A+∠B=90°;③兩個(gè)銳角∠A和∠B的正弦、余弦、正切的函數(shù)求角和邊的值.(3)由此，你能得出解直角三角形的內(nèi)涵嗎？什么是解直角三角形？一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.由直角三角形中已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形.

2探究：在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素之間的關(guān)系。(1)回想一下，剛才解直角三角形的過程中，用到了哪些知識？你能梳理一下直角三角形各個(gè)元素之間的關(guān)系嗎？ABCabc①三邊之間的關(guān)系___________(勾股定理)；a2＋b2＝c2②兩銳角之間的關(guān)系______________；∠A＋∠B＝90°③邊角之間的關(guān)系：sinA＝__________＝____，cosA＝__________＝____，tanA＝__________＝____．ABCabc

(2)從上述問題來看，在直角三角形中，知道斜邊和一條直角邊這兩個(gè)元素，可以求出其余的三個(gè)元素．一般地，已知五個(gè)元素(直角除外)中的任意兩個(gè)元素，可以求其余元素嗎？(3)在直角三角形中已知兩個(gè)銳角能求出其余元素嗎？在直角三角形中已知一個(gè)銳角和一條邊能求出其余元素嗎？在直角三角形中已知兩條邊能求出其余元素嗎？必須已知除直角外的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊）.1．在直角三角形中，除直角外，如果知道兩個(gè)元素_______________，這個(gè)三角形就可以確定下來．2．在直角三角形中，由_____________________求出______________的過程，叫做解直角三角形．知識歸納至少有一個(gè)是邊除直角外的已知元素其余未知元素例題與練習(xí)例1

如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=，BC=，解這個(gè)直角三角形．

ACB

例2

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解這個(gè)直角三角形（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．ABC

20

35°解:∠A=90°?∠B=90°?35°=55°，

ABDC例3

如圖，AD是△ABC的中線，tanB＝13，cosC＝22，AC＝2.求：(1)BC的長；(2)sin∠ADC的值．ABDCE解:(1)過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4；∵cosC＝

，∴∠C＝45°.

在Rt△ABE中，tanB＝

，即

＝

，

∴AE＝CE＝1.

(2)∵AD是△ABC的中線，∴CD＝

BC＝2,∴DE＝CD－CE＝1.∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，

∴sin∠ADC＝

.ABDCE課堂小結(jié)1．解直角三角形的概念．在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.2．解直角三角形．兩邊：兩直角邊或斜邊、一直角邊一邊一角：直角邊、一銳角或斜邊、一銳角知道五個(gè)元素中的兩個(gè)（至少有一個(gè)邊）勾股定理兩銳角互余銳角的三角函數(shù)依據(jù)隨堂檢測1．教材P74練習(xí)．2．在Rt△ACB中，∠A＝90°，∠ACB＝50°，AC＝10，則CB的長為(

)DA．10sin50°

B．10cos50°

C．10tan50°

D.

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，a＝4，則c＝__，∠A＝____，∠B＝____．860°30°

4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分線，AC

＝8，AD＝，求∠B，BC，AB.

解:在△ACD中，∵∠ACD＝90°，∴cos∠